2023年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023八上·平桂期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
2．（2022八上·丰台期末）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2022八上·德惠期末）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）
A．24 B．20 C．15 D．12
4．（2023八上·平桂期末）在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．46° C．50° D．60°
5．（2022八上·太原月考）在中，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．以下叙述中，错误的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
7．（2021八上·长沙月考）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形有三条对称轴
B．三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．腰相等的两个等腰三角形全等
D．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等
8．（2023八上·吴忠期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．43° D．86°
9．（2023七下·防城期中）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
10．（2023八上·泗洪期末）如图，在四边形中，点E在边上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022八上·石景山期末）如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是 ．
12．（2023八上·吴忠期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
13．（2022七上·招远期末）等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为，则等腰三角形的顶角大小为 ．
14．（2022八上·长兴月考）已知等腰三角形的顶角和底角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系是 ．
15．（2022八上·平谷期末）如图，中，，D是BA延长线上一点，且，则 ．
三、解答题
16．（2023八上·吴忠期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F.求证：点D在的角平分线上.
17．（2022八上·黄冈月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数.
18．（2022八上·慈溪期中）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数.
19．（2023七下·鄞州月考）已知：如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.
（1）试说明：ABCD；
（2）试探究DF与DB的数量关系，并说明理由.
20．（2023八上·宁波期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 ；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
21．（2023八上·长兴期末）如图，，，，点E在线段上.
（1）求证：；
（2）求的度数.
22．（2023八上·武义期末）如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E.
（1）若，求的度数：
（2）若且周长为12，求BC的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°-80°-80°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由于80°的角是锐角，故可以做为底角，也可以作为顶角，从而根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当顶角是时，②底角是根据等腰三角形的性质分别求解即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵等腰三角形中，，是上的中线，
，同时也是上的高线，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式可得。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×92°＝46°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，等腰三角形底边上高线就是顶角的角平分线可得∠ACD＝ ∠ACB，再代入即可算出答案.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用等角对等边的性质可得。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A.符合等边三角形三线合一的性质；
B.符合等边三角形的判定条件；
C.等腰三角形也可能是钝角三角形或直角三角形；
D.符合等边对等角及等角对等边的性质．
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质以及判定对各个选项进行分析，从而得到答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：A、等边三角形有三条对称轴，故此选项错误，不符合题意；
B、等腰三角形底边上的中线和这条边上的高重合，故此选项错误，不符合题意；
C、腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故此选项错误，不符合题意；
D、若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，据此判断即可；
B、等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，据此判断即可；
C、根据全等三角形的判定方法进行判断即可；
D、轴对称的两个图形一定全等，据此判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=43°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，由等腰三角形的性质可得∠DCA=∠A=43°，由外角的性质可得∠BDC=∠DCA+∠A，据此计算.
9．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
，点为的中点，，
，，
，
的面积为10，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
周长的最小值为7，
故答案为：A.
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质求出AF、BF的长，在根据两点之间线段最短得到三角形周长的最小值.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据∠BCE=∠ACD结合角的和差关系可得∠BCA=∠DCE，利用ASA证明△BAC≌△EDC，得到AC=CD，∠ABC=∠DEC，由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠D=40°，∠AEC=∠ACE=70°，据此求解.
11．【答案】50°，50°或20°，80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；
②当时底角时，则有：顶角；
故答案为：50°，50°或20°，80°
【分析】分类讨论：①当时顶角时，②当时底角时，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
13．【答案】52°或68°
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如下图1，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
如下图2，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
等腰三角形的顶角大小为或，
故答案为：52°或68°
【分析】分两种情况，再利用等腰三角形的性质及角的运算求解即可。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2y=180，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和等于180°建立二元一次方程，进而将方程变形用含x的式子表示出y即可.
15．【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：50°
【分析】利用等边对等角的性质可得，再结合，可得。
16．【答案】证明：如图，连接.
∵，点D是边上的中点，
∴是等腰底边上的中线，
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，从而即可得出结论.
17．【答案】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°-∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°-（∠B+∠ACB）＝20.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得AE⊥BC，根据邻补角的定义得∠CDE=50°，根据三角形中的内角和算出∠DCE=40°，根据角平分线的定义得∠ACB=80°，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可算出∠BAC的度数.
18．【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵DA＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝ （180°-∠BAD）＝65°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC=25°，由外角的性质可得 ∠BAD=∠C+∠ABC=50°，由已知条件可得AB=AC、AD=AC，则AB＝AD，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理计算即可.
19．【答案】（1）证明：∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝90°
∴∠ABD＋∠BDC＝180°；
∴ABCD；
（2）解：
∵ABCD，
∴∠3＝∠ABF，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠1，
∴∠1＝∠3.
∴BD=DF.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得 ∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，利用已知条件可证得∠ABD+∠BDC=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
（2）利用两直线平行，内错角相等，可证得∠3=∠ABF，利用角平分线的定义可推出∠1＝∠3，然后根据等角对等边，可得到DF与DB的数量关系.
20．【答案】（1）中垂线；角平分线
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-50°-90°，
∵DF垂直平分AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠DAB=40°，
∴∠DAC=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）利用作图可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
故答案为：中垂线，角平分线
【分析】（1）根据作图痕迹可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=DB，利用等边对等角，可求出∠DAB的度数，由此可得到∠DAC的度数；然后利用角平分线的定义求出∠DAE的度数.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，即.
∴在和中，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知AC=AD，∠B=∠AED，∠1=∠2，根据角的和差关系可得∠BAC=∠EAD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
22．【答案】（1）解：，
（2）解：是的垂直平分线
又
周长为
，
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，然后利用内角和定理进行计算；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，结合AB=AC可得△CBD的周长为AB+BC=12，据此求解.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023八上·平桂期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°-80°-80°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由于80°的角是锐角，故可以做为底角，也可以作为顶角，从而根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可求出答案.
2．（2022八上·丰台期末）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当顶角是时，它的底角；
②底角是．
所以底角是或．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当顶角是时，②底角是根据等腰三角形的性质分别求解即可．
3．（2022八上·德惠期末）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）
A．24 B．20 C．15 D．12
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵等腰三角形中，，是上的中线，
，同时也是上的高线，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式可得。
4．（2023八上·平桂期末）在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（ ）
A．45° B．46° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×92°＝46°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，等腰三角形底边上高线就是顶角的角平分线可得∠ACD＝ ∠ACB，再代入即可算出答案.
5．（2022八上·太原月考）在中，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用等角对等边的性质可得。
6．以下叙述中，错误的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A.符合等边三角形三线合一的性质；
B.符合等边三角形的判定条件；
C.等腰三角形也可能是钝角三角形或直角三角形；
D.符合等边对等角及等角对等边的性质．
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质以及判定对各个选项进行分析，从而得到答案。
7．（2021八上·长沙月考）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形有三条对称轴
B．三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．腰相等的两个等腰三角形全等
D．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：A、等边三角形有三条对称轴，故此选项错误，不符合题意；
B、等腰三角形底边上的中线和这条边上的高重合，故此选项错误，不符合题意；
C、腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故此选项错误，不符合题意；
D、若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，据此判断即可；
B、等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，据此判断即可；
C、根据全等三角形的判定方法进行判断即可；
D、轴对称的两个图形一定全等，据此判断即可.
8．（2023八上·吴忠期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．43° D．86°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=43°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，由等腰三角形的性质可得∠DCA=∠A=43°，由外角的性质可得∠BDC=∠DCA+∠A，据此计算.
9．（2023七下·防城期中）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
，点为的中点，，
，，
，
的面积为10，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
周长的最小值为7，
故答案为：A.
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质求出AF、BF的长，在根据两点之间线段最短得到三角形周长的最小值.
10．（2023八上·泗洪期末）如图，在四边形中，点E在边上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据∠BCE=∠ACD结合角的和差关系可得∠BCA=∠DCE，利用ASA证明△BAC≌△EDC，得到AC=CD，∠ABC=∠DEC，由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠D=40°，∠AEC=∠ACE=70°，据此求解.
二、填空题
11．（2022八上·石景山期末）如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是 ．
【答案】50°，50°或20°，80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；
②当时底角时，则有：顶角；
故答案为：50°，50°或20°，80°
【分析】分类讨论：①当时顶角时，②当时底角时，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．（2023八上·吴忠期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
13．（2022七上·招远期末）等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为，则等腰三角形的顶角大小为 ．
【答案】52°或68°
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如下图1，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
如下图2，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
等腰三角形的顶角大小为或，
故答案为：52°或68°
【分析】分两种情况，再利用等腰三角形的性质及角的运算求解即可。
14．（2022八上·长兴月考）已知等腰三角形的顶角和底角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2y=180，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和等于180°建立二元一次方程，进而将方程变形用含x的式子表示出y即可.
15．（2022八上·平谷期末）如图，中，，D是BA延长线上一点，且，则 ．
【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：50°
【分析】利用等边对等角的性质可得，再结合，可得。
三、解答题
16．（2023八上·吴忠期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F.求证：点D在的角平分线上.
【答案】证明：如图，连接.
∵，点D是边上的中点，
∴是等腰底边上的中线，
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，从而即可得出结论.
17．（2022八上·黄冈月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°-∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°-（∠B+∠ACB）＝20.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得AE⊥BC，根据邻补角的定义得∠CDE=50°，根据三角形中的内角和算出∠DCE=40°，根据角平分线的定义得∠ACB=80°，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可算出∠BAC的度数.
18．（2022八上·慈溪期中）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵DA＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝ （180°-∠BAD）＝65°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC=25°，由外角的性质可得 ∠BAD=∠C+∠ABC=50°，由已知条件可得AB=AC、AD=AC，则AB＝AD，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理计算即可.
19．（2023七下·鄞州月考）已知：如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°.
（1）试说明：ABCD；
（2）试探究DF与DB的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝90°
∴∠ABD＋∠BDC＝180°；
∴ABCD；
（2）解：
∵ABCD，
∴∠3＝∠ABF，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠1，
∴∠1＝∠3.
∴BD=DF.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得 ∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，利用已知条件可证得∠ABD+∠BDC=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论.
（2）利用两直线平行，内错角相等，可证得∠3=∠ABF，利用角平分线的定义可推出∠1＝∠3，然后根据等角对等边，可得到DF与DB的数量关系.
20．（2023八上·宁波期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 ；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】（1）中垂线；角平分线
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-50°-90°，
∵DF垂直平分AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠DAB=40°，
∴∠DAC=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）利用作图可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
故答案为：中垂线，角平分线
【分析】（1）根据作图痕迹可知DF垂直平分AB，AE平分∠DAC.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=DB，利用等边对等角，可求出∠DAB的度数，由此可得到∠DAC的度数；然后利用角平分线的定义求出∠DAE的度数.
21．（2023八上·长兴期末）如图，，，，点E在线段上.
（1）求证：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，即.
∴在和中，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知AC=AD，∠B=∠AED，∠1=∠2，根据角的和差关系可得∠BAC=∠EAD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
22．（2023八上·武义期末）如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E.
（1）若，求的度数：
（2）若且周长为12，求BC的长.
【答案】（1）解：，
（2）解：是的垂直平分线
又
周长为
，
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，然后利用内角和定理进行计算；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，结合AB=AC可得△CBD的周长为AB+BC=12，据此求解.
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