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专题2.3 用频率估计概率
模块1：学习目标
1、了解随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定；
2、进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
3、能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
模块2：知识梳理
1、频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3、利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
模块3：核心考点与典例
考点1、概率与频率的区别与联系
例1．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件．
变式1．（2023春·广西八年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上
【答案】A
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
变式2．（2023春·重庆·七年级专题练习）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．
①频率就是概率；②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率；④概率是随机的，在实验前不能确定
【答案】③
【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析．
【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误；②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误
③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确；
④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误．故答案为：③．
【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念．
考点2、求事件的频率
例1．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（ ）
A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2
【答案】D
【分析】根据频率的定义即可解答．
【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次，
则数字0和2的频率相同，均为，
数字3和4的频率相同，均为．故选：D．
【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键．
变式1．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据频率的计算公式：，进行计算即可．
【详解】解：由题意知，数字“2”出现的频率是：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，解题的关键在于熟练掌握频率的计算方法．
变式2．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）20230418中数字“2”出现的频率是 ____．
【答案】/
【分析】根据频数的定义求解即可．
【详解】解：∵共有8个数字，数字“2”出现的次数为2次，
∴数字“2”出现的频率为．故答案为： ．
【点睛】本题是对频数的考查，属于概念类基础题型，准确查找出数字“2”出现的次数是解题关键．
考点3、由频率估计概率
例1．（2023春·浙江·九年级专题练习）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
【答案】B
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，求出各选项的概率，即可得到答案．
【详解】A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”的概率是，故选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是，故选项符合题意；
C、袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的概率是，故选项不符合题意；
D、洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是，故选项不符合题意．
【点睛】此题考查了通过折线统计图中的频率估计概率，熟练掌握频率的求法是解题的关键．
变式1．（2023春·九年级单元测试）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．
【答案】15
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，解得，经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
变式2．（2023春·浙江·九年级专题练习）某种小麦种子每10000粒重约350克，小麦播种的发芽概率约是95%，1株麦芽长成麦苗的概率约是90%，一块试验田的麦苗数是8550株，则播种这块试验田需麦种约为_______克．
【答案】350
【分析】设播种这块试验田需麦种x克，根据等量关系“小麦种子粒数试验田的麦苗数”列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设播种这块试验田需麦种x克，
根据题意可得，解得．故答案为350．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
变式3．（2023·福建三明·校联考二模）某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为______．（精确到0.01）．
抽查数 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
【答案】0.96
【分析】根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，
故答案为：0.96．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键．
考点4、由频率估计概率综合应用
例1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 126 251
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.252 0.251
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里黑球有多少个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一质地均匀的骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
【答案】(1)0.25(2)15(3)①④
【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数=球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【详解】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：（个），所以，盒子里黑球有15个；
（3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
变式1．（2023春·浙江九年级月考）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：
抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000
合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213
口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921
下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是________（填序号）
【答案】②
【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．
【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920，
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，难度不大．
变式2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206
小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794
0.299 0.266 0.256 0.259
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；
(3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π）
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率公式求出封闭图形的面积．
【详解】（1）解：；；；；；
∴当投掷的次数很多时，则的值越来越接近；故答案为：；
（2）解：；∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近，故答案为：；
（3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：，∴．
答：估计整个封闭图形的面积是平方米．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江金华市·九年级期中）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（ ）
投篮数（次） 50 100 150 200 …
进球数（次） 40 81 118 160 …
A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进
C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100%
【答案】D
【分析】根据概率的知识点判断即可；
【解析】小亮每投10个球，不一定有8个球进，故错误；
小亮投球前8个进，第9、10个不一定不进，故错误；
小亮比赛中的投球命中率可能为80%，故错误；
小亮比赛中投球命中率可能为100%，故正确；故答案选D．
2．（2022 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【思路点拨】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【答案】解：样本中身高不低于170cm的频率＝＝0.68，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
3．（2022·浙江杭州市·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（ ）
组别（cm） x≤160 160180
人数 15 42 38 5
A．28500 B．17100 C．10800 D．1500
【答案】A
【分析】先计算出样本中身高不高于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解析】样本中身高不高于的频率，
则全市3万名男生的身高不高于180cm的人数是，故选：A．
4．（2022·浙江·九年级模拟）抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（ ）
A．25% B．50% C．75% D．33.3%
【答案】B
【分析】先计算出两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率，从而得到频率值的估计值．
【解析】抛掷两枚均匀的硬币，
可能出现：两个正面朝上、两个反面朝上、一个正面朝上一个反面朝上、一个反面朝上一个正面朝上共4种情况，∴出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为=50%，
即出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在50%，故选B．
5．（2021 连云港二模）在一个不透明的盒子里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a约是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【思路点拨】摸到红球的频率稳定在25%，即＝25%，即可解得a的值．
【答案】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，∴＝25%，解得：a＝16．故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
6．（2022·浙江九年级期中）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
【答案】C
【分析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案．
【详解】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，所以出现红球的概率是
则袋中红球的数量为： 所以袋中红色球的数目为个，故选：
【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，再利用概率求解目标球的数量，掌握利用频率估计概率是解题的关键．
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近 D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的时间．
8．（2022·河南平顶山市·）在一个不透明的盒子中装有12个白球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，小军将盒子中的球搅拌均匀，摸出一个球记录下颜色再放回，通过多次重复这一过程发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则盒子中黄球的个数可能是（ ）
A．8个 B．18个 C．20个 D．30个
【答案】A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设盒子中黄球有x个，根据题意，得：＝0.4，解得x＝8，
经检验x＝8是分式方程的解，所以盒子中黄球的个数为8，故选：A．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
9．（2022·陕西西安市·九年级月考）某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2附近，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ）
A．90° B．72° C．60° D．45°
【答案】B
【分析】由概率公式的意义即可得出答案．
【详解】解：∵通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2，
∴可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是360°×0.2=72°；故选B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用；理解题意，熟练掌握概率公式是解题的关键．
10．（2023·北京西城·校考模拟预测）下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．
下面有四个推断：①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860；
②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；
④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确
其中合理的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
【详解】解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确；
试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确；
在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误；其中合理的是②③，故选C．
【点睛】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率，掌握上述内容是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为______．
【答案】
【分析】根据频率=频数÷总数即可求解．
【详解】解：“正面朝上”的频率，故答案为：．
【点睛】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率=频数÷总数．
12．（2023·河北·统考模拟预测）历史上数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币200次，正面朝上的次数是110次，频率约为，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是_______．
【答案】/
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
13．（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）一只不透明袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到红球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到红球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
请你判断：从中摸出1个球是红球的概率的估计值是______（精确到0.01）．
【答案】
【分析】通过表格中数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在附近，由此即可得出答案．
【详解】解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在附近，
∴从中摸出1个球是红球的概率的估计值是故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
【答案】4
【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【详解】解：∵产品的抽样合格率为，∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
15．（2023·辽宁鞍山·统考二模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为__________.
【答案】
【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案.
【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，
∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为；故答案为：.
【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键.
16．（2022 东城区校级模拟）下列随机事件的概率：
①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率；
③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；
既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）．
【思路点拨】根据选项依次分析判断即可得到答案．
【答案】解：①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率，只能用频率估计，不能用列举法；
③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率，既可以用列举法求得又可以用频率估计获得概率，故答案为：①、④．
【点睛】此题考查列举法求概率，利用频率估计概率，正确理解事件概率的求法是解题的关键．
17．（2022·宁夏九年级二模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________．
【答案】14
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在20%和45%，
∴摸到白球的频率为1-20%-45%=35%，
故口袋中白色球的个数可能是40×35%=14个．故答案为：14．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
18．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是______（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．
【答案】②
【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6．
【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误；
②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确。答案：②
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·浙江嘉兴市·九年级期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 _______ 0.94 0.88 0.89 0.90 _______
（1）完成上表．（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．
【答案】（1）见解析；（2）0.9；（3）120件
【分析】（1）根据频数除以总数=频率，分别求出即可；
（2）根据（1）中所求即可得出任取1件衬衣是合格品的概率；
（3）利用总数×（1-合格率）可得结果．
【解析】（1）88÷100=0.88，900÷1000=0.9，
填表如下：
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 0.88 0.94 0.88 0.89 0.90 0.9
（2）由（1）中所求即可得出：任取1件衬衣是合格品的概率为：0.9；
（3）1200×（1-0.9）=120件，∴次品大约有120件．
20．（2022·萧山区宁围初级中学）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
【答案】（1）小颖；（2）0.50；0.47；；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率．
【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．
（2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．
（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
【解析】（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的；故答案为：小颖；
（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50，
小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47，
据此，我得到“一正一反”的概率是；
（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．
21．（2022·浙江宁波市·）为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.
（1）若先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 的最大值为________.
（2）若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
【答案】（1）4；（2）17.
【分析】（1）由随机事件的定义，即可求出m的值；
（2）根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为40%，然后根据概率公式计算n的值即可；
【解析】（1）∵从盒子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”
∴不透明的盒子中至少有一个红球，
∴m的最大值=，故答案为：4；
（2）由题意得 解之得：n=17；
经检验，是原分式方程的解．
22．（2021 雁塔区校级模拟）刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并搅匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
【思路点拨】（1）设袋子中黄球有x个，利用摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近估算出得到红球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）设袋子中黄球有x个，
根据从袋中摸出一个红球的概率大约是0.25可得＝0.25，
解得：x＝3，
经检验：x＝3时原分式方程的解，
∴估算袋中黄球的个数为3；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到黄球的有9种情况，
∴两次都摸出黄球的概率为．
【点睛】此题考查了模拟试验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2022 竞秀区一模）嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）”．二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．
（1）这5个小球上的数字的众数为 ．
（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化，”
①琪琪摸出的小球上所标数字为 ．
②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
【思路点拨】（1）先根据多次摸球实验发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4得出标注数字3的球的个数，继而得出这5个数字，从而依据众数的概念得出答案；
（2）①根据原数据的中位数为3，如果去掉数字4，新数据的中位数是＝3可得答案；
②列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．
【答案】解：（1）∵一共有5个小球，经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4，
∴标有数字3的小球的个数为5×0.4＝2，
则琪琪标注的两个数字分别为3、4，
∴这5个小球标注的数字分别为2、3、3、4、4，
∴这5个小球上的数字的众数为3和4，
故答案为：3、4；
（2）①∵琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化”，
∴琪琪摸出的小球上所标数字为4；
②列表如下：
2 3 3 4
2 （2，2） （3，2） （3，2） （4，2）
3 （2，3） （3，3） （3，3） （4，3）
3 （2，3） （3，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （3，4） （4，4）
由表可知，共有16种等可能结果，其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的有4种，
所以嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率为＝．
【点睛】此题考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2022 仪征市期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5．
【思路点拨】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数＝球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率P≈0.67，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【答案】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，
故答案为：0.67；
（2）根据题意得：100×（1﹣0.67）＝33（只），
答：盒子里黑球有33只；故答案为：33；
（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为＝＝0.5＜0.67，故此选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为＝0.5，不符合题意；
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C，
故答案为：C．
【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
25．（2022·浙江初三期中）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向大圆内掷小石子，若掷中阴影，则小红胜，否则小明胜，未掷入掘内不算，你来当裁判．（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．
【答案】（1）不公平；（2）详见解析
【分析】（1）由大圆的面积减去小圆的面积求出阴影部分的面积，用阴影部分面积除以大圆面积求出小红获胜的概率，由小圆的面积除以大圆面积求出小明获胜的概率，即可判断游戏公平与否；
（2）设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来,如正方形，向正方形里面投石子，分别确定落在不同区域的次数，然后用落在不规则图形里面的次数除以总次数乘以面积即可求得面积．
【解析】解：（1）不公平．因为，即小红胜的概率为，小明胜的概率为，所以游戏布不公平．
（2）能用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积．设计方案如下：
①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来，如正方形，其面积为，如图所示．
②向正方形内掷小石子，做大量重复试验，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入非规则图形内．
③设非规则图形的面积为，用频率估计概率，即频率概率（掷入非规则图形内），
故，所以．（合理即可）
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
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专题2.3 用频率估计概率
模块1：学习目标
1、了解随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定；
2、进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
3、能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
模块2：知识梳理
1、频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3、利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
模块3：核心考点与典例
考点1、概率与频率的区别与联系
例1．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
变式1．（2023春·广西八年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上
变式2．（2023春·重庆·七年级专题练习）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．
①频率就是概率；②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率；④概率是随机的，在实验前不能确定
考点2、求事件的频率
例1．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（ ）
A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2
变式1．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）20230418中数字“2”出现的频率是 ____．
考点3、由频率估计概率
例1．（2023春·浙江·九年级专题练习）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
变式1．（2023春·九年级单元测试）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．
变式2．（2023春·浙江·九年级专题练习）某种小麦种子每10000粒重约350克，小麦播种的发芽概率约是95%，1株麦芽长成麦苗的概率约是90%，一块试验田的麦苗数是8550株，则播种这块试验田需麦种约为_______克．
变式3．（2023·福建三明·校联考二模）某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为______．（精确到0.01）．
抽查数 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
考点4、由频率估计概率综合应用
例1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 126 251
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.252 0.251
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里黑球有多少个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一质地均匀的骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
变式1．（2023春·浙江九年级月考）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：
抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000
合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213
口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921
下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是________（填序号）
变式2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206
小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794
0.299 0.266 0.256 0.259
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；
(3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π）
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江金华市·九年级期中）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（ ）
投篮数（次） 50 100 150 200 …
进球数（次） 40 81 118 160 …
A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进
C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100%
2．（2022 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
3．（2022·浙江杭州市·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（ ）
组别（cm） x≤160 160180
人数 15 42 38 5
A．28500 B．17100 C．10800 D．1500
4．（2022·浙江·九年级模拟）抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（ ）
A．25% B．50% C．75% D．33.3%
5．（2021 连云港二模）在一个不透明的盒子里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a约是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
6．（2022·浙江九年级期中）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近 D．随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
8．（2022·河南平顶山市·）在一个不透明的盒子中装有12个白球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，小军将盒子中的球搅拌均匀，摸出一个球记录下颜色再放回，通过多次重复这一过程发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则盒子中黄球的个数可能是（ ）
A．8个 B．18个 C．20个 D．30个
9．（2022·陕西西安市·九年级月考）某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2附近，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ）
A．90° B．72° C．60° D．45°
10．（2023·北京西城·校考模拟预测）下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．
下面有四个推断：①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860；
②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；
④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确
其中合理的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为______．
12．（2023·河北·统考模拟预测）历史上数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币200次，正面朝上的次数是110次，频率约为，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是_______．
13．（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）一只不透明袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到红球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到红球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
请你判断：从中摸出1个球是红球的概率的估计值是______（精确到0.01）．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
15．（2023·辽宁鞍山·统考二模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为__________.
16．（2022 东城区校级模拟）下列随机事件的概率：
①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率；
③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；
既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）．
17．（2022·宁夏九年级二模）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________．
18．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是______（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·浙江嘉兴市·九年级期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 _______ 0.94 0.88 0.89 0.90 _______
（1）完成上表．（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．
20．（2022·萧山区宁围初级中学）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
21．（2022·浙江宁波市·）为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.
（1）若先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 的最大值为________. （2）若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
22．（2021 雁塔区校级模拟）刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并搅匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
23．（2022 竞秀区一模）嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）”．二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．
（1）这5个小球上的数字的众数为 ．（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化，”①琪琪摸出的小球上所标数字为 ．②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
24．（2022 仪征市期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5．
末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．
25．（2022·浙江初三期中）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向大圆内掷小石子，若掷中阴影，则小红胜，否则小明胜，未掷入掘内不算，你来当裁判．（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．
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