2023年浙教版数学八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·淮南期末）已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边BC上的中线所在的直线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AB的垂直平分线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
2．（2022八上·长春期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．（2022八上·汾阳期末）如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
4．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
5．（2021八上·蓬江期末）在中，，，则的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
6．（2022八上·河西期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．（2022八上·嘉兴期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·京山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
9．（2022八上·中山期末）如图所示，以 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 C，交 于点 D，再分别以点 C 、 D 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在 内部交于点 E，过点 E 作射线 ，连接则下列说法错误的（ ）
A．射线 是 的平分线
B． 是等腰三角形
C．C、D 两点关于 所在直线对称
D．O、E 两点关于 所在直线对称
10．（2022八上·抚远期末）如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·滨城期中）如图所示，P是等边三角形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，得到，若，则 ．
12．（2023八上·安岳期末）如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
13．（2022八上·曹县期中）如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为 ．
14．（2022八上·平阳期中）如图，在中，，是边上的中线，E是上一点，且．若，则 ．
15．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
16．（2022八上·南昌期中）如图是某种落地灯的简易示意图，为立杆；为支杆，可绕点B旋转；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．为了使落地灯更方便学习时的照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长为，则此时B，D两点之间的距离为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·佛冈期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝2，CN＝3，求线段MN的长．
18．（2023八上·汉阴期末）如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形.
19．（2022八上·冠县期中）如图，在中，，把直角边沿过点的某条直线折叠，使点落到边上的一点处，当时，证明．
20．（2022八上·老河口期中）如图，在中，与的平分线相交于点O，AO的延长线交于点D，.求证：.
21．（2023八上·平桂期末）欢欢和父亲起设计一个三角形屋架，如图，父亲给出一组数据：AB＝AC＝7m，BD＝CE＝2.5m，AD＝4m，∠DAE＝60°，让欢欢根据这组数据计算制作这个三角形屋架一共需要多长的钢材，请你帮欢欢计算一下，并说明理由.
22．（2021八上·大理期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
23．（2023八上·大冶）如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F.
（1）求∠AEB的度数；
（2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长.
24．（2021八上·蓬江期末）如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点．
（1）求证是等腰三角形；
（2）探索、、之间的等量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴AB=AC，
∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的周长公式及线段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，一共有8个点C符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴的周长=．
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得的周长=。
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出∠BDC=30°，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠ACB，则AB=AC，据此解答.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm.
故答案为：C.
【分析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，易得△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，根据等腰三角形的性质得AH⊥BC，BH=CH，在Rt△DFH中，根据含30°角直角三角形的性质得HF=DF=3，据此就不难得出答案.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得射线 是 的平分线，，
∴ 是等腰三角形，点C、D 两点关于 所在直线对称，
故D故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的作图方法，等腰三角形的判定方法和性质及轴对称的性质逐项判断即可。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
即，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，故③符合题意；
∴平分，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角的运算，垂直平分线的判定和性质逐项判断即可。
11．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：将绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，
故答案为：3．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
12．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得AB=AC，由垂直平分线的性质可得AC=EC，则AC=EC=AB，根据周长的意义可得AB+AC+BC=2(AC+DC)=30，求出AC+DC的值，然后根据DE=DC+CE=DC+AC进行计算.
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先利用角的运算和等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得。
14．【答案】6
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠CAD，∠B=∠C，由平行线的性质可得∠EDA=∠CAD，∠EDB=∠C，推出DE=AE，DE=BE，据此求解.
15．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
16．【答案】50
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
是等边三角形 ，
此时B，D两点之间的距离为
故答案为：50．
【分析】连接BD，先证明是等边三角形 ，再利用等边三角形的性质可得，从而得解。
17．【答案】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝MB，NE＝NC，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝5，
故线段MN的长为5．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，根据角平分线的概念可得∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE， 进而推出ME＝MB，NE＝NC，然后根据MN＝ME+NE＝BM+CN进行计算.
18．【答案】证明：平分，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠ACD=∠ECD，再根据平行线的性质得∠A=∠ACD，∠B=∠ECD，故∠A=∠B，根据等角对等边得AC=BC，从而根据等腰三角形的定义得出结论.
19．【答案】证明：在中，
，
，
（等角对等边），即为等腰三角形，
由等腰三角形性质：等腰三角形底边上的高与底边中线重合可得，为的中线，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得。
20．【答案】证明：，
.
与的平分线相交于点O，
，.
.
.
在和中
.
.
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，根据角平分线的概念可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，利用SSS证明△ABO≌△ACO，得到∠BAD=∠CAD，据此证明.
21．【答案】解：制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材，理由如下：
∵AB＝AC＝7m，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE＝AD＝4m，
∴AE+DE+AD+BD+CE+AB+AC＝4+4+4+2.5+2.5+7+7＝31（m），
即制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由已知条件可知AB=AC，BD=CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到AD＝AE，推出△ADE是等边三角形，则AE＝DE＝AD＝4m，据此求解.
22．【答案】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用“ASA”证明△BDE≌△CDF，可得DE=DF，再结合∠EDF＝60°，可得△DEF是等边三角形。
23．【答案】（1）解：∵为等边三角形，
∴∠BAC=60°.
∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE＋∠BAE=60°，
∴∠AEB＝180°-60°=120°
（2）解：在AF上截取AG＝BE，连接CG
在△ABE和△CAG中，，
∴△ABE≌△CAG(SAS)，
∴BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°，
∴∠BED=60°.
∵AF＝15，
∴GF=AF-AG=15-10=5，∠CGF＝60°.
∵，
∴∠BED＝∠CFA＝60°
∴∠CGF＝∠CFA＝60°
∴△CFG为等边三角形.
∴AE＝CG＝GF＝5.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，由已知条件可知∠ABE=∠CAD，则∠ABE＋∠BAE=60°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）在AF上截取AG＝BE，连接CG，利用SAS证明△ABE≌△CAG，得到BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°，则∠BED=60°，GF=AF-AG=5，∠CGF＝60°，由平行线的性质可得∠BED＝∠CFA＝60°，则∠CGF＝∠CFA＝60°，推出△CFG为等边三角形，据此解答.
24．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质求出，即可得到CA=CE，从而可证为等腰三角形；
（2）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·淮南期末）已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边BC上的中线所在的直线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AB的垂直平分线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴AB=AC，
∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的周长公式及线段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴。
2．（2022八上·长春期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，一共有8个点C符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2022八上·汾阳期末）如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
4．（2022八上·右玉期末）已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，再结合，可得。
5．（2021八上·蓬江期末）在中，，，则的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴的周长=．
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得的周长=。
6．（2022八上·河西期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接，则长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出∠BDC=30°，再求出，最后计算求解即可。
7．（2022八上·嘉兴期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠ACB，则AB=AC，据此解答.
8．（2022八上·京山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm.
故答案为：C.
【分析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，易得△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，根据等腰三角形的性质得AH⊥BC，BH=CH，在Rt△DFH中，根据含30°角直角三角形的性质得HF=DF=3，据此就不难得出答案.
9．（2022八上·中山期末）如图所示，以 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 C，交 于点 D，再分别以点 C 、 D 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在 内部交于点 E，过点 E 作射线 ，连接则下列说法错误的（ ）
A．射线 是 的平分线
B． 是等腰三角形
C．C、D 两点关于 所在直线对称
D．O、E 两点关于 所在直线对称
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得射线 是 的平分线，，
∴ 是等腰三角形，点C、D 两点关于 所在直线对称，
故D故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的作图方法，等腰三角形的判定方法和性质及轴对称的性质逐项判断即可。
10．（2022八上·抚远期末）如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
即，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，故③符合题意；
∴平分，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用角的运算，垂直平分线的判定和性质逐项判断即可。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·滨城期中）如图所示，P是等边三角形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，得到，若，则 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：将绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，
故答案为：3．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
12．（2023八上·安岳期末）如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得AB=AC，由垂直平分线的性质可得AC=EC，则AC=EC=AB，根据周长的意义可得AB+AC+BC=2(AC+DC)=30，求出AC+DC的值，然后根据DE=DC+CE=DC+AC进行计算.
13．（2022八上·曹县期中）如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先利用角的运算和等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得。
14．（2022八上·平阳期中）如图，在中，，是边上的中线，E是上一点，且．若，则 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠CAD，∠B=∠C，由平行线的性质可得∠EDA=∠CAD，∠EDB=∠C，推出DE=AE，DE=BE，据此求解.
15．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
16．（2022八上·南昌期中）如图是某种落地灯的简易示意图，为立杆；为支杆，可绕点B旋转；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．为了使落地灯更方便学习时的照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长为，则此时B，D两点之间的距离为 ．
【答案】50
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
是等边三角形 ，
此时B，D两点之间的距离为
故答案为：50．
【分析】连接BD，先证明是等边三角形 ，再利用等边三角形的性质可得，从而得解。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·佛冈期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝2，CN＝3，求线段MN的长．
【答案】解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝MB，NE＝NC，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝5，
故线段MN的长为5．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，根据角平分线的概念可得∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE， 进而推出ME＝MB，NE＝NC，然后根据MN＝ME+NE＝BM+CN进行计算.
18．（2023八上·汉阴期末）如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形.
【答案】证明：平分，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠ACD=∠ECD，再根据平行线的性质得∠A=∠ACD，∠B=∠ECD，故∠A=∠B，根据等角对等边得AC=BC，从而根据等腰三角形的定义得出结论.
19．（2022八上·冠县期中）如图，在中，，把直角边沿过点的某条直线折叠，使点落到边上的一点处，当时，证明．
【答案】证明：在中，
，
，
（等角对等边），即为等腰三角形，
由等腰三角形性质：等腰三角形底边上的高与底边中线重合可得，为的中线，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得。
20．（2022八上·老河口期中）如图，在中，与的平分线相交于点O，AO的延长线交于点D，.求证：.
【答案】证明：，
.
与的平分线相交于点O，
，.
.
.
在和中
.
.
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，根据角平分线的概念可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，利用SSS证明△ABO≌△ACO，得到∠BAD=∠CAD，据此证明.
21．（2023八上·平桂期末）欢欢和父亲起设计一个三角形屋架，如图，父亲给出一组数据：AB＝AC＝7m，BD＝CE＝2.5m，AD＝4m，∠DAE＝60°，让欢欢根据这组数据计算制作这个三角形屋架一共需要多长的钢材，请你帮欢欢计算一下，并说明理由.
【答案】解：制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材，理由如下：
∵AB＝AC＝7m，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE＝AD＝4m，
∴AE+DE+AD+BD+CE+AB+AC＝4+4+4+2.5+2.5+7+7＝31（m），
即制作这个三角形屋架一共需要31m长的钢材.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由已知条件可知AB=AC，BD=CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到AD＝AE，推出△ADE是等边三角形，则AE＝DE＝AD＝4m，据此求解.
22．（2021八上·大理期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用“ASA”证明△BDE≌△CDF，可得DE=DF，再结合∠EDF＝60°，可得△DEF是等边三角形。
23．（2023八上·大冶）如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，∠ABE＝∠CAD，CF∥BE交AD的延长线于点F.
（1）求∠AEB的度数；
（2）若BE＝10，AF＝15，求AE的长.
【答案】（1）解：∵为等边三角形，
∴∠BAC=60°.
∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE＋∠BAE=60°，
∴∠AEB＝180°-60°=120°
（2）解：在AF上截取AG＝BE，连接CG
在△ABE和△CAG中，，
∴△ABE≌△CAG(SAS)，
∴BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°，
∴∠BED=60°.
∵AF＝15，
∴GF=AF-AG=15-10=5，∠CGF＝60°.
∵，
∴∠BED＝∠CFA＝60°
∴∠CGF＝∠CFA＝60°
∴△CFG为等边三角形.
∴AE＝CG＝GF＝5.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，由已知条件可知∠ABE=∠CAD，则∠ABE＋∠BAE=60°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）在AF上截取AG＝BE，连接CG，利用SAS证明△ABE≌△CAG，得到BE＝AG＝10，AE＝CG，∠AEB=∠AGC=120°，则∠BED=60°，GF=AF-AG=5，∠CGF＝60°，由平行线的性质可得∠BED＝∠CFA＝60°，则∠CGF＝∠CFA＝60°，推出△CFG为等边三角形，据此解答.
24．（2021八上·蓬江期末）如图，已知，点为上一点，、分别平分、，交的延长线于点．
（1）求证是等腰三角形；
（2）探索、、之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质求出，即可得到CA=CE，从而可证为等腰三角形；
（2）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
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