浙教版八年级下册 4.2.3 平行四边形及其性质 教学设计

一、教学内容及其解析
数学学科八年级下《4.2.3平行四边形及其性质》教学设计
（1）地位和作用
平行四边形及其性质在生活中应用广泛，了解、掌握它是人们的需要。本堂课是学行四边形的定义和性质1,2的基础上进一步研究对角线的性质。纵观初中数学，它既是对已学平行线性质、全等三角形、图形变换等知识的综合运用和深化，又是后继学习菱形、矩形、正方形等知识的坚实基础，有承上启下作用，也为证明线段相等，角相等提供了新依据。对加强学生的逻辑推理能力和思维的严密性有积极的意义。因而，平行四边形性质的探索既是本节重点，也是全章重点。
（2）思想方法
本节课将重点研究对角线的性质，这个性质的学习，是学生对平行四边形观察、猜想、实验、证明等一系列数学活动“再创造”的产物，在探索活动中，学生感受获取知识的方法和研究图形的性质的方法。
二、教学目标及其解析
1．目标
（1）掌握平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”。
（2）会应用平行四边形的性质定理解决简单的几何问题
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：利用平行四边形性质定理和三角形全等解决简单的计算题。
达成目标（2）的标志是：利用平行四边形性质定理进行逻辑推理解决几何证明题。
三、教学问题诊断分析
（1）具备的基础（知识、能力）
在前面已经学行四边形的定义和性质1,2，在此基础上进一步研究对角线的性质，并且学生已经具备了逻辑推理能力。
（2）本课的目标需求（知识、能力）
掌握平行四边形的性质定理，并能应用定理解决简单的几何问题。
（3）可能存在的问题（问题、障碍）
①例3的解答过程较为复杂，并要求一题多解
②总结归纳研究图形的性质的一般方法
（4）应对策略（过程、方法）
通过观察，实验（从对角线的位置，对角线的数量以及被对角线的交点分割的四条线段之间的关系通过几何画板实验），猜想，证明的步骤对平行四边形的对角线的性质进行研究。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：例4的分析与引导，以及一题多解的教学。
四、教学技术支持条件
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五、教学过程设计
（一）新课导入
问题1：首先让我们一起来回顾一下，我们已经学行四边形的哪些性质了呢？
平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的对角相等。
问题2：那平行四边形还有其他性质吗？如果连结平行四边形的对角线，平行四边形的对角线有什么性质吗？让我们一起来探索一下。显然，平行四边形的对角线在位置上和数量上都没有特有的关系，那被对角线的交点分割的四条线段有什么关系吗？
（通过几何画板演示）
量得此时四条线段的长度发现OA=OC，OB=OD，这会不会是此时此刻特有的情况呢？随着老师改变平行四边形的形状，请同学们注意观察。我们发现OA和OC始终相等，OB和OD也始终相等，也就是说点O既是AC的中点，也是BD的中点，即AC平分BD，BD平分AC，我们称它为对角线互相平分。
问题3：根据刚刚的实验，我们不妨做一个大胆的猜想，平行四边形的对角线互相平分，你能证明你的猜想吗？
（二）探究新知
问题1：同学们还记得证明命题的步骤吗？
一步先画图，第二步再分析命题的条件和结论写出已知求证。
问题2：这个命题的条件是什么呢？
平行四边形的对角线相交于点O。
问题3：结论是什么呢？
平行四边形的对角线互相平分，也就是求证OA=OC，OB=OD。
问题4：要证明OA=OC，OB=OD，我们发现这四条线段恰好集中在两个三角形中，可以通过什么方法证明线段相等呢？
我们可以利用三角形全等，我们可以证明左右两个三角形全等，也可以证明上下两个三角形全等，老师就以△AOD≌△COB为例。
问题5：这两个三角形全等的条件我们已经有对顶角∠1=∠2，那其他条件呢？我们再来看看已知条件。由已知条件你能得到什么结论？
有对边平行且相等，对角相等。
问题6：你能得到这两个三角形全等的条件吗？
有AD=BC，还可以利用AD∥BC，可以得到内错角相等∠3=∠4，从而可以证得△AOD≌△COB，OA=OC，OB=OD。我们将证明的过程梳理出来。
所以平行四边形还有如下性质：平行四边形的对角线互相平分。
这是它的几何语言：
在 ABCD中，
或
（三）小试牛刀
第1小题，由平行四边形的对角线互相平分可得OA是AC的一半，是12cm，BD是OB的两倍，是18cm 。
第2小题，△AOB的周长就是OA+OB+AB，而AB的长是12cm，即OA+OB=18，由平行四边形的对角线互相平分可知AC与BD的和是OA与OB的和的两倍，是36cm。
第3小题，△AOB的周长就是OA+OB+AB，△AOD的周长就是OA+OD+AD，所以两个三角形的差就是AB- AD，所以能求得AD=16
（四）例题讲解
看来刚刚的题目没有难倒同学们，那再来挑战一下自己吧。请同学们先按暂停键，完成小试牛刀后再按回播放键。
由平行四边形ABCD可得对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。AC⊥BC，AC=4，AB=5，可以求得BC=3，AE=EC=2。
问题1：请同学们观察图形，要求BD的长度可以先求哪条线段的长度？为什么？
求出BE的长度，因为平行四边形对角线互相平分，BD=2BE 。在直角三角形BCE中利用勾股定理可以求得BE的长度。
问题2：请同学们按暂停键看一下解答的过程并思考还有别的方法吗？
我们一起来看一看张三同学的解法。
张三同学过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F，构造了直角三角形直接求BD长度，而要求BD的长度还需要求出DF和CF的长度，张三同学证明了四边形ACFD是平行四边形，从而得到CF=BF=3,DF=AC=4,求出BD的长。请同学们按暂停键看一下解题过程
接下来，让我们一起来看一下定理在证明题中的应用。请同学们先按暂停键，思考完成后再按回播放键。
问题1：要求证OE=OF，观察OE和OF的位置，可以通过什么方法证明线段相等？
我们还是可以利用三角形全等，老师就以△DOF≌△BOE为例。
问题2：这两个三角形全等的条件我们已经有对顶角∠1=∠2，那其他条件呢？我们再来看看已知条件。由已知条件中得到什么结论？
平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
问题3：你能得到这两个三角形全等的条件吗？
有OD=OB，利用AB∥CD，可以得到内错角相等∠3=∠4，可以证得△DOF≌△BOE，所以OE=OF，请同学们看一下证明的过程。
问题4：请同学们思考，在平行四边形里，通常采取什么方法去证明线段相等或者角相等？
我们可以利用三角形全等
问题5：那请同学们再思考，若过点O作直线EF交BA边和DC边的延长线于点E和点F, 结论还成立吗 请同学们先按暂停键，思考完成后再按回播放键。
（五）拓展提升
此时我们可以发现仍然有对顶角相等，利用AB∥CD还是有内错角相等，结合OD=OB，仍然可以证得△DOF≌△BOE，所以OE=OF。当直线EF交在AD和BC上或是AD和CB的延长线上时，利用相同的方法可以证明结论仍然成立，这个证明的过程留给同学们课后自己完成。
问题1：平行四边形ABCD被直接EF分割成左右两个部分这两个部分的面积和周长有什么关系？
我们可以证明△DOF≌△BOE，△COF≌△AOE，△DOA≌△BOC，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可以得到这两个部分的周长和面积相等。下面三种情况我们可以利用相同的方法证明结论仍然成立，证明的过程请同学们课后去完成。因此我们能得到结论过对角线的交点的直线把平行四边形分割成周长和面积相等的两部分 。
（六）应用新知
根据我们刚刚的探究可知，过对角线的交点的直线可以把平行四边形的面积平分，这样的直线我们可以画无数条，而又要经过水井M，所以我们只需要画一条经过OM的直线即可。
（七）课堂小节
前面我们学行四边形边和角的性质，今天我们补充了对角线的性质，即平行四边形对角线互相平分。我们从平行四边形的边、角、对角线来研究它的性质，所以通常我们在研究图形的性质时可以从它的元素入手，而我们在探索对角线的性质时通过几何画板实验，再做出猜想，然后证明，这也是我们研究图形性质的一般步骤。