浙教版八年级下册 5.1 矩形 教学设计

5.1矩形 教学设计
一、内容和内容解析
1．内容及处理
本节课是在学习了矩形的定义和性质之后，安排的一节课——矩形的判定，它还是符合几何研究的一般路径（定义——性质——判定），因此可以从研究路径角度确定本节课的研究的方向，类比平行四边形的判定学习过程可以得到研究的方法，通过回顾矩形的性质提出相应的逆命题，使得本节课的研究内容得到进一步的聚焦．
2．蕴含的数学思想和方法
本节课命题的提出过程蕴含的是类比思想，在证明命题的过程中突显了分析法．问题的解决过程中贯穿始终的是转化思想．
3．知识的上下位关系
平行线的性质判定，三角形全等的性质判定，直角三角形性质及判定，一般四边形的性质，平行四边形的性质及判定，矩形的性质都是学习本节课必备的知识．它也是学习特殊矩形（正方形）的基础．
4．育人价值
本节课能进一步培养孩子如何发现问题，提出问题，分析问题的能力，另外，也能进一步的培养孩子养成严谨规范的习惯，加强逻辑推理能力．
5．教学重点
矩形的判定定理．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）探索并证明矩形的判定定理．
（2）掌握矩形的判定定理：“有三个角是直角的四边形是矩形”，“对角线相等的平行四边形是矩形”．
（3）会灵活选择并运用矩形的判定定理证明四边形是矩形．
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
能够从研究的一般路径出发，明确目标，类比平行四边形的判定方法的学习过程，明确方法，回顾矩形的性质，提出相应的逆命题继而完成证明，视为目标1达成．
能够通过“图形语言”和“符号语言”来描述定理，并能运用定理判定矩形视为目标2达成．
能根据具体问题的条件特征选择合适的方法证明四边形是矩形视为目标3达成．
三、教学问题诊断
学生已经学行四边形的性质和判定，矩形的性质等知识，对几何研究的一般路径也已有所了解，对接下来研究矩形的判定这是比较自然的．学习平行线的判定，等腰三角形的判定以及平行四边形的判定这过程中学生也已经积累了经验，知道可以通过思考性质定理的逆命题得到相应的判定方法．然而，提出合理的逆命题却是比较困难的．
基于以上分析，确定本节课的教学难点：判定定理的发现过程．
四、教学支持条件
PPT，使用“剪映”软件辅助．
五、教学过程设计
第一环节 复习回顾，明方向，定方法
问题1 上节课我们对平行四边形的角进行了特殊化处理，得到了特殊的平行四边形——矩
形，以此我们理解了它的定义，探索并证明了它的性质，沿着这样的研究路径，我们接下来研究它的什么？（定义——性质——判定）
追问1 如何得到判定方法呢？请同学们回顾以往所学图形的判定方法的得出过程？
师生活动 不管是等腰三角形的判定，还是平行四边形的判定，都是通过考虑它们所具有的特有性质的逆命题中得到的．
追问2 矩形有哪些特有的性质呢？
师生活动 矩形作为特殊的平行四边形，每个内角都是90°，对角线相等．
设计意图 通过对几何研究的一般路径的回忆，明确接下来研究的方向．回顾以往所学特殊图形判定方法的得出过程，明确判定得出的方法．
第二环节 提出猜想，聚焦课堂
问题2 你能写成他们的逆命题呢？
师生活动 “四个角都是直角的平行四边形是矩形”，“对角线相等的平行四边形是矩形”．
追问1 根据定义显然“四个角都是直角的平行四边形是矩形”这命题中条件过多了，你能将其简化一些吗？
师生活动 与学生一起分析，如果减少命题中直角的个数，最终回到定义：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，那么不妨弱化平行四边形这条件，“四个角都是直角的四边形是矩形”．
追问2 你还能将这命题中的条件简化一些吗？
师生活动 由四边形内角和性质可知，如果三个角度数知道，就可以得出剩余角的大小，所以只需要三个角的度数足矣，故命题可以进一步改写为“三个角是直角的四边形是矩形”．
如此看来，我们只需要判断命题：“对角线相等的平行四边形是矩形”以及命题：“三个角是直角的四边形是矩形”两者的真伪即可．
设计意图 通过思考提出矩形性质定理的逆命题，分析每个命题，最终使得本节课的目标可以进一步的明确．
第三环节 转换语言，完成证明
问题3 下面我们就先来证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”，为了便于表达，我们首先将“文字语言”转化为“图形语言”和“符号语言”．请完成此命题的语言转化．
师生活动 学生已具备语言转化能力，这里可以简单点过，师生共同来完成语言转换．
证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”．
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BD．
求证：平行四边形ABCD为矩形．
设计意图 通过将“文字语言”转化为“图形语言”和“符号语言”，为后面的证明作好准备．
问题4 现在你能试着证明一下这命题了吗？
追问1 你现在有什么方法证明矩形？
师生活动：和学生一起回忆，目前判定矩形的方法只能依据定义．结合已知条件平行四边形ABCD，只需要说明有一个角为直角就好．
追问2 如何说明一个角（不妨找∠ABC）为直角，即∠ABC＝90°呢？
师生活动 根据已知条件∠ABC与∠BCD互补，要说明∠ABC＝90°，只需要说明∠ABC＝∠BCD即可．
追问3 如何说明∠ABC＝∠BCD呢？
师生活动 要说明两角相等，方法有很多，可以利用全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的性质等等，观察图形特征，∠ABC与∠BCD可以分别看成是△ABC和△BCD的一个内角，从而只要△ABC与△BCD全等即可，再结合已知条件，发现这是显然的．
设计意图 通过问题4以及系列的追问，帮助学生理清证明的思路，进一步培养学生分析问题的能力．
追问4 现在你能写出证明过程了吗？
师生活动 学生自主书写过程，个别展示
证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD．
又∵ AC＝BD，BC＝CB，
∴ △ABC≌△DCB（SSS）．
∴ ∠ABC＝∠DCB．
又∵ AB∥CD，
∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°．
∴ ∠ABC＝90°．
∴ 平行四边形ABCD为矩形．
设计意图 结合分析，让学生自主完成证明，把锻炼的机会留给学生，培养其严谨规范的表达能力．
追问5 请同学们根据刚刚命题证明的过程，自主完成命题“三个角是直角的四边形是矩形”的证明．
师生活动 学生自主完成证明过程并作个别交流．基本步骤不变：第一步，语言转化，根据条件作出图形，结合“条件”和“结论”写出“已知”“求证”．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD为矩形．
第二步，分析问题，形成思路．
要证四边形ABCD为矩形，结合条件∠A＝90°，依据定义，只需要说明四边形ABCD是平行四边形，再结合条件∠A＝∠B＝∠C＝90°，联想平行四边形的判定方法，会比较自然的去说明AD∥BC，AB∥CD．从而命题得证．
第三步，写出证明过程．
证明：∵ ∠A＝∠B＝90°，
∴ AD∥BC．
同理可得AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵ ∠A＝90°，
∴ 平行四边形ABCD为矩形．
设计意图 通过这样的活动，进一步巩固命题的证明过程，培养问题分析的能力，养成严谨规范的书写习惯．
第四环节 得出定理，完善表达
问题5 这样我们得到了两个矩形的判定定理：1.三个角是直角的四边形是矩形．2.对角线相等的平行四边形是矩形．如何用“符号语言”来表述这两个判定定理呢？
师生活动 师生合作，共同完成语言转化
（1）在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
（2）在平行四边形ABCD中，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
设计意图 转换语言，完善定理的表达方式，为定理的应用作好准备．
第五环节 应用定理，灵活选择
例1 已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB．
求证：平行四边形ABCD为矩形．
师生活动 一起分析，要证平行四边形ABCD为矩形，现在我们有两种途径切入，一、依据定义，证明∠BAD＝90°．二、依据判定定理2，证明AC＝BD即可．结合条件OA＝OB，若关注到OA是△ABD边BD上的中线，便可证明∠BAD＝90°．若关注到AC＝2OA，BD＝2OB，便可得到AC＝BD，从而命题得证．
练习 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形MNPQ是矩形．
设计意图 通过例题及相应的练习进一步掌握定理，在实际问题中能初步根据图形的特征及条件特征选择适当的判定方法判定矩形．
第六环节 课堂小结，提炼方法
问题6 思考：有哪些方法可以判定四边形为矩形？
问题7 我们是如何得到矩形的判定方法的？
设计意图 通过这两个问题的提问帮助学生从知识技能及思想方法两方面对本节课有一个认识，知其然，知其所以然，何由以知其所以然．