2023年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·随州模拟）如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，
连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为.
故答案为：C.
【分析】当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，则点N在线段BP上运动，根据等边三角形的性质可得BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，则∠CBP=30°，∠BPC=90°，作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，连接BE，ED，则BD=DC=DE， 然后求出BE、CE的值，据此求解.
2．（2023八下·渠县月考）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，∠B=∠ACB=60°，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠APF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，
∵∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴EF+FD=AE+CD，
∴DE=AE+CD=AC=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°，由平行线的性质得∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得AP=AF=PF，根据等边三角形的三线合一得AE=EF，从而用AAS判断出△PFD≌△QCD，得FD=CD，从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.
3．（2022八上·平谷期末）如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①④符合题意，
在与中，
过B作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故②符合题意，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，，
，
在线段上截取，
∵由②的证明可知，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴③符合题意，
故答案为：D，
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
4．（2023八上·平南期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE B．∠DOE＝60° C．DE＝DP D．PQ∥AE
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，故选项A不合题意；
∵∠DOE＝∠DAC+∠BEC，
∴∠DOE＝∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，故选项B不合题意；
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴PC＝CQ，
又∵∠BCD＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB，
∴PQ∥AE，故选项D不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而根据平角的定义可得∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，用SAS判断出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，进而得∠DOE＝∠DAC+∠BEC=∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，用ASA判断出△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得PC=CQ，易得△CPQ是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠CPQ＝∠ACB=60°，进而根据内错角相等两直线平行得PQ∥AE，从而即可一一判断得出答案.
5．（2022八上·常熟月考）如图等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°-∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°-（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°-∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴S△ABC＝AB CH，
S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP CH+OA CD＝AP CH+OA CH＝CH （AP+OA）＝CH AC，
∴S△ABC＝S四边形AOCP；
故④正确.
故答案为：D.
【分析】连接OB，由等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝60°，则OB＝OC，∠ABC＝30°，由已知条件可知OP＝OC，则OB＝OC＝OP，然后根据等腰三角形的性质可判断①；由内角和定理可得∠APC+∠DCP＝150°，结合①的结论可得∠OPC+∠OCP＝120°，利用内角和定理可得∠POC＝60°，然后根据等边三角形的判定定理可判断②；在AC上截取AE＝PA，易得△APE是等边三角形，∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，利用SAS证明△OPA≌△CPE，得到AO＝CE，进而判断③；过点C作CH⊥AB于H，则CH＝CD，S△ABC＝AB CH，由S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC表示出S四边形AOCP，据此判断④.
6．（2022·任城模拟）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A1B1⊥OM，∠MON=30°，OA1=，
∴B1O=÷cos30°=2，
∵OB1=B1A2，
∴∠B1A2O=30°
∴∠A2B1B2=60°，
∵A2B2⊥OM，
∴∠B2A2B1=60°，
∴△B1A2B2是等边三角形，
∴A2B2=2，
∴△B2A3B3是等边三角形，
∴A3B3=2×2=4=22，
同理可得 △B2021A2022B2022是等边三角形，
∴A2022B2022=22021，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知△B1A2B2，△B2A3B3是等边三角形，以此类推可得△B2021A2022B2022是等边三角形，即可求解。
7．（2022九下·义乌月考）如图，点P，Q，R分别在等边△ABC的三边上，且AP＝BQ＝CR，过点P，Q，R分别作BC，CA，AB边的垂线，得到△DEF．若要求△DEF的面积，则只需知道（ ）
A．AB的长 B．DP的长 C．BP的长 D．AP的长
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长RD交AB于点J，延长QF交AC于点N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵RJ⊥AB，PE⊥BC，QN⊥AC，
∴∠AJR=∠QNC=90°，∠JPD=30°，
∴∠EDF=∠JDP=60°，
同理得∠DFE=∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的面积=DF2，
∵AP＝BQ＝CR，
∴CQ=AR，
∴△QNC≌△RJA（AAS），
∴AJ=CN，
设AP＝BQ＝CR=a，AB=BC=AC=b，
∴AR=b-a，
∴AJ=CN=，
∴JR=，
∴PJ=AJ-AP==NR，
∴JD=PJ==NF，
∴RF=2NF=，
∴DF=JR-JD-RF=a，
∴△DEF的面积=DF2=a2=AP2，
∴要求△DEF的面积，则只需知道AP的长.
故答案为：D.
【分析】延长RD交AB于点J，延长QF交AC于点N，根据等边三角形的性质和判定得出△DEF是等边三角形，得出△DEF的面积=DF2，再证出△QNC≌△RJA，得出AJ=CN，设AP＝BQ＝CR=a，AB=BC=AC=b，然后表示出AJ、JR、PJ、JD、RF、DF，得出△DEF的面积=DF2=a2=AP2，即可得出答案.
8．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
二、填空题
9．（2022八上·海港期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.
【答案】②⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点作的角平分线，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形；
过点作的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
把点分成和的角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形．
∴不能分成两个小等腰三角形
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。
10．（2022八下·埇桥期中）如图，，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 时，△POQ是等腰三角形．
【答案】或10s
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当时，是等腰三角形；
如图1所示：
，
当时，
解得；
当时，是等腰三角形；
如图2所示：
，；
当时，；
解得；
故答案为：或10s．
【分析】分两种情况：①当时，是等腰三角形；②当时，是等腰三角形；据此分别解答即可.
11．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
12．（2022八上·长沙期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G．DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△BCF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是
．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
延长GE至 ，使 ，
由①得△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴AD=AC，BD=BC，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD也是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵
∴ ，
又DB=AB， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DG=AG+BG，故②正确；
连接HF，∵
∴∠BDG=∠BAE，
∴∠ADB-∠BDG=∠BAC-∠BAE，
即∠ADH=∠GAF，
又∵AD=AC，∠ACE=∠DAH，
∴△ADH≌△CAE（ASA），
∴AH=CE，
又∵CE=BC-BE=AC-FC=AF，
∴AH=AF，
∵∠HAF=60°
∴△AHF是等边三角形，④正确；
当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，
∴此时G是△ABC三条角平分线的交点，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，由已知条件可知BE＝CF，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；延长GE至H′，使GH′=GB，由①得△ABE≌△CBF，则∠BAE=∠FBC，根据角的和差关系可得∠BGE=∠ABG+∠BAE=60°，易得△BGH′是等边三角形，则BG=GH′=BH′，∠GBH′=60°，由轴对称的性质可得AD=AC，BD=BC，推出△ABD是等边三角形，得到AB=BD，∠ABD=60°，证明△DBG≌△ABH′，则DG=AH′，据此判断②；连接HF，根据全等三角形的性质可得∠BDG=∠BAE，由角的和差关系可得∠ADH=∠GAF，证明△ADH≌△CAE，得到AH=CE，推出AH=AF，结合等边三角形的判定定理可判断④；当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点，据此判断③.
13．（2022·新昌模拟）在△ABC中，∠A=60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是 .
【答案】80°或100°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠BPC=120°，
令∠CBP=x°，
①如图：
当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠CPQ=2x°
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
②如图：
当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=2x°
∴∠QPC=90°- x°
∵∠BPQ+∠CPQ=90°- x+ x=90°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
③如图：
当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠C=2x°
∴∠CPQ=180°-4x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴x+180°-4x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
④如图：
当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
又∠CQP=∠C=90°+x
∴∠CPQ=180°-2（90°+x）=-x，不符合题意，舍去
⑤如图：
当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∴∠QPC=45°-x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴90°-x+45°-x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
⑥如图：
当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∵∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°-x+90°+x=180°
C，P，B三点共线，不符合题意，舍去
⑦如图：
当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=180°- x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+180°- x=∠BPC
又∠BPC=120°
∴180°-2x+180°- x=120°
解得x=80°
∵∠A+∠ABC=60°+60°+80°=200°＞180°，
∴不成立，舍去
⑧如图：
当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC= 2x-180°
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+ 2x-180°=0°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
⑨如图：
当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
综上可知，∠ABC的度数可以是80°或100°
故答案为：80°或100°.
【分析】由题意可得△ABP是等边三角形，得到∠APB=∠ABP=60°，则∠BPC=120°，令∠CBP=x°，①当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CQP=∠CPQ=2x°，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；②当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°，同理可得∠CQP=2x°，∠QPC=90°- x°，然后根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC进行计算；③当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，易得∠CQP=∠C=2x°，∠CPQ=180°-4x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC求出x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；④当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，然后表示出∠CPQ，据此解答；⑤当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，∠QPC=45°-x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；⑥当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，推出C，P，B三点共线，不符合题意；⑦当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC=180°- x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，据此解答；⑧当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC= 2x-180°，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得∠BPC=120°，不合题意；⑨当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC=x，根据∠BPQ+∠CPQ=120°可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算.
14．（2021八上·南充期末）如图，在 中， ， ，高 .作点H关于 ， 的对称点D，E，连接 交 于点P，交 于点Q；连接 ， ， ， .下列结论：① ；② ；③五边形 的面积是24；④ 的周长为6.其中正确结论是 .（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： ∵H 、D关于AC对称，点P是AC上的点，
， ， .
同理可得， ， ， .
① ，故①正确；
④△PQH的周长 .
由①知 ， ，故 是等边三角形.
，故④正确；
②在△PQH中， ，
而 ，即 ，
，
，故②错误；
③ ，故③正确.
故答案为：①③④.
【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH，△DAC≌△HAC，∠DCA=∠HCA，同理可得到QE=QH，△EBC≌△HBC，∠ECB=∠HCB，再证明∠DCE=2∠ACB，代入计算可求出∠DCE的度数，可对①作出判断；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△DCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到DE=DC=CH=6；再证明△PQH的周长就是DE的长，可对④作出判断；利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QH＞PQ，再证明PH+QH=6-PQ，由此可求出PQ的取值范围，可对②作出判断；易证五边形ABECD的面积=2△ABC的面积，由此可求出五边形ABECD的面积，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、综合题
15．（2022八上·黄冈月考）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且.
（1）如图①，当是边的中点时，求证：；
（2）如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB，则BD＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，证△AEF是等边三角形，得AE＝EF＝AF，再利用AAS证△DEB≌△ECF，得BD＝EF，即可得出结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再利用AAS证△CEF≌△EDB，得BD＝EF＝2，即可得出答案．
16．（2022八上·浦城期中）阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.
（1）如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则 °， °；
（2）如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M.求证：.
【答案】（1）72；108
（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B＝∠C＝ (180° ∠BAC)＝36°，
∵AC=CN，
∴∠CAN＝∠CNA＝ (180° ∠C)＝72°，
∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°，
∴∠BAN=∠B，
∴NA=NB，
∴△ABN、△ACN均为等腰三角形，
∴AN为△ABC的完美分割线；
（3）证明：∵AN是△ABC的一条完美分割线，
∴AN=CN，AB=BN，
∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，
∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，
∴∠BAN=2∠CAN，
∵∠CAN=∠C1AN，
∴∠BAN=2∠C1AN，
∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，
∴∠C1AN=∠BAM，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵∠C=∠C1，
∴∠C1=∠B，
∵AC=AC1，
∴AC1=AB，
∴△AC1N≌△ABM（ASA），
∴NC1=BM.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°，
∵BM为△ABC的完美分割线，且CM＜AM，
∴∠ABM=∠BAC=36°，
∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108°
故答案为：72，108；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=（180°-∠BAC）÷2=72°，利用“完美分割线”的定义可得∠ABM=∠BAC=36°，根据三角形内角和定理求出∠AMB即可；
（2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN、△ACN均为等腰三角形， 根据“完美分割线”的定义即可判断；
（3）根据ASA证明△AC1N≌△ABM，利用全等三角形的性质即得结论.
17．（2022八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在中，为角平分线，，.
求证：为的等角分割线.
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数.
【答案】（1）解： 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）证明： 在 中， ，
为角平分线，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
， ， ，
，
为 的等角分割线；
（3）解： 的度数为 或 或 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD都是等角三角形；
（3）当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
，
，
当 是等腰三角形， AC=CD 时，∠A=∠ADC=42°，
∠ACD=180°-42°-42°=96°，
∴∠ACB=96°+42°=138°，而∠A+∠ACB=138°+42°=180°，所以CB与AB不可能相交，此种情况不存在；
当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，
则 ，
则 ，
由题意得， ，
解得， ，
，
，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB时，∠B=∠CDB，∠ACD=∠B，而∠CDB＞∠ACD，故此种情况不存在.
的度数为 或 或 或 .
【分析】（1）推出∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠B，∠ADC＝∠BDC，从而得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°，则∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝60°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB＝80°，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．
18．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
19．（2023八上·桂平期末）如图，已知点D是等边三角形中边所在直线上的点，连接，过点D作，与的邻补角的平分线交于点F.
（1）如图①，当点D在线段上时，过点D作，且交于点E.求证：；
（2）如图①，在（1）的条件下，求证：；
（3）如图②，当点D在线段的延长线上时，（2）中线段，，之间的数量关系式还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段，，之间新的数量关系式，并说明理由.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
（2）证明：与都是等边三角形，
，，
，即.
，
.
是的邻补角的平分线，的邻补角为，
，
，
.
，，
.
，
.
在和中，
，
，
，
∴；
（3）解：（2）中线段，，之间的数量关系式不成立，
新的数量关系式是：.
理由如下：
过点D作交于点G，
则，，
为等边三角形，，
.
，，
.
在和中，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及平行线的性质可得∠BDE=∠BED=60°，可证△BDE是等边三角形，可得BD=BE；
（2）由等边三角形的性质可得BA=BC，BD=BE，从而得出AE=CD，根据ASA证明△AED≌△DCF，可得DE=CF，从而得出；
（3）.理由： 过点D作交于点G， 根据ASA证明△ACD≌△FGD，可得AC=FG，即得BC=FG，从而得出.
20．（2021八上·遵义期末）在边长为8的等边三角形 中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.
（1）如图1，若 ，当t取何值时 ？
（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时， 为等边三角形（在图2中画出示意图）.
（3）如图3，将边长为 的等边三角形 变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且 ， ，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当 ， 全等时，直接写出a的值.
【答案】（1）解：如图1
是等边三角形，PQ//AC，
， ，
又 ，
，
是等边三角形，
，
由题意可知： ，则 ，
，
解得： ，
故t的值为2时，PQ//AC.
（2）解：如图2
①当点Q在边BC上时，
此时 不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若 为等边三角形，则 ，
由题意可知， ， ，
，
即： ，
解得： ，
故当 秒时， 为等边三角形；
（3）解：如图3：
，
当 ， 全等时，分两种情况讨论，
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
，
解得： ，
即 时， ， 全等；
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
即 ，
解得： ，
，
，
解得： ，
综上：当 ， 全等时，a的值为1或 .
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠BQP=∠C=60°，根据平行线的性质得∠BPQ=∠A=60°，推出△BPQ为等边三角形，得到BP=BQ，由题意可得AP=t，BP=8-t，然后根据BP=BQ可得t的值；
（2）①当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP=AQ，由题意可知AP=t，BC+CQ=2t，则AQ=BC+AC-(BC+CQ)=16-2t，接下来根据AP=AQ进行求解就可得到t的值；
（3）当BP=CM、BM=CN时，设经过t秒后全等，则BP=4，CM=6-t，BM=t，CN=at，根据BM=CN可得a的值；当BP=CN、BM=CM时，设经过t秒后全等，则BP=4，CM=6-t，BM=t，
CN=at，根据BM=CM可得t的值，根据BP=CN可得a的值.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·随州模拟）如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
2．（2023八下·渠县月考）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（2022八上·平谷期末）如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八上·平南期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE B．∠DOE＝60° C．DE＝DP D．PQ∥AE
5．（2022八上·常熟月考）如图等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·任城模拟）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·义乌月考）如图，点P，Q，R分别在等边△ABC的三边上，且AP＝BQ＝CR，过点P，Q，R分别作BC，CA，AB边的垂线，得到△DEF．若要求△DEF的面积，则只需知道（ ）
A．AB的长 B．DP的长 C．BP的长 D．AP的长
8．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．（2022八上·海港期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.
10．（2022八下·埇桥期中）如图，，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 时，△POQ是等腰三角形．
11．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
12．（2022八上·长沙期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G．DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△BCF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是
．
13．（2022·新昌模拟）在△ABC中，∠A=60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是 .
14．（2021八上·南充期末）如图，在 中， ， ，高 .作点H关于 ， 的对称点D，E，连接 交 于点P，交 于点Q；连接 ， ， ， .下列结论：① ；② ；③五边形 的面积是24；④ 的周长为6.其中正确结论是 .（填写序号）
三、综合题
15．（2022八上·黄冈月考）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且.
（1）如图①，当是边的中点时，求证：；
（2）如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
（3）若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长.
16．（2022八上·浦城期中）阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.
（1）如图1，已知△ABC中，，BM为△ABC的完美分割线，且，则 °， °；
（2）如图2，已知△ABC中，，求证：AN为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点处，交BN于点M.求证：.
17．（2022八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在中，为角平分线，，.
求证：为的等角分割线.
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数.
18．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
19．（2023八上·桂平期末）如图，已知点D是等边三角形中边所在直线上的点，连接，过点D作，与的邻补角的平分线交于点F.
（1）如图①，当点D在线段上时，过点D作，且交于点E.求证：；
（2）如图①，在（1）的条件下，求证：；
（3）如图②，当点D在线段的延长线上时，（2）中线段，，之间的数量关系式还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出线段，，之间新的数量关系式，并说明理由.
20．（2021八上·遵义期末）在边长为8的等边三角形 中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.
（1）如图1，若 ，当t取何值时 ？
（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时， 为等边三角形（在图2中画出示意图）.
（3）如图3，将边长为 的等边三角形 变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且 ， ，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当 ， 全等时，直接写出a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，
连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为.
故答案为：C.
【分析】当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，则点N在线段BP上运动，根据等边三角形的性质可得BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，则∠CBP=30°，∠BPC=90°，作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，连接BE，ED，则BD=DC=DE， 然后求出BE、CE的值，据此求解.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，∠B=∠ACB=60°，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠APF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，
∵∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴EF+FD=AE+CD，
∴DE=AE+CD=AC=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°，由平行线的性质得∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得AP=AF=PF，根据等边三角形的三线合一得AE=EF，从而用AAS判断出△PFD≌△QCD，得FD=CD，从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①④符合题意，
在与中，
过B作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故②符合题意，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，，
，
在线段上截取，
∵由②的证明可知，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴③符合题意，
故答案为：D，
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，故选项A不合题意；
∵∠DOE＝∠DAC+∠BEC，
∴∠DOE＝∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，故选项B不合题意；
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴PC＝CQ，
又∵∠BCD＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB，
∴PQ∥AE，故选项D不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而根据平角的定义可得∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，用SAS判断出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，进而得∠DOE＝∠DAC+∠BEC=∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，用ASA判断出△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得PC=CQ，易得△CPQ是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠CPQ＝∠ACB=60°，进而根据内错角相等两直线平行得PQ∥AE，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°-∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°-（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°-∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴S△ABC＝AB CH，
S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP CH+OA CD＝AP CH+OA CH＝CH （AP+OA）＝CH AC，
∴S△ABC＝S四边形AOCP；
故④正确.
故答案为：D.
【分析】连接OB，由等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝60°，则OB＝OC，∠ABC＝30°，由已知条件可知OP＝OC，则OB＝OC＝OP，然后根据等腰三角形的性质可判断①；由内角和定理可得∠APC+∠DCP＝150°，结合①的结论可得∠OPC+∠OCP＝120°，利用内角和定理可得∠POC＝60°，然后根据等边三角形的判定定理可判断②；在AC上截取AE＝PA，易得△APE是等边三角形，∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，利用SAS证明△OPA≌△CPE，得到AO＝CE，进而判断③；过点C作CH⊥AB于H，则CH＝CD，S△ABC＝AB CH，由S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC表示出S四边形AOCP，据此判断④.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A1B1⊥OM，∠MON=30°，OA1=，
∴B1O=÷cos30°=2，
∵OB1=B1A2，
∴∠B1A2O=30°
∴∠A2B1B2=60°，
∵A2B2⊥OM，
∴∠B2A2B1=60°，
∴△B1A2B2是等边三角形，
∴A2B2=2，
∴△B2A3B3是等边三角形，
∴A3B3=2×2=4=22，
同理可得 △B2021A2022B2022是等边三角形，
∴A2022B2022=22021，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知△B1A2B2，△B2A3B3是等边三角形，以此类推可得△B2021A2022B2022是等边三角形，即可求解。
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长RD交AB于点J，延长QF交AC于点N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵RJ⊥AB，PE⊥BC，QN⊥AC，
∴∠AJR=∠QNC=90°，∠JPD=30°，
∴∠EDF=∠JDP=60°，
同理得∠DFE=∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的面积=DF2，
∵AP＝BQ＝CR，
∴CQ=AR，
∴△QNC≌△RJA（AAS），
∴AJ=CN，
设AP＝BQ＝CR=a，AB=BC=AC=b，
∴AR=b-a，
∴AJ=CN=，
∴JR=，
∴PJ=AJ-AP==NR，
∴JD=PJ==NF，
∴RF=2NF=，
∴DF=JR-JD-RF=a，
∴△DEF的面积=DF2=a2=AP2，
∴要求△DEF的面积，则只需知道AP的长.
故答案为：D.
【分析】延长RD交AB于点J，延长QF交AC于点N，根据等边三角形的性质和判定得出△DEF是等边三角形，得出△DEF的面积=DF2，再证出△QNC≌△RJA，得出AJ=CN，设AP＝BQ＝CR=a，AB=BC=AC=b，然后表示出AJ、JR、PJ、JD、RF、DF，得出△DEF的面积=DF2=a2=AP2，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
9．【答案】②⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点作的角平分线，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形；
过点作的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
把点分成和的角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形．
∴不能分成两个小等腰三角形
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。
10．【答案】或10s
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当时，是等腰三角形；
如图1所示：
，
当时，
解得；
当时，是等腰三角形；
如图2所示：
，；
当时，；
解得；
故答案为：或10s．
【分析】分两种情况：①当时，是等腰三角形；②当时，是等腰三角形；据此分别解答即可.
11．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
延长GE至 ，使 ，
由①得△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D与点C关于直线AB对称，
∴AD=AC，BD=BC，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD也是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵
∴ ，
又DB=AB， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DG=AG+BG，故②正确；
连接HF，∵
∴∠BDG=∠BAE，
∴∠ADB-∠BDG=∠BAC-∠BAE，
即∠ADH=∠GAF，
又∵AD=AC，∠ACE=∠DAH，
∴△ADH≌△CAE（ASA），
∴AH=CE，
又∵CE=BC-BE=AC-FC=AF，
∴AH=AF，
∵∠HAF=60°
∴△AHF是等边三角形，④正确；
当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，
∴此时G是△ABC三条角平分线的交点，
∴ ，故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°，由已知条件可知BE＝CF，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；延长GE至H′，使GH′=GB，由①得△ABE≌△CBF，则∠BAE=∠FBC，根据角的和差关系可得∠BGE=∠ABG+∠BAE=60°，易得△BGH′是等边三角形，则BG=GH′=BH′，∠GBH′=60°，由轴对称的性质可得AD=AC，BD=BC，推出△ABD是等边三角形，得到AB=BD，∠ABD=60°，证明△DBG≌△ABH′，则DG=AH′，据此判断②；连接HF，根据全等三角形的性质可得∠BDG=∠BAE，由角的和差关系可得∠ADH=∠GAF，证明△ADH≌△CAE，得到AH=CE，推出AH=AF，结合等边三角形的判定定理可判断④；当E、F分别为BC，AC的中点时，则H为AB的中点，由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点，据此判断③.
13．【答案】80°或100°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠BPC=120°，
令∠CBP=x°，
①如图：
当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠CPQ=2x°
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
②如图：
当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=2x°
∴∠QPC=90°- x°
∵∠BPQ+∠CPQ=90°- x+ x=90°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
③如图：
当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠C=2x°
∴∠CPQ=180°-4x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴x+180°-4x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
④如图：
当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
又∠CQP=∠C=90°+x
∴∠CPQ=180°-2（90°+x）=-x，不符合题意，舍去
⑤如图：
当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∴∠QPC=45°-x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴90°-x+45°-x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
⑥如图：
当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∵∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°-x+90°+x=180°
C，P，B三点共线，不符合题意，舍去
⑦如图：
当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=180°- x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+180°- x=∠BPC
又∠BPC=120°
∴180°-2x+180°- x=120°
解得x=80°
∵∠A+∠ABC=60°+60°+80°=200°＞180°，
∴不成立，舍去
⑧如图：
当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC= 2x-180°
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+ 2x-180°=0°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
⑨如图：
当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
综上可知，∠ABC的度数可以是80°或100°
故答案为：80°或100°.
【分析】由题意可得△ABP是等边三角形，得到∠APB=∠ABP=60°，则∠BPC=120°，令∠CBP=x°，①当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CQP=∠CPQ=2x°，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；②当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°，同理可得∠CQP=2x°，∠QPC=90°- x°，然后根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC进行计算；③当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，易得∠CQP=∠C=2x°，∠CPQ=180°-4x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC求出x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；④当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，然后表示出∠CPQ，据此解答；⑤当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，∠QPC=45°-x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算；⑥当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x，∠CQP=90°+x，推出C，P，B三点共线，不符合题意；⑦当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC=180°- x，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x，据此解答；⑧当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC= 2x-180°，根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得∠BPC=120°，不合题意；⑨当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x，∠CQP=180°-x，∠QPC=x，根据∠BPQ+∠CPQ=120°可得x，然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算.
14．【答案】①③④
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： ∵H 、D关于AC对称，点P是AC上的点，
， ， .
同理可得， ， ， .
① ，故①正确；
④△PQH的周长 .
由①知 ， ，故 是等边三角形.
，故④正确；
②在△PQH中， ，
而 ，即 ，
，
，故②错误；
③ ，故③正确.
故答案为：①③④.
【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH，△DAC≌△HAC，∠DCA=∠HCA，同理可得到QE=QH，△EBC≌△HBC，∠ECB=∠HCB，再证明∠DCE=2∠ACB，代入计算可求出∠DCE的度数，可对①作出判断；利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△DCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到DE=DC=CH=6；再证明△PQH的周长就是DE的长，可对④作出判断；利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QH＞PQ，再证明PH+QH=6-PQ，由此可求出PQ的取值范围，可对②作出判断；易证五边形ABECD的面积=2△ABC的面积，由此可求出五边形ABECD的面积，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB，则BD＝BE，即可得出结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，证△AEF是等边三角形，得AE＝EF＝AF，再利用AAS证△DEB≌△ECF，得BD＝EF，即可得出结论；
（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再利用AAS证△CEF≌△EDB，得BD＝EF＝2，即可得出答案．
16．【答案】（1）72；108
（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B＝∠C＝ (180° ∠BAC)＝36°，
∵AC=CN，
∴∠CAN＝∠CNA＝ (180° ∠C)＝72°，
∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°，
∴∠BAN=∠B，
∴NA=NB，
∴△ABN、△ACN均为等腰三角形，
∴AN为△ABC的完美分割线；
（3）证明：∵AN是△ABC的一条完美分割线，
∴AN=CN，AB=BN，
∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，
∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，
∴∠BAN=2∠CAN，
∵∠CAN=∠C1AN，
∴∠BAN=2∠C1AN，
∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，
∴∠C1AN=∠BAM，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵∠C=∠C1，
∴∠C1=∠B，
∵AC=AC1，
∴AC1=AB，
∴△AC1N≌△ABM（ASA），
∴NC1=BM.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°，
∵BM为△ABC的完美分割线，且CM＜AM，
∴∠ABM=∠BAC=36°，
∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108°
故答案为：72，108；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=（180°-∠BAC）÷2=72°，利用“完美分割线”的定义可得∠ABM=∠BAC=36°，根据三角形内角和定理求出∠AMB即可；
（2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN、△ACN均为等腰三角形， 根据“完美分割线”的定义即可判断；
（3）根据ASA证明△AC1N≌△ABM，利用全等三角形的性质即得结论.
17．【答案】（1）解： 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）证明： 在 中， ，
为角平分线，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
， ， ，
，
为 的等角分割线；
（3）解： 的度数为 或 或 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD都是等角三角形；
（3）当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
，
，
当 是等腰三角形， AC=CD 时，∠A=∠ADC=42°，
∠ACD=180°-42°-42°=96°，
∴∠ACB=96°+42°=138°，而∠A+∠ACB=138°+42°=180°，所以CB与AB不可能相交，此种情况不存在；
当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，
则 ，
则 ，
由题意得， ，
解得， ，
，
，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB时，∠B=∠CDB，∠ACD=∠B，而∠CDB＞∠ACD，故此种情况不存在.
的度数为 或 或 或 .
【分析】（1）推出∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠B，∠ADC＝∠BDC，从而得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°，则∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝60°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB＝80°，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．
18．【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
19．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
（2）证明：与都是等边三角形，
，，
，即.
，
.
是的邻补角的平分线，的邻补角为，
，
，
.
，，
.
，
.
在和中，
，
，
，
∴；
（3）解：（2）中线段，，之间的数量关系式不成立，
新的数量关系式是：.
理由如下：
过点D作交于点G，
则，，
为等边三角形，，
.
，，
.
在和中，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及平行线的性质可得∠BDE=∠BED=60°，可证△BDE是等边三角形，可得BD=BE；
（2）由等边三角形的性质可得BA=BC，BD=BE，从而得出AE=CD，根据ASA证明△AED≌△DCF，可得DE=CF，从而得出；
（3）.理由： 过点D作交于点G， 根据ASA证明△ACD≌△FGD，可得AC=FG，即得BC=FG，从而得出.
20．【答案】（1）解：如图1
是等边三角形，PQ//AC，
， ，
又 ，
，
是等边三角形，
，
由题意可知： ，则 ，
，
解得： ，
故t的值为2时，PQ//AC.
（2）解：如图2
①当点Q在边BC上时，
此时 不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若 为等边三角形，则 ，
由题意可知， ， ，
，
即： ，
解得： ，
故当 秒时， 为等边三角形；
（3）解：如图3：
，
当 ， 全等时，分两种情况讨论，
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
，
解得： ，
即 时， ， 全等；
当 时，
设经过 秒后全等，
，
根据 ，
即 ，
解得： ，
，
，
解得： ，
综上：当 ， 全等时，a的值为1或 .
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠BQP=∠C=60°，根据平行线的性质得∠BPQ=∠A=60°，推出△BPQ为等边三角形，得到BP=BQ，由题意可得AP=t，BP=8-t，然后根据BP=BQ可得t的值；
（2）①当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP=AQ，由题意可知AP=t，BC+CQ=2t，则AQ=BC+AC-(BC+CQ)=16-2t，接下来根据AP=AQ进行求解就可得到t的值；
（3）当BP=CM、BM=CN时，设经过t秒后全等，则BP=4，CM=6-t，BM=t，CN=at，根据BM=CN可得a的值；当BP=CN、BM=CM时，设经过t秒后全等，则BP=4，CM=6-t，BM=t，
CN=at，根据BM=CM可得t的值，根据BP=CN可得a的值.
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