2023年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2023八上·大冶）如图，中，，点为内一点，，，则（ ）
A．60° B．72° C．70° D．65°
2．（2022八上·黔东南期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2022八上·冠县期中）在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
4．（2022八上·北仑期中）如图，和的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则线段的长为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
5．（2022八上·江都月考）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
6．（2022八上·慈溪期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．62° D．64°
7．（2022八上·衢州期中）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A，B两点能构成的等腰三角形个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
9．（2022八上·广州期末）如图，平分，下列结论中，正确的个数是（ ）
．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
二、填空题
11．（2023八上·南充期末）如图，中，，，，EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F.Р为线段EF上一动点，D为边BC的中点，则周长的最小值是 .
12．（2023八上·金华期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为 .
13．（2023八上·绍兴期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为 .
14．（2023八上·大冶）如图，等腰的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则周长的最小值为 cm.
15．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 .
16．（2022八上·京山期中）如图，在和中，，，.点E在上，若，则＝ .
三、作图题
17．（2022八上·海曙期中）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（ 1 ）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（ 2 ）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
四、解答题
18．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
19．（2022八上·青田期中）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是∠ABC的角平分线，CD与BE交于点P.
（1）当∠A＝52°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A＝x°时，求∠BPC的度数（请用含x的代数式表示），并说明理由.
20．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.
21．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
22．（2022八上·杭州期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P.当的大小变化时，的形状也随之改变..
（1）当时，求的度数；
（2）设，，求变量与的关系式；
（3）当是等腰三角形时，求的度数.
23．（2022八上·北仑期中）如图，，射线，且，点是线段不与点、重合上的动点，过点作交射线于点，连接.
（1）如图1，若，，求的长.
（2）如图2，若平分，
试猜测和的数量关系，并说明理由；
若的面积为5，求四边形的面积.
（3）如图3，
①已知点是网格中的格点，若三角形是以为底边的等腰三角形，那么这样的点共有 ▲ 个；
②在网格中找出一个点，使得点到点，和点，的距离分别相等，请在网格中标注点保留作图痕迹
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，作于点D，延长交于点P，连接.
由题意可求出，
∵，
∴.
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴ （），
∴.
∵，
∴
故答案为：B.
【分析】作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，连接AP，易得∠ABP=30°，CA=CB，推出CD为AB的垂直平分线，则PA=PB，由等腰三角形的性质可得∠BAP=∠ABP=30°，根据角的和差关系可得∠CAP=18°，∠ACD=42°，由外角的性质可得∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°，然后求出∠CAP、∠OAP的度数，利用AAS证明△CAP≌△OAP，得到AC=AO，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=50°，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=(180°-∠C)=65°，
∵∠E=25°，∠ABC=∠E+∠BFE，
∴∠BFE=∠ABC-∠E=65°-15°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的旋转可得∠A=∠ABC，结合内角和定理可得∠ABC=65°，由外角的性质可得
∠ABC=∠E+∠BFE，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：情况1：如图：
∵，
∴，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15°，
底角与顶角的度数比为：15°：150°=1：10；
情况2：如图：
∵，CA=CB，
∴∠B=∠CAB=，
底角与顶角的度数比为：75°：30°=5：2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5：2或1：10，
故答案为：D.
【分析】分类讨论，分别画出图象并利用角的运算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
同理，
.
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，利用等角对等边可得EF=BE，同理可得FG=GC，根据EG=EF+FG=BE+CG即可求解.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当OA与x轴正半轴夹角不等于60°时，以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点P；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即有1个满足条件的点P；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，
则AP＝OP，
此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点P；
2+1+1＝4，
当OA与x轴正半轴夹角等于60°的时候，图中的P1，P'和P'会重合，是一个点，加上原来的负半轴的P点，总共2个点.
故答案为：D.
【分析】当OA与x轴正半轴夹角不等于60°时，以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形；以A为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形；当OA与x轴正半轴夹角等于60°的时候，结合等腰三角形的两腰相等找出点P的位置，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，
∵∠B′＝∠CBA＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠B′＝∠B′BC＝70°，
∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝180°﹣50°﹣70°＝60°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，结合内角和定理可得∠B′＝∠CBA＝70°，由等腰三角形的性质可得 ∠B′＝∠B′BC＝70°，由内角和定理可得∠BCB′=40°，则∠BCD＝90°﹣∠BCB′＝50°，再次利用内角和定理就可求出 ∠BDC的度数.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
一共有5个满足条件的点.
故答案为：B
【分析】利用等腰三角形的性质，分情况讨论：当等腰三角形的顶角顶点为A时有1个；当顶角的顶点为B时，有4个；当顶角的顶点在AB的垂直平分线上时只有1仲情况，但不在格点上，由此可得到符合条件的等腰三角形的个数.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，
则AF＝BF，
∴AF＝BF＝AH，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝CH，
∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8.
故答案为：A.
【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，则AF＝BF＝AH，根据等腰三角形的性质可得CF＝CH，则可将△AFH的周长转化为2BC，据此计算.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，
，
符合题意，
，
，
符合题意，
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质及角平分线的定义可得，利用等角对等可得AD=AB，然后逐一判断即可.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
11．【答案】7
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD、AP，
∵△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD=2，
∵△ABC的面积=10，
∴，即，
解得AD=5，
∵ EF垂直平分AC ，
∴点A与点C关于直线EF对称，AP=CP，
∴CP+PD=PA+PD≥AD，
∴AD的长为PA+PD的最小值，
∴△CDP的周长最小值为：CP+PD+CD=AD+CD=5+2=7.
故答案为：7.
【分析】连接AD、AP，根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=2，利用三角形面积计算公式可得AD的长为5，根据EF垂直平分AC ，可知点A与点C关于直线EF对称，AP=CP，根据三角形三边关系推出CP+PD=PA+PD≥AD，故AD的长为PA+PD的最小值，由此即可得出结论.
12．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：延长BF交AC于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：2.
【分析】延长BF交AC于E，首先利用ASA判断出△ABF≌△AEF，根据全等三角形对应边相等得AE=AB=4，根据平行线的性质及角平分线的定义得∠GAF=∠GFA，根据等角对等边得AG=FG，根据等角的余角相等得∠GFE=∠GEF，再根据等角对等边得FG=GE，从而就不难求出FG的长了.
13．【答案】92°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AKM=∠BNK，
∵∠AKN＝∠B+∠BNK，
即∠AKM+∠MKN＝∠B+∠BNK，
∴∠B＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣2×44°＝92°.
故答案为：92°.
【分析】根据等边对等角得∠A=∠B，从而用SAS判断出△AMK≌△BKN，根据全等三角形对应边得∠AKM=∠BNK，根据三角形外角性质得∠AKN＝∠B+∠BNK=∠AKM+∠MKN，则∠B＝∠MKN＝44°，最后根据三角形的内角和定理即可算出∠P的度数.
14．【答案】11
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点，连接AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=MB，
∴，
∴当点M位于时，有最小值，最小值为8，
∴△BDM的周长的最小值为cm；
故答案为：11cm.
【分析】连接AD交EF于点M′，连接AM，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，结合三角形的面积公式可得AD的值，由线段垂直平分线的性质可得AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故当点M位于M′时，MB+DM有最小值，最小值为AD，据此求解.
15．【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
16．【答案】27.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】首先算出∠ECB、∠ACB的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得∠B的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
17．【答案】解：（1）
△ABC就是所求作的三角形.
（2）如图，
△ADC就是所求作的三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）要画出面积为8的等腰三角形的等腰三角形，可以画出底边长为4，高为4的等腰三角形.
（2）利用全等三角形的性质及格点特点，作出AD=BC，CD=AB，利用SSS，然后画出△ADC即可.
18．【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
19．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝52°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝64°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝32°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝122°，
∴∠BPC的度数为122°；
（2）解：∠BPC的度数为（135﹣x）°，
理由：∵AB＝AC，∠A＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（90﹣x）°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝（45﹣x）°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝（135﹣x）°，
∴∠BPC的度数为（135﹣x）°.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝64°， 利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠ABC＝32°， 由垂直的定义可得∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得 ∠BPC＝∠ABE+∠BDP ，从而得解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（90﹣x）°， 利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠ABC＝（45﹣x）°， 由垂直的定义可得∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得 ∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝（135﹣x）°.
20．【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°.
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°.
（2）解：设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°.
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠ABC＝80°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC=∠BCD=50°，由外角的性质可得∠ACD+∠A＝∠BDC，据此计算；
（2）设∠BCD＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE＝(α+x)°，由内角和定理可得∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2(α+x)°，则∠DBC-∠EBC＝2α°，由角的和差关系可得∠DBC-∠EBC＝∠ABE＝β°，据此解答.
21．【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
【分析】设∠C＝x，则∠ABC＝2x，进而根据角平分线的定义、等边对等角及三角形外角性质可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）根据等角对等边得BD=CD，从而利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT，则BD=CT，由等边对等角及对顶角相等得 ∠T＝∠CDT＝∠ADB， 用AAS证明△ABD≌△ECT，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC．
22．【答案】（1）解：，，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）可得：，，
，
即与的关系式为；
（3）解：设，，
①若，
则，
而，，
则有：，
由（2）知，
，
解得：，
；
②若，
则，
由①得：，
，
，
，
解得：，
；
③若，
则，，
由①得：，
，
，
，
解得：，不符合题意，
综上：当 是等腰三角形时，的度数为或.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，由角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=36°，然后根据∠BPD=90°-∠ABE进行计算；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=90°-，由（1）可得∠ABP=45°-，然后根据β=∠EPC=∠BPD=90°-∠ABP进行解答；
（3）设∠A=α，∠EPC=β，①若EP=EC，根据等腰三角形的性质可得∠ECP=∠EPC=β，则∠ABC=∠ACB=90°-，根据∠ABC+∠BCD=90°结合（2）的结论可得α的度数，进而可得∠ACB的度数；②若PC=PE，则∠PCE=∠PEC=90°-，同理求解即可；③若CP=CE，则∠EPC=∠PEC=β，∠PCE=180°-2β，同理求解即可.
23．【答案】（1）解：，，，
，
，，
，
，，
，
≌，
（2）解：①，理由如下：
延长，交于点，
平分，
，
，
，
≌，
，
，，
，
又，
≌，
，
②≌，的面积为，
，
≌，
；
（3）解：①3；②作和的垂直平分线交于点，则点即为所求.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）①如图，点、、为所作，
故答案为：3；
【分析】（1）根据AAS证明△ABP≌△PCD，可得CD=BP=3；
（2）①PB=PC，理由：延长，交于点，先证△DPA≌△DPE，可得PA=PE，再证△APB≌△EPC，可得PB=PC；②由≌，的面积为可得，由△APB≌△EPC可得，继而得解；
（3）作AD的垂直平分线，此线上的格点即为点E；② 作和的垂直平分线，两直线的交点即为点.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2023八上·大冶）如图，中，，点为内一点，，，则（ ）
A．60° B．72° C．70° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，作于点D，延长交于点P，连接.
由题意可求出，
∵，
∴.
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴ （），
∴.
∵，
∴
故答案为：B.
【分析】作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，连接AP，易得∠ABP=30°，CA=CB，推出CD为AB的垂直平分线，则PA=PB，由等腰三角形的性质可得∠BAP=∠ABP=30°，根据角的和差关系可得∠CAP=18°，∠ACD=42°，由外角的性质可得∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°，然后求出∠CAP、∠OAP的度数，利用AAS证明△CAP≌△OAP，得到AC=AO，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
2．（2022八上·黔东南期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=50°，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=(180°-∠C)=65°，
∵∠E=25°，∠ABC=∠E+∠BFE，
∴∠BFE=∠ABC-∠E=65°-15°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的旋转可得∠A=∠ABC，结合内角和定理可得∠ABC=65°，由外角的性质可得
∠ABC=∠E+∠BFE，据此计算.
3．（2022八上·冠县期中）在等腰三角形ABC中，，过点A作的高AD．若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：情况1：如图：
∵，
∴，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15°，
底角与顶角的度数比为：15°：150°=1：10；
情况2：如图：
∵，CA=CB，
∴∠B=∠CAB=，
底角与顶角的度数比为：75°：30°=5：2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5：2或1：10，
故答案为：D.
【分析】分类讨论，分别画出图象并利用角的运算求解即可。
4．（2022八上·北仑期中）如图，和的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则线段的长为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
同理，
.
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，利用等角对等边可得EF=BE，同理可得FG=GC，根据EG=EF+FG=BE+CG即可求解.
5．（2022八上·江都月考）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当OA与x轴正半轴夹角不等于60°时，以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点P；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即有1个满足条件的点P；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，
则AP＝OP，
此时三角形是等腰三角形，即有2个满足条件的点P；
2+1+1＝4，
当OA与x轴正半轴夹角等于60°的时候，图中的P1，P'和P'会重合，是一个点，加上原来的负半轴的P点，总共2个点.
故答案为：D.
【分析】当OA与x轴正半轴夹角不等于60°时，以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形；以A为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形；当OA与x轴正半轴夹角等于60°的时候，结合等腰三角形的两腰相等找出点P的位置，据此解答.
6．（2022八上·慈溪期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．62° D．64°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，
∵∠B′＝∠CBA＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠B′＝∠B′BC＝70°，
∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝180°﹣50°﹣70°＝60°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，结合内角和定理可得∠B′＝∠CBA＝70°，由等腰三角形的性质可得 ∠B′＝∠B′BC＝70°，由内角和定理可得∠BCB′=40°，则∠BCD＝90°﹣∠BCB′＝50°，再次利用内角和定理就可求出 ∠BDC的度数.
7．（2022八上·衢州期中）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A，B两点能构成的等腰三角形个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
一共有5个满足条件的点.
故答案为：B
【分析】利用等腰三角形的性质，分情况讨论：当等腰三角形的顶角顶点为A时有1个；当顶角的顶点为B时，有4个；当顶角的顶点在AB的垂直平分线上时只有1仲情况，但不在格点上，由此可得到符合条件的等腰三角形的个数.
8．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，
则AF＝BF，
∴AF＝BF＝AH，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝CH，
∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8.
故答案为：A.
【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，则AF＝BF＝AH，根据等腰三角形的性质可得CF＝CH，则可将△AFH的周长转化为2BC，据此计算.
9．（2022八上·广州期末）如图，平分，下列结论中，正确的个数是（ ）
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，
，
符合题意，
，
，
符合题意，
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质及角平分线的定义可得，利用等角对等可得AD=AB，然后逐一判断即可.
10．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
二、填空题
11．（2023八上·南充期末）如图，中，，，，EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F.Р为线段EF上一动点，D为边BC的中点，则周长的最小值是 .
【答案】7
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD、AP，
∵△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD=2，
∵△ABC的面积=10，
∴，即，
解得AD=5，
∵ EF垂直平分AC ，
∴点A与点C关于直线EF对称，AP=CP，
∴CP+PD=PA+PD≥AD，
∴AD的长为PA+PD的最小值，
∴△CDP的周长最小值为：CP+PD+CD=AD+CD=5+2=7.
故答案为：7.
【分析】连接AD、AP，根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=2，利用三角形面积计算公式可得AD的长为5，根据EF垂直平分AC ，可知点A与点C关于直线EF对称，AP=CP，根据三角形三边关系推出CP+PD=PA+PD≥AD，故AD的长为PA+PD的最小值，由此即可得出结论.
12．（2023八上·金华期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：延长BF交AC于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：2.
【分析】延长BF交AC于E，首先利用ASA判断出△ABF≌△AEF，根据全等三角形对应边相等得AE=AB=4，根据平行线的性质及角平分线的定义得∠GAF=∠GFA，根据等角对等边得AG=FG，根据等角的余角相等得∠GFE=∠GEF，再根据等角对等边得FG=GE，从而就不难求出FG的长了.
13．（2023八上·绍兴期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为 .
【答案】92°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AKM=∠BNK，
∵∠AKN＝∠B+∠BNK，
即∠AKM+∠MKN＝∠B+∠BNK，
∴∠B＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣2×44°＝92°.
故答案为：92°.
【分析】根据等边对等角得∠A=∠B，从而用SAS判断出△AMK≌△BKN，根据全等三角形对应边得∠AKM=∠BNK，根据三角形外角性质得∠AKN＝∠B+∠BNK=∠AKM+∠MKN，则∠B＝∠MKN＝44°，最后根据三角形的内角和定理即可算出∠P的度数.
14．（2023八上·大冶）如图，等腰的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则周长的最小值为 cm.
【答案】11
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点，连接AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=MB，
∴，
∴当点M位于时，有最小值，最小值为8，
∴△BDM的周长的最小值为cm；
故答案为：11cm.
【分析】连接AD交EF于点M′，连接AM，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，结合三角形的面积公式可得AD的值，由线段垂直平分线的性质可得AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故当点M位于M′时，MB+DM有最小值，最小值为AD，据此求解.
15．（2023八上·合川期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 .
【答案】2.4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如解图，延长到点G，使，
∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：2.4.
【分析】延长到点G，使，证明，可得，，利用等量代换可得BG=BE=AC=4，易求，可推出AF=EF，再利用CF=AC-AF即可求解.
16．（2022八上·京山期中）如图，在和中，，，.点E在上，若，则＝ .
【答案】27.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】首先算出∠ECB、∠ACB的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得∠B的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
三、作图题
17．（2022八上·海曙期中）如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（ 1 ）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
（ 2 ）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【答案】解：（1）
△ABC就是所求作的三角形.
（2）如图，
△ADC就是所求作的三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）要画出面积为8的等腰三角形的等腰三角形，可以画出底边长为4，高为4的等腰三角形.
（2）利用全等三角形的性质及格点特点，作出AD=BC，CD=AB，利用SSS，然后画出△ADC即可.
四、解答题
18．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
19．（2022八上·青田期中）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是∠ABC的角平分线，CD与BE交于点P.
（1）当∠A＝52°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A＝x°时，求∠BPC的度数（请用含x的代数式表示），并说明理由.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝52°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝64°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝32°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝122°，
∴∠BPC的度数为122°；
（2）解：∠BPC的度数为（135﹣x）°，
理由：∵AB＝AC，∠A＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（90﹣x）°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝（45﹣x）°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝（135﹣x）°，
∴∠BPC的度数为（135﹣x）°.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝64°， 利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠ABC＝32°， 由垂直的定义可得∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得 ∠BPC＝∠ABE+∠BDP ，从而得解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（90﹣x）°， 利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠ABC＝（45﹣x）°， 由垂直的定义可得∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得 ∠BPC＝∠ABE+∠BDP＝（135﹣x）°.
20．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°.
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°.
（2）解：设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°.
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠ABC＝80°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC=∠BCD=50°，由外角的性质可得∠ACD+∠A＝∠BDC，据此计算；
（2）设∠BCD＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE＝(α+x)°，由内角和定理可得∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2(α+x)°，则∠DBC-∠EBC＝2α°，由角的和差关系可得∠DBC-∠EBC＝∠ABE＝β°，据此解答.
21．（2023八上·金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC.
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC.
【答案】（1）72
（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC.
（3）证明：如图2中，延长BD到T.使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，
∵BD＝CD，
∴BD＝CT，
在△ABD和△ECT中，
，
∴△ABD≌△ECT（AAS），
∴AB＝EC.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1中，设∠C＝x.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝2x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
故答案为：72；
【分析】设∠C＝x，则∠ABC＝2x，进而根据角平分线的定义、等边对等角及三角形外角性质可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x即可解决问题；
（2）根据等角对等边得BD=CD，从而利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC；
（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT，则BD=CT，由等边对等角及对顶角相等得 ∠T＝∠CDT＝∠ADB， 用AAS证明△ABD≌△ECT，根据全等三角形的对应边相等得AB=EC．
22．（2022八上·杭州期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P.当的大小变化时，的形状也随之改变..
（1）当时，求的度数；
（2）设，，求变量与的关系式；
（3）当是等腰三角形时，求的度数.
【答案】（1）解：，，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）可得：，，
，
即与的关系式为；
（3）解：设，，
①若，
则，
而，，
则有：，
由（2）知，
，
解得：，
；
②若，
则，
由①得：，
，
，
，
解得：，
；
③若，
则，，
由①得：，
，
，
，
解得：，不符合题意，
综上：当 是等腰三角形时，的度数为或.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，由角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=36°，然后根据∠BPD=90°-∠ABE进行计算；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=90°-，由（1）可得∠ABP=45°-，然后根据β=∠EPC=∠BPD=90°-∠ABP进行解答；
（3）设∠A=α，∠EPC=β，①若EP=EC，根据等腰三角形的性质可得∠ECP=∠EPC=β，则∠ABC=∠ACB=90°-，根据∠ABC+∠BCD=90°结合（2）的结论可得α的度数，进而可得∠ACB的度数；②若PC=PE，则∠PCE=∠PEC=90°-，同理求解即可；③若CP=CE，则∠EPC=∠PEC=β，∠PCE=180°-2β，同理求解即可.
23．（2022八上·北仑期中）如图，，射线，且，点是线段不与点、重合上的动点，过点作交射线于点，连接.
（1）如图1，若，，求的长.
（2）如图2，若平分，
试猜测和的数量关系，并说明理由；
若的面积为5，求四边形的面积.
（3）如图3，
①已知点是网格中的格点，若三角形是以为底边的等腰三角形，那么这样的点共有 ▲ 个；
②在网格中找出一个点，使得点到点，和点，的距离分别相等，请在网格中标注点保留作图痕迹
【答案】（1）解：，，，
，
，，
，
，，
，
≌，
（2）解：①，理由如下：
延长，交于点，
平分，
，
，
，
≌，
，
，，
，
又，
≌，
，
②≌，的面积为，
，
≌，
；
（3）解：①3；②作和的垂直平分线交于点，则点即为所求.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）①如图，点、、为所作，
故答案为：3；
【分析】（1）根据AAS证明△ABP≌△PCD，可得CD=BP=3；
（2）①PB=PC，理由：延长，交于点，先证△DPA≌△DPE，可得PA=PE，再证△APB≌△EPC，可得PB=PC；②由≌，的面积为可得，由△APB≌△EPC可得，继而得解；
（3）作AD的垂直平分线，此线上的格点即为点E；② 作和的垂直平分线，两直线的交点即为点.
1 / 1
