2023年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步测试（提高版）

2023年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·青田期中）如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
满足条件的点C有9个，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：AB=AC和AB=BC，据此分别求解即可.
2．（2022八上·余姚期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴CE＝4，
∴AE＝AC EC＝7 4＝3，
∴BE＝3，
∴BD＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD与AC交于点E，根据等角对等边推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝7，BC＝4，即可推出BD的长度．
3．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B.∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°-（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C.∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D.根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据∠BAC＝90°可得∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，结合∠BAP＝∠B可得∠CAP＝∠C，推出
AP＝PC，据此判断A；根据B中的条件可得∠C+∠CAP＝90°，结合内角和定理可得∠APC＝90°，据此判断；由C中的条件可得AP垂直平分BC，据此判断；根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，据此判断D.
4．（2022八上·杭州期中）如图，中，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：
①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又 ，
，
，故①正确；
②同理 ，
，
为等腰三角形故②正确；
③假设 为等边三角形，则 ，如图，连接 ，
∵ ，
，
的周长 ，
∵F是 的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
即 的周长 的周长，故③错误；
④在 中， （1），
在 中， ，
即 （2），
得 ，故④正确；
故答案为：C.
【分析】①②根据角平分线的定义及平行线的性质可得，，可证△ECF为等腰三角形；③用特殊值法，当△ABC为等边三角形，则 ，连接 ，根据等边三角形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定可得，进而得出，从而得出的周长 的周长，据此判断即可；④利用三角形的内角和可得①，+∠ABC+∠ACB=180°②，联合①②可得，据此判断即可.
5．（2022八上·嘉兴期中）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小.最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得BA=BC，AD=DC=AQ+QD=5，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小PQ′，易得QD=DQ′=2，CQ′=BP=3，则AP=AQ′=7，推出△APQ′是等边三角形，得到PQ′=PA，据此解答.
6．（2022八上·龙港期中）如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处.从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处.则B处到灯塔C的距离是（　　）
A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BC，
据题意得，∠1＝30°，AB＝20×＝30，
∴∠BAC＝90°-∠1＝60°，
∵AC＝30，
∴AB＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝30（海里）.
故答案为：C.
【分析】判断出△ABC是等边三角形即可解决问题.
7．（2022八上·义乌月考）下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16；
⑤有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、中线和高重合，故①不正确；
②等腰三角形两腰上的高相等，故②正确；
③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故③正确；
④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17，故④不正确；
⑤有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故⑤不正确，
∴正确的个数有2个．
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
8．（2022八上·临海期末）如图，在中，，，，，动点P在边上，点P关于，的对称点分别为点E，F，连接，交，分别为点M，N.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CP，CE，CF，PM，PN，
∵点P关于BC，AC的对称点分别为点E，F，
∴CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，
∴∠ECF＝2∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
当点P与B重合时，CP最大为2AB＝2，
当点P与A重合时，CP最小为CA，
∴EF的最大值为2，最小值为，故甲正确；
由对称性知，∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，
∴∠MPN＝120°，
∴△PMN是钝角三角形，故乙正确.
故答案为：A.
【分析】连接CP、CE、CF、PM、PN，根据轴对称的性质可得CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，则∠ECF＝2∠ACB＝60°，推出△ECF是等边三角形，当点P与B重合时，CP最大为2AB，当点P与A重合时，CP最小为CA，据此判断甲；由对称性知∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，则∠MPN＝120°，进而判断乙.
9．（2020八上·巴东期末）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（　　）cm
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴PA、PC分别是 、 的平分线，
又∵DE∥AC，
∴ ， ，
∴ ，
△BDE的周长
故答案为：B
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点 一定是 内角平分线的交点，再利用两直线平行内错角相等证得DP=DA，EP=EC，从而求得答案.
10．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·柯桥月考）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD与△GBD中，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+6＝9﹣AF，
∴AF＝ ．
故答案为：.
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，根据中线的概念可得CD＝BD，由对顶角的性质可得∠ADC=∠BDG，证明△ACD≌△GBD，得到∠CAD=∠G，AC=BG，由已知条件可知BE＝AC，则BE＝BG，根据等腰三角形的性质可得∠G＝∠BEG，由对顶角的性质可得∠BEG＝∠AEF，推出EF＝AF，则AF+CF＝BF-AF，代入求解可得AF的值.
12．（2021八上·下城期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 　 　.
【答案】3cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.
故答案为：3cm.
【分析】由角平分线的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，则BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，据此计算.
13．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为　 　.
【答案】23
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【分析】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
14．（2022八上·老河口期中）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M，N分别为边上动点，则周长的最小值为　 　.
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，
的最小周长为，
连接，则，
∴ ，
∴是等边三角形，
∴，即的周长的最小值是10.
故答案为：10.
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则△PMN的最小周长为P1P2，连接OP1、OP2，则OP1=OP2=OP=10，∠P1OA=∠AOC，∠P2OB=∠BOC，推出△OP1P2是等边三角形，据此求解.
15．（2021八上·武汉期末）如图 是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且 ，若 ，那么 　 　
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
≌ ，
，
、 都是等边三角形，
，即 ，
，
，
故答案为2．
【分析】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，证得 ≌ 后即可证得 ，然后利用等边三角形的性质可得 ，即可求得BD的长．
16．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为　 　时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
三、作图题
17．（2020八上·柯桥月考）
（1）操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设分割线为AD，相应用的角度如图所示：
图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，
图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）以B为底角，∠BAC靠左截取一个22.5°的角，则分割成的两个三角形为等腰三角形；以B为底角，∠ACB靠下截取一个22.5°的角，则分割成的两个三角形也为等腰三角形；
（2）有四种可能，以∠B为顶角，可得∠BAD=78°，然后利用三角形的外角的性质可得∠DAC=39°，从而可得最大角∠BAC=117°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设AD=AC，则∠DAC=84°，从而可得最大角∠BAC=108°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设AD=CD，可得∠DAC=66°，从而可得最大角
∠BAC=90°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设CA=CD，可得∠DAC=48°，∠ACD=48°，从而可得最大角∠C=84°.
四、解答题（共8题，共66分）
18．（2022八上·青田期中）
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由.
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD.
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF.
即：EF＝BE+CF.
（2）解：不成立.EF＝BE-CF.理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED-DF＝BE-CF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得 ∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD ，根据二直线平行内错角相等得 ∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ，则 ∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， 根据等角对等边得BE＝ED，CF＝FD， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2） 不成立；EF＝BE-CF，理由如下： 根据角平分线的定义得 ∠EBD＝∠DBC，∠DCG＝∠FCD ，根据二直线平行内错角相等得 ∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG ，则 ∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， 根据等角对等边得 BE＝ED，CF＝FD， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论.
19．（2022八上·萧山期中）如图， 在中，，点分别在边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时， 求的度数；
（3）若，判断是何种三角形．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
即，
，
，
；
；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
由（2）知，
又，
，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由已知条件可知DB=EC，BE=CF，利用SAS证明△DBE≌△ECF，得到DE=EF，据此证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BDE=∠CEF，由外角的性质可得∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，推出∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B的度数，据此解答；
（3）由（2）知∠DEF=∠B，由已知条件可知∠A=∠DEF，则∠A=∠B=∠C，结合内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°=∠DEF，然后结合DE=EF就可得到△DEF的形状.
20．（2022八上·鄞州期中）如图
（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
求证：OE＝BE；
（2）若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（3）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．则EF，BE，CF之间有何数量关系．直接写出结论。
【答案】（1）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE
（2）解：∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCB，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴OF＝CF
由（1）知OE＝BE，
∴EF=OF+OE=CF+BE
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25-9＝16；
（3）解：EF=BE-CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCD，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴OF＝CF
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠EBO＝∠OBC，根据二直线平行，内错角相等，得∠EOB＝∠OBC，根据等量代换得∠EOB＝∠EBO，根据等角对等边得OE=BE；
（2）同（1）可得OF=CF，进而根据△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC即可算出答案；
（3）由（1）可得OE＝BE，同（1）得OF=CF，进而根据EF=EO-FO=BE-CF得出答案.
21．（2023八上·大冶）如图，在等边中，D为上一点，，且.
（1）如图1，若点E在边上，求证：；
（2）如图2，若点E在内，连接CE，F为的中点，连接，求证：.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点D是的中点，
∴点E是的中点，
∴；
（2）证明：如图，延长至点G，使得，连接、、，
则，
∵F为的中点，
∴，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴（），
∴，
∵，
∴，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，BC=AC，由平行线的性质可得∠ABC=∠EDC=∠DEC=∠C=60°，推出△CDE为等边三角形，得到DE=CE=CD，由已知条件可知BD=DE，则BD=CD，进而得到点E为AC的中点，据此证明；
（2）延长DF至点G，使得DF=FG，连接CG、AD、AG，则∠EFD=∠CFG，利用SAS证明△EFD≌△CFG，得到CG=DE=BD，∠EDF=∠CGF，由平行线的性质可得∠DCG=120°，进而证明△ABD≌△ACG，得到AD=AG，据此证明.
22．（2022八上·三门期末）如图，中，，，射线与射线关于直线对称.E是上的一点，连接交于点D.
（1）若，求证：是等腰三角形；
（2）若，连接，求的度数；
（3）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵射线 与射线 关于直线 对称
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
∴ 是等腰三角形.
（2）解：在 和 中
∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
（3）解：过B点分别作 和 的垂线，垂足分别为点H，G，
∵ ， ， ，
∴ .
∴ ， .
①当点E在H，M之间时，如图中的点 .
∵ ， ，
∴ .
∴ ， .
又∵ ，
∴ .
②当点E在A，H之间时，如图中的点 .
∵ ，
∴ .
∴ .
.
又∵ ，
∴ .
∴ .
综上所述： 的度数为60°或45°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得∠MAB=∠BAC=30°，根据垂线定义得∠AEC=90°，根据三角形的内角和得∠ACE=30°，故∠ACD＝∠CAD＝30°，可得结论；
（2）利用SAS证明△AEB≌△ADC，推出∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得∠ADE=75°，根据三角形外角相等求出∠ACD即可解决问题；
（3）过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H、G，利用AAS证明△AHB≌△AGB，根据全等三角形的性质推出BH＝BG，AH＝AG，分两种情形：①当点E在M，H之间时，如图中的点E1，②当E值A，H之间时，如图中的E2，分别求解即可．
23．（2021八上·武汉期末）如图
（1）问题发现：如图1，如果 和 均为等边三角形 等边三角形的三条边都相等，三个角都是 ，点B、E、D三点在同一直线上，连接 则CD与BE的数量关系为　 　； 的度数为　 　度．
（2）探究：如图2，若 为三边互不相等的三角形，以它的边AB、AC为边分别向外作等边 与等边 ，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则CD与BE还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由：并请求出 的度数？
【答案】（1）相等；60
（2）解： 以AB、AC为边分别向外做等边 和等边 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌
， ，
，
又 ，
．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 和 均为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
≌ ，
，
≌ ，
，
为等边三角形，
，
点B，D，E在同一直线上，
，
，
，
故答案为：相等，60；
【分析】（1）由条件 和 均为等边三角形，易证 ≌ ，从而得到对应边相等，即 ；由 ≌ ，可得 ，由点B，D，E在同一直线上，可求出 ，从而可以求出 的度数；（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ， ，进而解答即可．
24．（2021八上·武汉期末）已知 是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上， ．
（1）如图1，若点F与B点重合，求证： ；
（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA上，求 的值；
（3）如图3，若 ，直接写出 的度数为　 　．
【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
为 AC 的中点，
平分 ，
，
，
；
（2）解：过点D作 ，交AB于点 H，如图2所示：
为等边三角形，
，
，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
为AC的中点，
，
，
， ，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）15°或75°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①当点E在BC的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图3所示：
是等边三角形，点D是AC的中点，
， ， ，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
当点F在BA 的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图4所示：
同理： ，
，
；
故答案为：15°或75°．
【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出 ，即可得出 ；（2）过点D作 ，交AB于点 H，证明 ≌ ，得出 ，得出 ，由等边三角形的性质得出 ，得出 ， ，即可得出结论；（3）①当点E在BC的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，证明 ≌ ，得出 ， ，得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰直角三角形的性质得出 ，再由三角形的外角性质即可得出答案； 当点F在BA 的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，解法同①，得出 即可．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·青田期中）如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2022八上·余姚期中）如图，D为内一点，平分，，，若，．则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
4．（2022八上·杭州期中）如图，中，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：
①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④
5．（2022八上·嘉兴期中）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2022八上·龙港期中）如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处.从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处.则B处到灯塔C的距离是（　　）
A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里
7．（2022八上·义乌月考）下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16；
⑤有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022八上·临海期末）如图，在中，，，，，动点P在边上，点P关于，的对称点分别为点E，F，连接，交，分别为点M，N.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
9．（2020八上·巴东期末）如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（　　）cm
A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05
10．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·柯桥月考）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F．若BE＝AC，BF＝9，CF＝6，则AF的长度为　 　．
12．（2021八上·下城期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 　 　.
13．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为　 　.
14．（2022八上·老河口期中）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M，N分别为边上动点，则周长的最小值为　 　.
15．（2021八上·武汉期末）如图 是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且 ，若 ，那么 　 　
16．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为　 　时，的形状是等腰三角形.
三、作图题
17．（2020八上·柯桥月考）
（1）操作实践：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；
四、解答题（共8题，共66分）
18．（2022八上·青田期中）
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由.
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
19．（2022八上·萧山期中）如图， 在中，，点分别在边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时， 求的度数；
（3）若，判断是何种三角形．
20．（2022八上·鄞州期中）如图
（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
求证：OE＝BE；
（2）若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（3）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．则EF，BE，CF之间有何数量关系．直接写出结论。
21．（2023八上·大冶）如图，在等边中，D为上一点，，且.
（1）如图1，若点E在边上，求证：；
（2）如图2，若点E在内，连接CE，F为的中点，连接，求证：.
22．（2022八上·三门期末）如图，中，，，射线与射线关于直线对称.E是上的一点，连接交于点D.
（1）若，求证：是等腰三角形；
（2）若，连接，求的度数；
（3）若，求的度数.
23．（2021八上·武汉期末）如图
（1）问题发现：如图1，如果 和 均为等边三角形 等边三角形的三条边都相等，三个角都是 ，点B、E、D三点在同一直线上，连接 则CD与BE的数量关系为　 　； 的度数为　 　度．
（2）探究：如图2，若 为三边互不相等的三角形，以它的边AB、AC为边分别向外作等边 与等边 ，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则CD与BE还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由：并请求出 的度数？
24．（2021八上·武汉期末）已知 是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上， ．
（1）如图1，若点F与B点重合，求证： ；
（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA上，求 的值；
（3）如图3，若 ，直接写出 的度数为　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
满足条件的点C有9个，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：AB=AC和AB=BC，据此分别求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴CE＝4，
∴AE＝AC EC＝7 4＝3，
∴BE＝3，
∴BD＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD与AC交于点E，根据等角对等边推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝7，BC＝4，即可推出BD的长度．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B.∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°-（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C.∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D.根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据∠BAC＝90°可得∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，结合∠BAP＝∠B可得∠CAP＝∠C，推出
AP＝PC，据此判断A；根据B中的条件可得∠C+∠CAP＝90°，结合内角和定理可得∠APC＝90°，据此判断；由C中的条件可得AP垂直平分BC，据此判断；根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，据此判断D.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又 ，
，
，故①正确；
②同理 ，
，
为等腰三角形故②正确；
③假设 为等边三角形，则 ，如图，连接 ，
∵ ，
，
的周长 ，
∵F是 的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
即 的周长 的周长，故③错误；
④在 中， （1），
在 中， ，
即 （2），
得 ，故④正确；
故答案为：C.
【分析】①②根据角平分线的定义及平行线的性质可得，，可证△ECF为等腰三角形；③用特殊值法，当△ABC为等边三角形，则 ，连接 ，根据等边三角形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定可得，进而得出，从而得出的周长 的周长，据此判断即可；④利用三角形的内角和可得①，+∠ABC+∠ACB=180°②，联合①②可得，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小.最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得BA=BC，AD=DC=AQ+QD=5，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小PQ′，易得QD=DQ′=2，CQ′=BP=3，则AP=AQ′=7，推出△APQ′是等边三角形，得到PQ′=PA，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BC，
据题意得，∠1＝30°，AB＝20×＝30，
∴∠BAC＝90°-∠1＝60°，
∵AC＝30，
∴AB＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝30（海里）.
故答案为：C.
【分析】判断出△ABC是等边三角形即可解决问题.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、中线和高重合，故①不正确；
②等腰三角形两腰上的高相等，故②正确；
③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故③正确；
④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17，故④不正确；
⑤有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故⑤不正确，
∴正确的个数有2个．
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CP，CE，CF，PM，PN，
∵点P关于BC，AC的对称点分别为点E，F，
∴CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，
∴∠ECF＝2∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
当点P与B重合时，CP最大为2AB＝2，
当点P与A重合时，CP最小为CA，
∴EF的最大值为2，最小值为，故甲正确；
由对称性知，∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，
∴∠MPN＝120°，
∴△PMN是钝角三角形，故乙正确.
故答案为：A.
【分析】连接CP、CE、CF、PM、PN，根据轴对称的性质可得CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，则∠ECF＝2∠ACB＝60°，推出△ECF是等边三角形，当点P与B重合时，CP最大为2AB，当点P与A重合时，CP最小为CA，据此判断甲；由对称性知∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，则∠MPN＝120°，进而判断乙.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴PA、PC分别是 、 的平分线，
又∵DE∥AC，
∴ ， ，
∴ ，
△BDE的周长
故答案为：B
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点 一定是 内角平分线的交点，再利用两直线平行内错角相等证得DP=DA，EP=EC，从而求得答案.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
11．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD与△GBD中，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+6＝9﹣AF，
∴AF＝ ．
故答案为：.
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，根据中线的概念可得CD＝BD，由对顶角的性质可得∠ADC=∠BDG，证明△ACD≌△GBD，得到∠CAD=∠G，AC=BG，由已知条件可知BE＝AC，则BE＝BG，根据等腰三角形的性质可得∠G＝∠BEG，由对顶角的性质可得∠BEG＝∠AEF，推出EF＝AF，则AF+CF＝BF-AF，代入求解可得AF的值.
12．【答案】3cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.
故答案为：3cm.
【分析】由角平分线的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，则BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，据此计算.
13．【答案】23
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【分析】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
14．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，
的最小周长为，
连接，则，
∴ ，
∴是等边三角形，
∴，即的周长的最小值是10.
故答案为：10.
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则△PMN的最小周长为P1P2，连接OP1、OP2，则OP1=OP2=OP=10，∠P1OA=∠AOC，∠P2OB=∠BOC，推出△OP1P2是等边三角形，据此求解.
15．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
≌ ，
，
、 都是等边三角形，
，即 ，
，
，
故答案为2．
【分析】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，证得 ≌ 后即可证得 ，然后利用等边三角形的性质可得 ，即可求得BD的长．
16．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设分割线为AD，相应用的角度如图所示：
图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，
图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）以B为底角，∠BAC靠左截取一个22.5°的角，则分割成的两个三角形为等腰三角形；以B为底角，∠ACB靠下截取一个22.5°的角，则分割成的两个三角形也为等腰三角形；
（2）有四种可能，以∠B为顶角，可得∠BAD=78°，然后利用三角形的外角的性质可得∠DAC=39°，从而可得最大角∠BAC=117°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设AD=AC，则∠DAC=84°，从而可得最大角∠BAC=108°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设AD=CD，可得∠DAC=66°，从而可得最大角
∠BAC=90°；以∠B为底角，可得∠BAD=24°，设CA=CD，可得∠DAC=48°，∠ACD=48°，从而可得最大角∠C=84°.
18．【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD.
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF.
即：EF＝BE+CF.
（2）解：不成立.EF＝BE-CF.理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED-DF＝BE-CF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得 ∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD ，根据二直线平行内错角相等得 ∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ，则 ∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， 根据等角对等边得BE＝ED，CF＝FD， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2） 不成立；EF＝BE-CF，理由如下： 根据角平分线的定义得 ∠EBD＝∠DBC，∠DCG＝∠FCD ，根据二直线平行内错角相等得 ∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG ，则 ∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， 根据等角对等边得 BE＝ED，CF＝FD， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论.
19．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
即，
，
，
；
；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
由（2）知，
又，
，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由已知条件可知DB=EC，BE=CF，利用SAS证明△DBE≌△ECF，得到DE=EF，据此证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BDE=∠CEF，由外角的性质可得∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，推出∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B的度数，据此解答；
（3）由（2）知∠DEF=∠B，由已知条件可知∠A=∠DEF，则∠A=∠B=∠C，结合内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°=∠DEF，然后结合DE=EF就可得到△DEF的形状.
20．【答案】（1）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE
（2）解：∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCB，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴OF＝CF
由（1）知OE＝BE，
∴EF=OF+OE=CF+BE
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25-9＝16；
（3）解：EF=BE-CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCD，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴OF＝CF
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠EBO＝∠OBC，根据二直线平行，内错角相等，得∠EOB＝∠OBC，根据等量代换得∠EOB＝∠EBO，根据等角对等边得OE=BE；
（2）同（1）可得OF=CF，进而根据△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC即可算出答案；
（3）由（1）可得OE＝BE，同（1）得OF=CF，进而根据EF=EO-FO=BE-CF得出答案.
21．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点D是的中点，
∴点E是的中点，
∴；
（2）证明：如图，延长至点G，使得，连接、、，
则，
∵F为的中点，
∴，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴（），
∴，
∵，
∴，
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，BC=AC，由平行线的性质可得∠ABC=∠EDC=∠DEC=∠C=60°，推出△CDE为等边三角形，得到DE=CE=CD，由已知条件可知BD=DE，则BD=CD，进而得到点E为AC的中点，据此证明；
（2）延长DF至点G，使得DF=FG，连接CG、AD、AG，则∠EFD=∠CFG，利用SAS证明△EFD≌△CFG，得到CG=DE=BD，∠EDF=∠CGF，由平行线的性质可得∠DCG=120°，进而证明△ABD≌△ACG，得到AD=AG，据此证明.
22．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵射线 与射线 关于直线 对称
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
∴ 是等腰三角形.
（2）解：在 和 中
∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
（3）解：过B点分别作 和 的垂线，垂足分别为点H，G，
∵ ， ， ，
∴ .
∴ ， .
①当点E在H，M之间时，如图中的点 .
∵ ， ，
∴ .
∴ ， .
又∵ ，
∴ .
②当点E在A，H之间时，如图中的点 .
∵ ，
∴ .
∴ .
.
又∵ ，
∴ .
∴ .
综上所述： 的度数为60°或45°.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得∠MAB=∠BAC=30°，根据垂线定义得∠AEC=90°，根据三角形的内角和得∠ACE=30°，故∠ACD＝∠CAD＝30°，可得结论；
（2）利用SAS证明△AEB≌△ADC，推出∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得∠ADE=75°，根据三角形外角相等求出∠ACD即可解决问题；
（3）过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H、G，利用AAS证明△AHB≌△AGB，根据全等三角形的性质推出BH＝BG，AH＝AG，分两种情形：①当点E在M，H之间时，如图中的点E1，②当E值A，H之间时，如图中的E2，分别求解即可．
23．【答案】（1）相等；60
（2）解： 以AB、AC为边分别向外做等边 和等边 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌
， ，
，
又 ，
．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 和 均为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
≌ ，
，
≌ ，
，
为等边三角形，
，
点B，D，E在同一直线上，
，
，
，
故答案为：相等，60；
【分析】（1）由条件 和 均为等边三角形，易证 ≌ ，从而得到对应边相等，即 ；由 ≌ ，可得 ，由点B，D，E在同一直线上，可求出 ，从而可以求出 的度数；（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ， ，进而解答即可．
24．【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
为 AC 的中点，
平分 ，
，
，
；
（2）解：过点D作 ，交AB于点 H，如图2所示：
为等边三角形，
，
，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
为AC的中点，
，
，
， ，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）15°或75°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①当点E在BC的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图3所示：
是等边三角形，点D是AC的中点，
， ， ，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
当点F在BA 的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图4所示：
同理： ，
，
；
故答案为：15°或75°．
【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出 ，即可得出 ；（2）过点D作 ，交AB于点 H，证明 ≌ ，得出 ，得出 ，由等边三角形的性质得出 ，得出 ， ，即可得出结论；（3）①当点E在BC的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，证明 ≌ ，得出 ， ，得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰直角三角形的性质得出 ，再由三角形的外角性质即可得出答案； 当点F在BA 的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，解法同①，得出 即可．
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