2023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2022八上·温州期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·长兴月考）直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，D为BC上一点，，则BC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022八上·汾阳期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·丰满期末）如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2023七下·西安月考）如图，，，则、和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·金华期末）如图，在中，，平分，交于点D，若点D恰好在边的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ）
A．30 B．36 C．40 D．45
9．（2022八上·广州期末）如图，AB⊥BD，DE⊥BD，垂足分别为B、D，如果∠A=25°，BC=CD，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．∠E=25° B．∠ABC=90° C．∠ACB=25° D．∠CDE=90°
10．（2022七上·文登期中）如图，在中，平分，是高，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．10° C．40° D．20°
11．（2022八上·龙湖期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝70°，则∠DBC=（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
12．（2022八上·上思月考）如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题
13．（2022八上·宝应期中）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
14．（2022八上·上城期中）Rt△ABC中，锐角，则另一个锐角= .
15．（2022八上·嘉兴期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点及斜边上的中点，若这两块三角板的斜边长为，则 .
16．（2022八上·鄞州月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
17．（2023七下·松江期中）直角三角形最小的一个外角为 度
18．（2022八上·中山期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
三、解答题
19．（2023八上·韩城期末）如图，在中，，，于点D，于点E，，求的长.
20．（2022八上·潼南期中）如图，在中，，，垂足为D，平分.已知，，求的度数.
21．（2022七下·福州期末）如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
22．（2022八上·吴兴期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
23．（2022七下·嵊州期末）如图，，∠A＝∠BCD．
（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由．
（2）若∠A－∠B＝80°，CE⊥AD于点E，求∠DCE的度数．
24．（2023八上·宁海期末）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点O.
（1）求∠AOD+∠BOC的度数；
（2）当AB的中点E恰好落在CD的中垂线上时，求∠AOC的度数.
25．（2022八上·中山期末）如图，点是等边内一点，点是外的一点，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，
∴BD=2AD=8，
∴BC=BD+CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-30°-30°=120°，由角的和差得∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2AD=8，最后根据BC=BD+CD即可算出答案.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°，
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为：C
【分析】利用等边对等角可求出∠B的度数，利用垂直的定义可得到∠BAD=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再证明AD=CD，可得到CD的长，然后根据BC=BD+DC，代入计算求出BC的长.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：是等腰三角形，是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得。
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出AD的长即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，如图
在直角△BGC中，；
在△EHD中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，在直角△BGC中，由直角三角形两锐角互余可得∠1=90°-；在△EHD中，由三角形外角的性质可得∠2=，由平行线的性质可得∠1=∠2，整理可得=90°.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，然后根据等边对等角及角平分线的定义得∠DBC=∠ABD=∠C，进而根据直角三角形两锐角互余，代入计算即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，故B、D不符合题意，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠A=25°，故A不符合题意，
∵∠ACB=90°-∠A=65°，故C符合题意，
故答案为：C．
【分析】由垂直的定义可得∠ABC=∠CDE=90°，由平行线的性质可得∠E=∠A=25°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，再逐一判断即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵在中，，，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°
又∵平分，
∴∠BAD=∠CAD=40°
又∵是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=50°-40°=10°
故答案为B.
【分析】根据三角形内角和可求得∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=40°，再根据AE是高可得∠BAE=90°-∠B=50°，则∠EAD=∠BAE-∠BAD=10°。
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB=∠ABC＝70°，
∵ BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°-∠ACB=20°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC＝70°，再根据直角三角形的性质得出∠DBC=90°-∠ACB，即可得出答案.
12．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴∠2=90°-40°=50°，
∵，
∴∠1=∠2=50°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余得出∠2=50°，再根据平行线的性质得出∠1=∠2=50°，即可得出答案.
13．【答案】5
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线是2.5cm ，
∴该直角三角形斜边的长为5cm，
又∵该直角三角形斜边上的高是2cm，
∴该直角三角形的面积为： ×5×2=5cm2.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得该直角三角形斜边的长为5cm，进而根据三角形的面积计算方法可算出答案.
14．【答案】65°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 在 中， ，
另一个锐角 ，
故答案为： .
【分析】直角三角形两锐角互余，据此即可求解.
15．【答案】6.8cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形斜边上的中线，
又这两块三角板的斜边长为，
.
故答案为：6.8cm.
【分析】直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，据此可得OA的值.
16．【答案】14
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝ BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝ AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故答案为：14．
【分析】根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，CD＝BD＝4，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=5，进而根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
17．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据直角三角形外角的性质，锐角处的外角为钝角，直角处的外角为直角，
∵钝角大于锐角，
∴直角三角形最小的一个外角为90°，
故答案为：90.
【分析】根据三角形外角性质和直角三角形的性质计算求解即可。
18．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接OQ，根据轴对称的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
19．【答案】解：∵，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=60°，根据垂直定义得∠AED=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADE=30°，最后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE的长.
20．【答案】解：
平分
【知识点】直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质可得∠DAE+∠EAC+∠C=90°，把已知条件代入可求得∠EAC的度数，再根据角平分线定义得∠BAC=2∠EAC可求解.
21．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠C=90°，把已知条件代入等式可求得∠1、∠C和∠2的度数，在直角三角形ABD中，用三角形的内角和等于180°计算即可求得∠B的度数.
22．【答案】证明：∵CD、BE分别是△ABC的高，
∴△BDC和△BEC均为直角三角形，
又∵M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM=BC，EM=BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由CD、BE分别是△ABC的高，可得△BDC和△BEC均为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DM=BC，EM=BC， 从而得到DM=EM，又有N是线段DE的中点，利用等腰三角形的“三线合一”，即可得出结论.
23．【答案】（1）解：AD与BC平行，理由如下：
∵，
∴，
∵∠A＝∠BCD，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵∠A－∠B＝80°，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得∠A+∠D=180°，结合已知，由等量代换得出 ，即可判定AD∥BC；
（2）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）结合题意求出∠A=130°，则∠D=50°，再根据直角三角形的性质（直角三角形的两个锐角互余）求解.
24．【答案】（1）解：∵∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°
（2）解：连接OE，
∵OE是CD的中垂线，
∴∠COE=45°.
又∵E是AB的中点，
∴OE=AB=AE，.
∴∠AOE=∠A=60°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=15°.
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD，则∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD，据此计算；
（2）连接OE，易得∠COE=45°，由直角三角形斜边上中线的性质可得OE=AB=AE，.由等腰三角形的性质可得∠AOE=∠A=60°，然后根据∠AOC=∠AOE-∠COE进行计算.
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形．
∴，，
∴，
，
∴在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明，再结合AD=AP，即可得到是等边三角形；
（2）先求出，再利用角的运算求出，利用三角形的内角和求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2022八上·温州期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得出答案.
2．（2022八上·长兴月考）直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，D为BC上一点，，则BC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，
∴BD=2AD=8，
∴BC=BD+CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-30°-30°=120°，由角的和差得∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2AD=8，最后根据BC=BD+CD即可算出答案.
4．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°，
∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6.
故答案为：C
【分析】利用等边对等角可求出∠B的度数，利用垂直的定义可得到∠BAD=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再证明AD=CD，可得到CD的长，然后根据BC=BD+DC，代入计算求出BC的长.
5．（2022八上·汾阳期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：是等腰三角形，是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得。
6．（2022八上·丰满期末）如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用线段的和差求出AD的长即可。
7．（2023七下·西安月考）如图，，，则、和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，如图
在直角△BGC中，；
在△EHD中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】延长DC交AB于G，延长CD交EF于H，在直角△BGC中，由直角三角形两锐角互余可得∠1=90°-；在△EHD中，由三角形外角的性质可得∠2=，由平行线的性质可得∠1=∠2，整理可得=90°.
8．（2023八上·金华期末）如图，在中，，平分，交于点D，若点D恰好在边的垂直平分线上，则∠C的度数为（ ）
A．30 B．36 C．40 D．45
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，然后根据等边对等角及角平分线的定义得∠DBC=∠ABD=∠C，进而根据直角三角形两锐角互余，代入计算即可得出答案.
9．（2022八上·广州期末）如图，AB⊥BD，DE⊥BD，垂足分别为B、D，如果∠A=25°，BC=CD，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．∠E=25° B．∠ABC=90° C．∠ACB=25° D．∠CDE=90°
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，故B、D不符合题意，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠A=25°，故A不符合题意，
∵∠ACB=90°-∠A=65°，故C符合题意，
故答案为：C．
【分析】由垂直的定义可得∠ABC=∠CDE=90°，由平行线的性质可得∠E=∠A=25°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，再逐一判断即可.
10．（2022七上·文登期中）如图，在中，平分，是高，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．10° C．40° D．20°
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵在中，，，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°
又∵平分，
∴∠BAD=∠CAD=40°
又∵是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=50°-40°=10°
故答案为B.
【分析】根据三角形内角和可求得∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=40°，再根据AE是高可得∠BAE=90°-∠B=50°，则∠EAD=∠BAE-∠BAD=10°。
11．（2022八上·龙湖期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝70°，则∠DBC=（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB=∠ABC＝70°，
∵ BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°-∠ACB=20°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC＝70°，再根据直角三角形的性质得出∠DBC=90°-∠ACB，即可得出答案.
12．（2022八上·上思月考）如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴∠2=90°-40°=50°，
∵，
∴∠1=∠2=50°，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余得出∠2=50°，再根据平行线的性质得出∠1=∠2=50°，即可得出答案.
二、填空题
13．（2022八上·宝应期中）已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形斜边上的中线是2.5cm ，
∴该直角三角形斜边的长为5cm，
又∵该直角三角形斜边上的高是2cm，
∴该直角三角形的面积为： ×5×2=5cm2.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得该直角三角形斜边的长为5cm，进而根据三角形的面积计算方法可算出答案.
14．（2022八上·上城期中）Rt△ABC中，锐角，则另一个锐角= .
【答案】65°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 在 中， ，
另一个锐角 ，
故答案为： .
【分析】直角三角形两锐角互余，据此即可求解.
15．（2022八上·嘉兴期中）将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点及斜边上的中点，若这两块三角板的斜边长为，则 .
【答案】6.8cm
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形斜边上的中线，
又这两块三角板的斜边长为，
.
故答案为：6.8cm.
【分析】直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，据此可得OA的值.
16．（2022八上·鄞州月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．
【答案】14
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝ BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝ AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故答案为：14．
【分析】根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，CD＝BD＝4，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=5，进而根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
17．（2023七下·松江期中）直角三角形最小的一个外角为 度
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据直角三角形外角的性质，锐角处的外角为钝角，直角处的外角为直角，
∵钝角大于锐角，
∴直角三角形最小的一个外角为90°，
故答案为：90.
【分析】根据三角形外角性质和直角三角形的性质计算求解即可。
18．（2022八上·中山期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接OQ，根据轴对称的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
三、解答题
19．（2023八上·韩城期末）如图，在中，，，于点D，于点E，，求的长.
【答案】解：∵，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=60°，根据垂直定义得∠AED=90°，由直角三角形两锐角互余得∠ADE=30°，最后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE的长.
20．（2022八上·潼南期中）如图，在中，，，垂足为D，平分.已知，，求的度数.
【答案】解：
平分
【知识点】直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质可得∠DAE+∠EAC+∠C=90°，把已知条件代入可求得∠EAC的度数，再根据角平分线定义得∠BAC=2∠EAC可求解.
21．（2022七下·福州期末）如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠C=90°，把已知条件代入等式可求得∠1、∠C和∠2的度数，在直角三角形ABD中，用三角形的内角和等于180°计算即可求得∠B的度数.
22．（2022八上·吴兴期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
【答案】证明：∵CD、BE分别是△ABC的高，
∴△BDC和△BEC均为直角三角形，
又∵M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM=BC，EM=BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE.
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由CD、BE分别是△ABC的高，可得△BDC和△BEC均为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DM=BC，EM=BC， 从而得到DM=EM，又有N是线段DE的中点，利用等腰三角形的“三线合一”，即可得出结论.
23．（2022七下·嵊州期末）如图，，∠A＝∠BCD．
（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由．
（2）若∠A－∠B＝80°，CE⊥AD于点E，求∠DCE的度数．
【答案】（1）解：AD与BC平行，理由如下：
∵，
∴，
∵∠A＝∠BCD，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵∠A－∠B＝80°，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得∠A+∠D=180°，结合已知，由等量代换得出 ，即可判定AD∥BC；
（2）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）结合题意求出∠A=130°，则∠D=50°，再根据直角三角形的性质（直角三角形的两个锐角互余）求解.
24．（2023八上·宁海期末）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点O.
（1）求∠AOD+∠BOC的度数；
（2）当AB的中点E恰好落在CD的中垂线上时，求∠AOC的度数.
【答案】（1）解：∵∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°
（2）解：连接OE，
∵OE是CD的中垂线，
∴∠COE=45°.
又∵E是AB的中点，
∴OE=AB=AE，.
∴∠AOE=∠A=60°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=15°.
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD，则∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD，据此计算；
（2）连接OE，易得∠COE=45°，由直角三角形斜边上中线的性质可得OE=AB=AE，.由等腰三角形的性质可得∠AOE=∠A=60°，然后根据∠AOC=∠AOE-∠COE进行计算.
25．（2022八上·中山期末）如图，点是等边内一点，点是外的一点，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形．
∴，，
∴，
，
∴在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明，再结合AD=AP，即可得到是等边三角形；
（2）先求出，再利用角的运算求出，利用三角形的内角和求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得。
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