2023年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步测试（培优）

2023年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步测试（培优）
一、选择题
1．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
2．（2022八上·拱墅月考）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm.
故答案为：C.
【分析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm，分xcm为腰、4xcm为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系就可确定出三角形的三边长，结合周长为18cm就可求出x的值，进而可得等腰三角形的底边长.
3．（2022七上·济阳期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴．
同理可得：．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是
∴以A2022为顶点的内角度数是．
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BA1C=75°，由A1A2=A1D可得∠DA2A1=∠A1DA2，根据三角形外角的性质可得∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，从而求出，以此类推，以An为顶点的内角度数是，继而得解.
4．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
5．（2021八上·广安期末）如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴
∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
6．（2020八上·西华期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上， ，在坐标轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；
以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；
以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；
综上所述：符合条件的点P共有6个.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分AB=AP，AP=BP，BP=AB三种情况考虑即可得出答案.
7．（2020八上·淳安期中）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题.如图1，在 中， ，CD平分 ， ， ，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使 ，连接DE，可得 且 是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3， 中， ， ，BD平分 ，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（ ， ， ）（　　）
A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=40°，∠BDC=180°-∠C-∠2=60°，
在BA上取一点E，使BE=BC=a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵，
∴△DEB≌△DCB(SAS)，
∴∠BED=∠C=80°，
∴∠4=∠BDC=60°，
在DA上取一点F，使DF=DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=a,
∵∠A=20°，
∴∠6=20°，
∴AF=EF=a,
∵BD=DF=b,
∴AD=AF+DF=a+b.
故答案为：A.
【分析】在BA上取点E，使BE=BC=a，连接DE，证明△DEB≌△DBC，同理再在DA上取点F，使DF=DB=b，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论.
8．（2020八上·萧山期中）如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8等，
∵AB=AC，∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠A=20°，
∵BC=CD，∴∠4=∠3=20°，
∴∠5=∠4+∠1=30°，
同理∠7=∠6+∠1=30°+10°=40°，
∠9=∠8+∠1=40°+10°=50°，
∠11=∠10+10°=60°，
∠13=∠12+10°=70°，
∠15=∠14+10°=80°，
∠17=∠16+10°=90°，
这时，再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，
综上，共有8个.
故答案为：B.
【分析】分别取角，利用三角形的外角的性质，结合等腰三角形的性质，依次求出各角，从而得出规律，得出∠17等于90°，这时根据三角形内角和定理再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，从而解决问题.
9．（2020八上·宜城期中）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴ ×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5.
故答案为：C.
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解.
二、填空题
10．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
11．（2022七下·莲池期末）如图，在中，，，，平分，是线段上的动点，是线段上的动点，则面积为　 　，的最小值为　 　．
【答案】60；
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴， 为边的中线，
∴，为中垂线，
∴作关于的对称点在上，为，
过作于，交于，
，
∴最小值为，此时，与重合，，重合，
在关于对称点上，下求即可，
又，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：60；．
【分析】由等腰三角形的性质可得为中垂线，作关于的对称点在上，为，
过作于，交于，由于，可得最小值为，此时，与重合，，重合，求出此时即可.
12．（2021八上·龙江期末）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵，
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，根据轴对称性质和角平分线性质可得点在AB上，可得，当且C、P、三点共线时，有最小值即为CQ'的长，根据△ABC的面积可求出CQ'的长，即得结论.
13．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为　 　.
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
14．（2021八上·长沙月考）如图，在 中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为　 　.
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵AB=AC，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
，
当点 在 上时， 最小，最小值为 ，
的周长最短
.
故答案为：9.
【分析】连接AD、AM，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由求出AD=7，由线段垂直平分线的性质得AM=CM，当点M在AD上时， 最小，最小值为AD的长，可得△CDM的周长最短，据此计算即得.
15．（2021七下·成都期末）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作射线AM，作点C关于AM的对称点D，连接BD并延长交AM于E，连接AD，CD.若BD＝2DE，ABD的面积为7，则四边形BACD的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，
∵点C关于AM的对称点D，
∴AE是DC的垂直平分线，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE＝45°，
∴∠AEF＝45°，
∴AF＝FE，
∵AF⊥BD，AB＝AD，
∴BF＝FD，
∴BD＝2BF＝2DF，
∵BD＝2DE，
∴BF＝DF＝DE，
∵CD⊥AE，
∴∠HDE＝45°，
∴EH＝DH＝CH，
设DE＝x，
∴EH＝DH＝CH＝x，
∴BD＝2DE＝2x，AF＝FE＝2x，
∵△ABD的面积为7，
∴×BD AF＝7，
∴×2x×2x＝7，解得x＝（负值舍去），
∴DC＝2DH＝x＝，
∵AF＝FE＝2x，
∴AE＝AF＝2x，
∴AH＝AE EH＝2x-＝x＝×＝，
∴S△ADC＝×DC AH＝××＝，
则四边形BACD的面积=S△ABD＋S△ADC＝7＋＝.
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，利用轴对称的性质可推出AE是DC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可证得AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，可推出AB=AD，利用等腰三角形的三线合一的性质可得到∠DAF＝∠BAF，即可得到∠FAE＝∠AEF=45°，利用等腰三角形和等腰直角三角形的性质可得到AF=EF，BD=2DF，结合已知可得到BF＝DF＝DE；设DE＝x，分别表示出EH，BD，AF的长，由△ABD的面积为7，利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，解方程取出x的值，可得到DC，AF，AE，AH的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积，根据四边形BACD的面积=S△ABD＋S△ADC，代入计算可求解.
三、综合题
16．（2023八下·龙岗期中）如图，AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，∠ABC＝50°，在线段AD上取一点E．使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接BE，AF．
（1）∠EBF＝　 　度，∠EBA＝　 　度，∠BFE＝　 　度；
（2）求证：BA＝BF；
（3）BE与AF的位置关系为 　 　（直接写出）．
【答案】（1）20；20；40
（2）证明：∵AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC，
∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝40°，
∴∠BAE＝∠BFE＝40°，
∵∠ABE＝∠EBF＝20°，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB＝BF；
（3）BE⊥AF
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵ AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线 ，AB=AC
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠ACE=20°，
∵∠ABC=50°， ∠FBC＝10°
∴∠ECB=∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，∠EBF=∠ABC-∠ABE-∠FBC=50°-20°-10°=20°，
∴∠BFE=∠ACB+∠FBC=30°+10°=40°；
故答案为：20，20，40.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，
∴BE⊥AF；
故答案为：BE⊥AF.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质可推出∠EBC=∠ECB，从而得出∠ABE=∠ACE=20°，利用角的和差求出∠ECB、∠EBF的度数，再利用三角形外角和的性质求出∠BFE即可；
（2）证明△ABE≌△FBE（AAS）， 利用全等三角形的对应边相等即可求解.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，利用等腰三角形的性质即得BE⊥AF.
17．（2022七下·绥德期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．
（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；
（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q．
①试说明：∠CAE＝∠CBE；
②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积．
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠A＝∠F，
在△ACD和△FCE中，
∵∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△FCE（AAS），
∴AD＝FE．
（2）解：①∵ CA＝CB，AD＝DB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵ ∠ACD+∠ACE＝∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠BCE．
在△ACE和△BCE中，
∵ CA＝CB，∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠CAE＝∠CBE．
②∵ △ACE≌△BCE，
∴EA＝EB，
又因为EB＝EP，EA＝8，
∴EP＝EB＝EA＝8，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵ ∠CAE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠EPA，
又∵ ∠BQC＝∠PQE，
∴∠PEB＝∠PCB＝90°，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可知∠A＝∠F，然后根据”两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等“可判断△ACD≌△FCE，再由全等三角形对应边相等即可说明；
（2）①根据等腰三角形的三线合一定理得CD是∠ACB的角平分线，由邻补角得∠ACE＝∠BCE，根据边角边方法可判定△ACE≌△BCE，即可给出说明；
②根据全等三角形对应的边、角相等，并且等腰三角形的底角相等，可得AE=BE=PE=8，∠CAE＝∠CBE=∠APE，又∠BQC=∠PQE，故得∠BEP=∠BCQ=90°，然后根据直角三角形的面积计算方法即可得到答案.
18．（2022八上·杭州期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点当的大小变化时，的形状也随之改变.
（1）当时，求的度数；
（2）设，，求变量与的关系式；
（3）当是等腰三角形时，求的度数.
【答案】（1）解： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
；
（2）解： ， ，
，
由 可得： ， ，
，
即 与 的关系式为 ；
（3）解：设 ， ，
若 ，
则 ，
而 ， ，
则有： ，
由 知 ，
，
解得： ，
；
若 ，
则 ，
由 得： ，
，
，
，
解得： ，
；
若 ，
则 ， ，
由 得： ，
，
，
，
解得： ，不符合题意，
综上：当 是等腰三角形时， 的度数为 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=∠ACB=72°，根据垂直的定义得∠BDC=90°，根据角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据直角三角形的两锐角互余即可算出∠BPD的度数；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=，根据角平分线的定义得∠ABP=，根据垂直的定义得∠BDC=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等即可求出 与 的关系式 ；
（3）分类讨论：①PE=EC，②PC=PE，③CP=CE，分别根据三角形的内角定义及等腰三角形的性质一一求解即可.
19．（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。
20．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
21．（2021八上·绍兴期中）已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝　 　（请直接写出答案）．
【答案】（1）证明：如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k＋6k＝5，
∴k＝ ，
∴BC＝6k＝ ；
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，
同法可得10k﹣6k＝5，
解得k＝ ，
∴BC＝6k＝ ，
综上所述，BC的值为 或 ．
（3）解：如图3 1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝ ；
如图3 2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，
此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为 或6．
（4）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5.
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意可得AD＝DB，然后根据等腰三角形的性质进行证明；
（2）当AB＜AD时，BC＝BD，设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD=5可得k的值，进而可得BC；当AB＞AD时，BC＝BD，同理求解即可；
（3）当△ADC≌△BED时，BD=AC=BC，由（2）可知BC的值；当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，求出k的值，进而可得BC；
（4）当CA′∥AB时，由平行线的性质可得∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知∠A′CD＝∠ACD，则∠ACD=∠ADC，推出AC＝AD＝5，据此解答.
22．（2022七下·泾阳期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，CA＝CB，∠ACB是锐角，∠ACB＝α．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在NA的延长线上，且AE＝DE．
（1）△BCM与△ACN全等吗？请说明理由；
（2）请求出∠BDE的度数．（用含α的代数式表示）
【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵CA=CB，BN=AM，
∴CA-BN=CB-AM，即CN=CM，
在△BCM与△ACN中，
，
∴ △BCM≌△ACN（SAS） .
（2）解：由(1)得△BCM≌△ACN，
∴∠CAN=∠CBM，
∵AG∥BC ，
∴∠ADB=∠CBM，
∴∠ADB=∠CAN=∠CAB-∠BAN，
∵ AE＝DE ，
∴∠EDA=∠EAD，
∵AG∥BC ，
∴∠EAD=∠ANC，
∴∠EDA=∠ANC=∠ANC=∠ABC+∠BAN，
∴ ∠BDE=∠CAB-∠BAN+∠ABC+∠BAN=∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-α.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)根据线段的和差关系求出CN=CM，再利用SAS证明△BCM≌△ACN即可；
(2)根据全等三角形的性质和平行线的性质求出∠ADB=∠CBM，则可得出∠ADB=∠CAB-∠BAN，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质求出∠EDA=∠ABC+∠BAN，最后根据角的和差关系，即可求出结果.
23．（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得，，，利用三角形的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明，可得，，然后利用三角形的内角和求出， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得 ，即得结论；
（3）先证，再证，可得 ，由 ，可得 ，从而求出，据此即得结论.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步测试（培优）
一、选择题
1．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2022八上·拱墅月考）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
3．（2022七上·济阳期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
5．（2021八上·广安期末）如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020八上·西华期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上， ，在坐标轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020八上·淳安期中）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题.如图1，在 中， ，CD平分 ， ， ，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使 ，连接DE，可得 且 是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3， 中， ， ，BD平分 ，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（ ， ， ）（　　）
A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c
8．（2020八上·萧山期中）如图，已知∠A=10°，在∠A两边上分别作点，并连接这些点，使 AB=BC=CD=DE……一直作下去，那么图中以这些线段为腰长的等腰三角形最多能找到（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
9．（2020八上·宜城期中）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
二、填空题
10．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为　 　．
11．（2022七下·莲池期末）如图，在中，，，，平分，是线段上的动点，是线段上的动点，则面积为　 　，的最小值为　 　．
12．（2021八上·龙江期末）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
13．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为　 　.
14．（2021八上·长沙月考）如图，在 中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为　 　.
15．（2021七下·成都期末）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作射线AM，作点C关于AM的对称点D，连接BD并延长交AM于E，连接AD，CD.若BD＝2DE，ABD的面积为7，则四边形BACD的面积为　 　.
三、综合题
16．（2023八下·龙岗期中）如图，AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，∠ABC＝50°，在线段AD上取一点E．使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连接BE，AF．
（1）∠EBF＝　 　度，∠EBA＝　 　度，∠BFE＝　 　度；
（2）求证：BA＝BF；
（3）BE与AF的位置关系为 　 　（直接写出）．
17．（2022七下·绥德期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．
（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；
（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q．
①试说明：∠CAE＝∠CBE；
②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积．
18．（2022八上·杭州期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点当的大小变化时，的形状也随之改变.
（1）当时，求的度数；
（2）设，，求变量与的关系式；
（3）当是等腰三角形时，求的度数.
19．（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
20．（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
21．（2021八上·绍兴期中）已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝　 　（请直接写出答案）．
22．（2022七下·泾阳期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，CA＝CB，∠ACB是锐角，∠ACB＝α．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在NA的延长线上，且AE＝DE．
（1）△BCM与△ACN全等吗？请说明理由；
（2）请求出∠BDE的度数．（用含α的代数式表示）
23．（2021八上·盐湖期中）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在 OAB与 OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．
（1）如图1， OAB与 OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3， OAB与 OCD是对顶三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG=OE，连接AG，求证：EF⊥BC．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm.
故答案为：C.
【分析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm，分xcm为腰、4xcm为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系就可确定出三角形的三边长，结合周长为18cm就可求出x的值，进而可得等腰三角形的底边长.
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴．
同理可得：．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是
∴以A2022为顶点的内角度数是．
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BA1C=75°，由A1A2=A1D可得∠DA2A1=∠A1DA2，根据三角形外角的性质可得∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，从而求出，以此类推，以An为顶点的内角度数是，继而得解.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴
∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；
以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；
以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；
综上所述：符合条件的点P共有6个.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分AB=AP，AP=BP，BP=AB三种情况考虑即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=40°，∠BDC=180°-∠C-∠2=60°，
在BA上取一点E，使BE=BC=a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵，
∴△DEB≌△DCB(SAS)，
∴∠BED=∠C=80°，
∴∠4=∠BDC=60°，
在DA上取一点F，使DF=DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=a,
∵∠A=20°，
∴∠6=20°，
∴AF=EF=a,
∵BD=DF=b,
∴AD=AF+DF=a+b.
故答案为：A.
【分析】在BA上取点E，使BE=BC=a，连接DE，证明△DEB≌△DBC，同理再在DA上取点F，使DF=DB=b，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8等，
∵AB=AC，∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠A=20°，
∵BC=CD，∴∠4=∠3=20°，
∴∠5=∠4+∠1=30°，
同理∠7=∠6+∠1=30°+10°=40°，
∠9=∠8+∠1=40°+10°=50°，
∠11=∠10+10°=60°，
∠13=∠12+10°=70°，
∠15=∠14+10°=80°，
∠17=∠16+10°=90°，
这时，再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，
综上，共有8个.
故答案为：B.
【分析】分别取角，利用三角形的外角的性质，结合等腰三角形的性质，依次求出各角，从而得出规律，得出∠17等于90°，这时根据三角形内角和定理再无相等线段可作为等腰三角形的腰长，从而解决问题.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点B关于AD的对称点为点C，
过点C作CN⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴ ×10 CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5.
故答案为：C.
【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解.
10．【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
11．【答案】60；
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴， 为边的中线，
∴，为中垂线，
∴作关于的对称点在上，为，
过作于，交于，
，
∴最小值为，此时，与重合，，重合，
在关于对称点上，下求即可，
又，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：60；．
【分析】由等腰三角形的性质可得为中垂线，作关于的对称点在上，为，
过作于，交于，由于，可得最小值为，此时，与重合，，重合，求出此时即可.
12．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵，
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，根据轴对称性质和角平分线性质可得点在AB上，可得，当且C、P、三点共线时，有最小值即为CQ'的长，根据△ABC的面积可求出CQ'的长，即得结论.
13．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
14．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵AB=AC，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
，
当点 在 上时， 最小，最小值为 ，
的周长最短
.
故答案为：9.
【分析】连接AD、AM，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由求出AD=7，由线段垂直平分线的性质得AM=CM，当点M在AD上时， 最小，最小值为AD的长，可得△CDM的周长最短，据此计算即得.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，
∵点C关于AM的对称点D，
∴AE是DC的垂直平分线，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE＝45°，
∴∠AEF＝45°，
∴AF＝FE，
∵AF⊥BD，AB＝AD，
∴BF＝FD，
∴BD＝2BF＝2DF，
∵BD＝2DE，
∴BF＝DF＝DE，
∵CD⊥AE，
∴∠HDE＝45°，
∴EH＝DH＝CH，
设DE＝x，
∴EH＝DH＝CH＝x，
∴BD＝2DE＝2x，AF＝FE＝2x，
∵△ABD的面积为7，
∴×BD AF＝7，
∴×2x×2x＝7，解得x＝（负值舍去），
∴DC＝2DH＝x＝，
∵AF＝FE＝2x，
∴AE＝AF＝2x，
∴AH＝AE EH＝2x-＝x＝×＝，
∴S△ADC＝×DC AH＝××＝，
则四边形BACD的面积=S△ABD＋S△ADC＝7＋＝.
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，利用轴对称的性质可推出AE是DC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可证得AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，可推出AB=AD，利用等腰三角形的三线合一的性质可得到∠DAF＝∠BAF，即可得到∠FAE＝∠AEF=45°，利用等腰三角形和等腰直角三角形的性质可得到AF=EF，BD=2DF，结合已知可得到BF＝DF＝DE；设DE＝x，分别表示出EH，BD，AF的长，由△ABD的面积为7，利用三角形的面积公式可得到关于x的方程，解方程取出x的值，可得到DC，AF，AE，AH的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积，根据四边形BACD的面积=S△ABD＋S△ADC，代入计算可求解.
16．【答案】（1）20；20；40
（2）证明：∵AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC，
∵∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝40°，
∴∠BAE＝∠BFE＝40°，
∵∠ABE＝∠EBF＝20°，BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB＝BF；
（3）BE⊥AF
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵ AD为等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线 ，AB=AC
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠ACE=20°，
∵∠ABC=50°， ∠FBC＝10°
∴∠ECB=∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，∠EBF=∠ABC-∠ABE-∠FBC=50°-20°-10°=20°，
∴∠BFE=∠ACB+∠FBC=30°+10°=40°；
故答案为：20，20，40.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，
∴BE⊥AF；
故答案为：BE⊥AF.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质可推出∠EBC=∠ECB，从而得出∠ABE=∠ACE=20°，利用角的和差求出∠ECB、∠EBF的度数，再利用三角形外角和的性质求出∠BFE即可；
（2）证明△ABE≌△FBE（AAS）， 利用全等三角形的对应边相等即可求解.
（3）由（2）知AB＝BF，∠ABE＝∠EBF，利用等腰三角形的性质即得BE⊥AF.
17．【答案】（1）解：∵ ，
∴∠A＝∠F，
在△ACD和△FCE中，
∵∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△FCE（AAS），
∴AD＝FE．
（2）解：①∵ CA＝CB，AD＝DB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵ ∠ACD+∠ACE＝∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠BCE．
在△ACE和△BCE中，
∵ CA＝CB，∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠CAE＝∠CBE．
②∵ △ACE≌△BCE，
∴EA＝EB，
又因为EB＝EP，EA＝8，
∴EP＝EB＝EA＝8，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵ ∠CAE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠EPA，
又∵ ∠BQC＝∠PQE，
∴∠PEB＝∠PCB＝90°，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可知∠A＝∠F，然后根据”两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等“可判断△ACD≌△FCE，再由全等三角形对应边相等即可说明；
（2）①根据等腰三角形的三线合一定理得CD是∠ACB的角平分线，由邻补角得∠ACE＝∠BCE，根据边角边方法可判定△ACE≌△BCE，即可给出说明；
②根据全等三角形对应的边、角相等，并且等腰三角形的底角相等，可得AE=BE=PE=8，∠CAE＝∠CBE=∠APE，又∠BQC=∠PQE，故得∠BEP=∠BCQ=90°，然后根据直角三角形的面积计算方法即可得到答案.
18．【答案】（1）解： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
；
（2）解： ， ，
，
由 可得： ， ，
，
即 与 的关系式为 ；
（3）解：设 ， ，
若 ，
则 ，
而 ， ，
则有： ，
由 知 ，
，
解得： ，
；
若 ，
则 ，
由 得： ，
，
，
，
解得： ，
；
若 ，
则 ， ，
由 得： ，
，
，
，
解得： ，不符合题意，
综上：当 是等腰三角形时， 的度数为 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=∠ACB=72°，根据垂直的定义得∠BDC=90°，根据角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据直角三角形的两锐角互余即可算出∠BPD的度数；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=，根据角平分线的定义得∠ABP=，根据垂直的定义得∠BDC=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等即可求出 与 的关系式 ；
（3）分类讨论：①PE=EC，②PC=PE，③CP=CE，分别根据三角形的内角定义及等腰三角形的性质一一求解即可.
19．【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。
20．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
21．【答案】（1）证明：如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k＋6k＝5，
∴k＝ ，
∴BC＝6k＝ ；
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，
同法可得10k﹣6k＝5，
解得k＝ ，
∴BC＝6k＝ ，
综上所述，BC的值为 或 ．
（3）解：如图3 1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝ ；
如图3 2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，
此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为 或6．
（4）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5.
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意可得AD＝DB，然后根据等腰三角形的性质进行证明；
（2）当AB＜AD时，BC＝BD，设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD=5可得k的值，进而可得BC；当AB＞AD时，BC＝BD，同理求解即可；
（3）当△ADC≌△BED时，BD=AC=BC，由（2）可知BC的值；当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，求出k的值，进而可得BC；
（4）当CA′∥AB时，由平行线的性质可得∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知∠A′CD＝∠ACD，则∠ACD=∠ADC，推出AC＝AD＝5，据此解答.
22．【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵CA=CB，BN=AM，
∴CA-BN=CB-AM，即CN=CM，
在△BCM与△ACN中，
，
∴ △BCM≌△ACN（SAS） .
（2）解：由(1)得△BCM≌△ACN，
∴∠CAN=∠CBM，
∵AG∥BC ，
∴∠ADB=∠CBM，
∴∠ADB=∠CAN=∠CAB-∠BAN，
∵ AE＝DE ，
∴∠EDA=∠EAD，
∵AG∥BC ，
∴∠EAD=∠ANC，
∴∠EDA=∠ANC=∠ANC=∠ABC+∠BAN，
∴ ∠BDE=∠CAB-∠BAN+∠ABC+∠BAN=∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-α.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)根据线段的和差关系求出CN=CM，再利用SAS证明△BCM≌△ACN即可；
(2)根据全等三角形的性质和平行线的性质求出∠ADB=∠CBM，则可得出∠ADB=∠CAB-∠BAN，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质求出∠EDA=∠ABC+∠BAN，最后根据角的和差关系，即可求出结果.
23．【答案】（1）解： ．
理由：∵ 与 是对顶三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，且 ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
设AC，BD相交于点M，则 ，
∴ ，
综上所述， ，且 ；
（3）证明：∵E为AD的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“ 对顶三角形 ”可得，，，利用三角形的内角和求出∠OAB、∠OCD的度数，从而得出∠OAB=∠OCD，根据平行线的判定即证；
（2）证明，可得，，然后利用三角形的内角和求出， 设AC，BD相交于点M，利用三角形外角的性质可得 ，即得结论；
（3）先证，再证，可得 ，由 ，可得 ，从而求出，据此即得结论.
1 / 1