浙教版数学八年级上册2.2-2.3等腰三角形的性质 同步测试（培优版）

浙教版数学八年级上册2.2-2.3等腰三角形的性质 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·恩施模拟）如图，已知 中， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上以相同速度由点 向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当 与 全等时，点 运动的时间是（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=5cm.
设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵△BDP与△CPQ全等，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-3t，
解得t=1.
当BD=CQ，BP=PC时，5=3t且3t=8-3t，此时无解，
∴t=1.
故答案为：A.
【分析】根据中点的概念可得BD=AB=5cm，设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由全等三角形的性质可得BD=PC，BP=CQ；或BD=CQ，BP=PC，求解即可.
2．（2023·历城模拟）如图，等腰中，，，点D是底边的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PA，
由作法知EF是AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴PC+PD=PA+PD，
线段的最小就是PA+PD，
当A、P、D三点共线时最短，
∵点D是底边的中点，
∴BD=CD=，
∵AB=AC，
∴，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=，
∴（PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质先求出AP=CP，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
3．（2023·武安模拟）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
同理，得，
∴，
∴都是等腰三角形．
连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形．
∵，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形，
故答案为：C.
【分析】连接，先证出和是顶角为的等腰三角形，再求出，可得，利用等角对等边的性质可得，即可得到是顶角为的等腰三角形。
4．（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180° α，
∴∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′＝180° α 90°＝90° α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90° α，
故答案为：D.
【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
5．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
6．（2021八上·江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ ，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
7．（2021八上·拱墅期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③AG⊥EF；④∠EBC＝∠C．其中正确结论有（　　）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＋∠ABC＝90°，
∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠AEF＝90°，
∠CBE＋∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故④错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故③正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：C．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，则可判断 ① ；再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE，则可判断②；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF，则可判断③； ∠EBC＝∠C 不一定相等，则可判断 ④ .
8．（2021八上·武昌期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（　　）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠BCO=∠ACD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，
∴BO平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO= ，
∵ ，
∴ ，
∵AD⊥AO，
∴∠OAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠OAB= ，
∴∠BAD=∠ABC，
∴BC∥AD，
∴∠BCD=∠ADC= ，
∴AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB= ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由角平分线的概念可得∠BCO=∠ACD＝α，∠CBO=∠ABO=α，由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=2α，结合内角和定理得∠AOB=90°+α，∠OAB=90°-2α，由余角的性质得∠BAD=2α，则∠BAD=∠ABC，由平行线的性质得∠BCD=∠ADC=α，则可推出AB=AD，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=90°-α，然后根据∠BDC=∠ADB-∠ADC进行计算.
9．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
10．（2021八上·吴兴期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ ，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°.
∵OP=OB，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确.
在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°，
∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°.
∵∠BPC=∠APO+∠OPB，
∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°.
由①知：∠APO=30°+∠BOD，
∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°.
∵∠CBP+∠OBD=∠OBP，
∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°.
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°.
∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BPO为等边三角形，故②正确.
在AB上截取AE=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAE=60°.
∵AE=AP，
∴△APE为等边三角形，
∴∠BPO=∠APE=60°，
∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO，
∴∠BPE=∠APO.
∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP，
∴△EPB≌△APO（SAS），
∴BE=AO.
∵BE=AB-AE=AB-AP，
∴AB-AP=AO，故③正确.
延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，
∵PB=OB，∠PBA=∠OBF，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴S四边形AOBP=S△ABF，
要证S△ABF=2S△BOC，即证OD=AD，
而OD=AD无法证明，故④错误.
故答案为：C.
【分析】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可；
②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可；
③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的性质以及线段和差关系判断即可；
④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可得S四边形AOBP=S△ABF，然后判断出OD与AD的关系即可.
二、填空题
11．（2023八上·安顺期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC·AD＝×4·AD＝16，
解得AD＝8，
∵EF是腰AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【分析】如图所示，连接AD，由等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，可得到AD⊥BC，利用三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再由△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC，代入数值计算即可求解.
12．（2022八上·南宁开学考）如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
.
故答案为：8.
【分析】延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，根据四边形内角和为360°可得∠ABD+∠ACD=180°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，两式相加可得∠ABD=∠ACD=90°，证明△DCE≌△CBM，得到DE=DM，∠CDE=∠BDM，进而证明△EDN≌△MDN，得到EN=MN，则AM+AN+MN=AB+AC，据此解答.
13．（2021八上·中山期末）在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则　 　．
【答案】66°或24°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：是的垂直平分线，
如图，由题意得：是的垂直平分线，
综上：或
故答案为：或
【分析】分两种情况：∠A为钝角和锐角，据此分别画出图形，利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别解答即可.
14．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　
【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
15．（2022八上·苏州月考）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，　 　°.
【答案】40或70或55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
①当时，
∴
∴.
②当时，
；
③当时，
；
综上所述，的度数为或或.
故答案为：40或70或55.
【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可.
三、解答题
16．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
四、综合题
17．（2022八上·宁波期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　（填“是”或者“不是”）等角三角形．
（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【答案】（1）是
（2）证明：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°.
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=40°.
∵∠A=∠ACD，
∴△ACD是等腰三角形
∵∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B=60°，∠BDC=∠ACB=80°，
∴△BCD和△ABC是等角三角形.
∴CD为△ABC的等角分割线.
（3）解：84°，111°，92°，106°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）△BCD和△ACD 是等角三角形，理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，
∴ △BCD和△ACD 是等角三角形；
故答案为：是；
（3）①当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°＋42°＝84°，
②当△ACD是等腰三角形，如图，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∴∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°＋42°＝111°，
③当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
④当△BCD是等腰三角形，如图，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∠ACB＝92°，
⑤当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180° 2x，
则∠ACD＝∠B＝180° 2x，
由题意得，180° 2x＋42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180° 2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
⑥当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
综上所述：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
【分析】（1）由垂直的定义得∠CDB=∠CDA=90°，则∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°，结合已知∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，从而根据等角三角形的定义即可判断得出答案；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB=80°，根据角平分线的定义得∠ACD=∠BCD=40°，从而根据等腰三角形的判定及等角三角形的定义即可得出△ACD是等腰三角形，△BCD和△ABC是等角三角形，从而根据等角分割线的定义即可得出答案；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
18．（2022八上·奎文期中）已知为等腰三角形，，直线过点C（不经过点），过点A作于点D，过点B作于点E．
（1）如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，若点位于直线的两侧，
①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设与交于点F，当时，判断与是否相等，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①成立，
同理可得，
∴；
②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①利用“AAS”证明，可得；
②先证明，利用等腰三角形的性质可得，再结合，可得，所以。
1 / 1浙教版数学八年级上册2.2-2.3等腰三角形的性质 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·恩施模拟）如图，已知 中， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上以相同速度由点 向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当 与 全等时，点 运动的时间是（　　）
A． B．
C． D． 或
2．（2023·历城模拟）如图，等腰中，，，点D是底边的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023·武安模拟）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
4．（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
6．（2021八上·江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
7．（2021八上·拱墅期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③AG⊥EF；④∠EBC＝∠C．其中正确结论有（　　）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
8．（2021八上·武昌期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（　　）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
9．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2021八上·吴兴期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ ，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023八上·安顺期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　 　．
12．（2022八上·南宁开学考）如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为　 　．
13．（2021八上·中山期末）在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则　 　．
14．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，
，
，
的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　
15．（2022八上·苏州月考）如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，　 　°.
三、解答题
16．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
四、综合题
17．（2022八上·宁波期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　（填“是”或者“不是”）等角三角形．
（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
18．（2022八上·奎文期中）已知为等腰三角形，，直线过点C（不经过点），过点A作于点D，过点B作于点E．
（1）如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，若点位于直线的两侧，
①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设与交于点F，当时，判断与是否相等，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=5cm.
设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵△BDP与△CPQ全等，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-3t，
解得t=1.
当BD=CQ，BP=PC时，5=3t且3t=8-3t，此时无解，
∴t=1.
故答案为：A.
【分析】根据中点的概念可得BD=AB=5cm，设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由全等三角形的性质可得BD=PC，BP=CQ；或BD=CQ，BP=PC，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PA，
由作法知EF是AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴PC+PD=PA+PD，
线段的最小就是PA+PD，
当A、P、D三点共线时最短，
∵点D是底边的中点，
∴BD=CD=，
∵AB=AC，
∴，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=，
∴（PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质先求出AP=CP，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
同理，得，
∴，
∴都是等腰三角形．
连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形．
∵，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是顶角为的等腰三角形，
故答案为：C.
【分析】连接，先证出和是顶角为的等腰三角形，再求出，可得，利用等角对等边的性质可得，即可得到是顶角为的等腰三角形。
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180° α，
∴∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′＝180° α 90°＝90° α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90° α，
故答案为：D.
【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O ∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴ ，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.
7．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＋∠ABC＝90°，
∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＋∠AEF＝90°，
∠CBE＋∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故④错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故③正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：C．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，则可判断 ① ；再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE，则可判断②；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF，则可判断③； ∠EBC＝∠C 不一定相等，则可判断 ④ .
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠BCO=∠ACD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，
∴BO平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO= ，
∵ ，
∴ ，
∵AD⊥AO，
∴∠OAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠OAB= ，
∴∠BAD=∠ABC，
∴BC∥AD，
∴∠BCD=∠ADC= ，
∴AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB= ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由角平分线的概念可得∠BCO=∠ACD＝α，∠CBO=∠ABO=α，由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=2α，结合内角和定理得∠AOB=90°+α，∠OAB=90°-2α，由余角的性质得∠BAD=2α，则∠BAD=∠ABC，由平行线的性质得∠BCD=∠ADC=α，则可推出AB=AD，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=90°-α，然后根据∠BDC=∠ADB-∠ADC进行计算.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°.
∵OP=OB，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确.
在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°，
∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°.
∵∠BPC=∠APO+∠OPB，
∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°.
由①知：∠APO=30°+∠BOD，
∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°.
∵∠CBP+∠OBD=∠OBP，
∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°.
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°.
∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BPO为等边三角形，故②正确.
在AB上截取AE=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAE=60°.
∵AE=AP，
∴△APE为等边三角形，
∴∠BPO=∠APE=60°，
∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO，
∴∠BPE=∠APO.
∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP，
∴△EPB≌△APO（SAS），
∴BE=AO.
∵BE=AB-AE=AB-AP，
∴AB-AP=AO，故③正确.
延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，
∵PB=OB，∠PBA=∠OBF，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴S四边形AOBP=S△ABF，
要证S△ABF=2S△BOC，即证OD=AD，
而OD=AD无法证明，故④错误.
故答案为：C.
【分析】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可；
②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可；
③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的性质以及线段和差关系判断即可；
④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可得S四边形AOBP=S△ABF，然后判断出OD与AD的关系即可.
11．【答案】10
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC·AD＝×4·AD＝16，
解得AD＝8，
∵EF是腰AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【分析】如图所示，连接AD，由等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，可得到AD⊥BC，利用三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再由△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC，代入数值计算即可求解.
12．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
.
故答案为：8.
【分析】延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，根据四边形内角和为360°可得∠ABD+∠ACD=180°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，两式相加可得∠ABD=∠ACD=90°，证明△DCE≌△CBM，得到DE=DM，∠CDE=∠BDM，进而证明△EDN≌△MDN，得到EN=MN，则AM+AN+MN=AB+AC，据此解答.
13．【答案】66°或24°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得：是的垂直平分线，
如图，由题意得：是的垂直平分线，
综上：或
故答案为：或
【分析】分两种情况：∠A为钝角和锐角，据此分别画出图形，利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别解答即可.
14．【答案】①
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=
∠BAC=
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
15．【答案】40或70或55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
①当时，
∴
∴.
②当时，
；
③当时，
；
综上所述，的度数为或或.
故答案为：40或70或55.
【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可.
16．【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
17．【答案】（1）是
（2）证明：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°.
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=40°.
∵∠A=∠ACD，
∴△ACD是等腰三角形
∵∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B=60°，∠BDC=∠ACB=80°，
∴△BCD和△ABC是等角三角形.
∴CD为△ABC的等角分割线.
（3）解：84°，111°，92°，106°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）△BCD和△ACD 是等角三角形，理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，
∴ △BCD和△ACD 是等角三角形；
故答案为：是；
（3）①当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°＋42°＝84°，
②当△ACD是等腰三角形，如图，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∴∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°＋42°＝111°，
③当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
④当△BCD是等腰三角形，如图，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∠ACB＝92°，
⑤当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180° 2x，
则∠ACD＝∠B＝180° 2x，
由题意得，180° 2x＋42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180° 2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
⑥当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
综上所述：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
【分析】（1）由垂直的定义得∠CDB=∠CDA=90°，则∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°，结合已知∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，从而根据等角三角形的定义即可判断得出答案；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB=80°，根据角平分线的定义得∠ACD=∠BCD=40°，从而根据等腰三角形的判定及等角三角形的定义即可得出△ACD是等腰三角形，△BCD和△ABC是等角三角形，从而根据等角分割线的定义即可得出答案；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
18．【答案】（1）解：，理由如下：
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①成立，
同理可得，
∴；
②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①利用“AAS”证明，可得；
②先证明，利用等腰三角形的性质可得，再结合，可得，所以。
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