2023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·衢江月考）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，若∠ADF＝95°，则∠BMD为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．100°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ADF＝95°，∠FDE＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE
＝180°﹣95°﹣30°
＝55°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE
＝180°﹣45°﹣55°
＝80°，
故答案为：A.
【分析】由平角的定义求出∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE=55°，再利用三角形的内角和求出∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE=80°.
2．（2023八上·杭州期末）如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，
是等边三角形，
.
，，
.
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC是等边三角形，则∠BAC=∠C=60°，利用SAS证明△ADC≌△BEA，得到∠DAC=∠EBA，由外角的性质可得∠PBQ=30°，则PQ=PB，设PQ=a，则BP=2a，BQ=a，据此求解.
3．（2021八上·龙泉期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；角平分线的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
B、∵最大角=180°×=75°≠90°，不是直角三角形，错误；
C、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x轴的距离，错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A；根据三角形内角和定理求最大角判断B；根据坐标和点到直线的距离判断C；根据角平分线的性质判断D.
4．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∵∠2=90°-45°=45°，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：B.
【分析】取∠2，根据角的和差关系求出∠2，再利用三角形外角的性质求∠1即可.
5．（2021八上·台州期中）已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为（ ）
A．45°或75° B．60°或75°
C．15°或75° D．45°或75°或15°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=AC，作AD⊥BC，
∵AD=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°；
当AB=BC时，当∠ABC为锐角时，
∵AD=BC，
∴AD=AB，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=∠C=75°；
当BA=BC时，当∠ABC为钝角时，作AD⊥BC，
∵AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°；
综上，△ABC底角的度数为45°或75°或15°.
【分析】分两种情况讨论，即当AB=AC，作AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
当AB=BC时，再分两种情况，当∠ABC为锐角时，当∠ABC为钝角时，分别根据含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，分别解答即可 .
6．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个.
故共有3个点.
故答案为：C.
【分析】分AB为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C的位置，据此解答.
7．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
时，等腰三角形
，
当在的右侧时，，此时直角三角形
当时，此时等边三角形
当时，此时直角三角形
当动点Q从点M出发，向点N移动，依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形.
故答案为：D.
【分析】画出示意图，易得当AQ1=1时，△APQ1为等腰三角形，当AQ2=时，△APQ2为直角三角形，当AQ3=1时，△APQ3为等边三角形，当AQ4=2时，△APQ4为直角三角形，据此判断.
8．（2022八上·温岭期末）如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（ ）
A．a＋c＝b B．2a＝b＋c C．4c＝a＋b D．a＝b－c
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，
由题意得：∠ABC=∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BEC=∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CE=BC=b，
∵AD⊥AB，
∴∠EAD=90°，
∴∠ADE=90°-∠E=30°，
∴DE=2AE，
∵CD=c，AB=a，
∴2（b-a）+c=b，即2a=b+c.
故答案为：B
【分析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BE=CE=BC=b，同时可求出∠E=60°，利用三角形的内角和定理求出∠ADE=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得到DE=2AE，即可得到a，b，c的关系式.
9．（2022八上·余姚期中）如图，点E是、的斜边的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点E是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的斜边的中点，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，，从而可得ED=CE，根据等边对等角得∠EDB=∠DBA=25°，根据三角形外角相等得∠DEA=50°，根据等腰三角形的性质得CE⊥AB，故可得∠DEC=140°，根据三角形的内角和及等腰三角形的性质可求出∠DCE的度数.
10．（2021八上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，
∵∠ACB=90°， 点D是斜边AB的中点
∴CD=AD=BD=2，
∴∠A=∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∴点F为BC的中点，
∴；
∵CE=DE
∴DH=CD=1=AC，
∴△EHD≌△ACB（ASA），
∴DE=BA=4，
∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD=AD=BD=2，利用等腰三角形的性质可证得∠A=∠ACD=∠CDE；再利用三角形的中位线定理可求出DF的长，利用等腰三角形的性质求出DH的长，可得到DH=AC，利用SAS证明△EHD≌△ACB，利用全等三角形的性质可求出DE的长；然后根据EF=DE-DF，可求出EF的长.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·温州期中）如图，已知，且为的中点，连结，，当，则的度数为 .
【答案】16°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设 ，
，
，
，且 为 的中点，
∴DE=BE，CE=AE ， ，
， ，
，
，
，
，
，
的度数为16°.
故答案为：16°.
【分析】设∠CAB=x°，则∠ABD=3x°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DE=BE，CE=AE，由等边对等角得∠ACE=∠CAE=x°，∠BDE=∠ABD=3x°，由三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CEB=2x°，∠AED=6x°，结合平角的定义，由∠CEB+∠DEC+∠CEB=180°，建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
12．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为 .
【答案】3.5
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CQ、CD，
∵FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，
∴CQ＝PQ，
∴PQ+QD＝CQ+QD，
∴当C、Q、D共线时，PQ+QD有最小值，最小值为CD，
∵∠ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝3.5.
故答案为：3.5.
【分析】连接CQ、CD，由垂直平分线的性质可得CQ＝PQ，推出当C、Q、D共线时，PQ+QD有最小值，最小值为CD，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.
13．（2020八上·西湖月考）如图，已知 ，P是射线 上一动点（即P点可在射线 上运动）， .
（1） 时， 为直角三角形.
（2）设 ，则x满足 时， 为锐角三角形.
【答案】（1）5或20
（2）5＜x＜20
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当 时，如图：
∵
∴
∵
∴在 中， ；
②当 时，如图：
∵
∴
∵
∴在 中， .
∴综上所述，当 或 时， 为直角三角形.
（2）由（1）可知，当 满足 时， 为锐角三角形.
故答案为：（1）5或20；（2） 5＜x＜20 .
【分析】（1）①当∠APO=90°时，根据直角三角形两锐角互余可求得∠A=30度，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OP=OA；②当∠A=90°时，同理可求解；
（2）由（1）的结论可求解.
14．（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，则∠C的度数是 .
【答案】34
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠DAE=18°，
∴∠AED=90°-∠DAE=72°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AED=180°-70°-72°=38°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=38°+18°=56°，
∴∠C=90°-∠DAC=90°-∠DAC=34°.
故答案为：34.
【分析】先根据直角三角形的定义求出∠AED的度数，然后根据三角形内角和定理求∠BAE，再根据角平分线的定义求出∠CAE，则可求出∠DAC，最后在Rt△ADC中，根据直角三角形的定义求∠C即可.
15．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BAD和△CED中，
，
∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，利用垂直的定义可证得∠DAB=90°，根据∠CAE=∠BAC-∠DAB，可求出∠CAE的度数；利用线段中点的定义可证得BD=CD；再利用SAS证明△BAD≌△CED，利用全等三角形的性质可证得∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4；然后根据AC=2CE，可求出AC的长.
16．（2021八上·诸暨期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒.
【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥ON，
∵∠MON=30°，OA=80米，
∴AC=40米.
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50米，则BC==30米，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，则CD=30.
∵两台拖拉机相距30米，则第一台拖拉机到D点时，第二台拖拉机在C点，还需前行30米后才能对学校没有噪音影响，
∴影响的时间为90÷5=18（秒）.
故答案为：18.
【分析】过点A作AC⊥ON，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC的值，当第一台拖拉机到B点时对学校开始产生噪音影响，此时AB=50米，由勾股定理求出BC，由题意可得产生噪音的距离为3BC，然后除以速度可得时间.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·余姚期中）已知：如图，在ΔABC中，BF⊥AC于点F， CG⊥AB于点G，D是BC的中点，DE⊥FG于点E.求证：GE=EF.
【答案】证明：连接DG，DF，
∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠CGB=∠CFB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴DG和DF分别是Rt△CBG和Rt△BFC的斜边上的中线，
∴DG=DF=BC，
∵DE⊥FG，
∴GE=EF
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接DG，DF，利用垂直的定义可证得∠CGB=∠CFB=90°，再证明DG和DF分别是Rt△CBG和Rt△BFC的斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DG=DF；然后利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
18．（2022八上·三门期末）如图，河l同侧有一块直角三角形的绿化带，，，，.A到河l的距离等于的长度.需要用水管从河l上一点P处分别引水到A，B两处，并通过安装在这两处的喷水龙头灌溉草地.
（1）请在河l上画出点P的位置，使得从点P向A，B两处引水所需的水管总长度最短；
（2）求至少需要水管多少米（连接处接头长度忽略不计）.
【答案】（1）解：如图，作点A关于l的对称点E，连接 交l于点P，则点P就是所要画的点；
（2）解：∵ ， ，
∴C，A，E在同一直线上；
∵ ， ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，AE=AB，
∴ ，
∴在 中， .
答：至少需要 长的水管.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 作点A关于l的对称点E，连接BE交l于点P，则点P就是所要画的点；
（2）先证出点C、A、E三点共线，根据含30°角直角三角形的性质得∠CAB=60°，AB=2AC，易得AE=2AC，故AE=AB，根据等边对等角及三角形外角性质得∠E=∠ABE=30°，最后在Rt△BCE中，根据含30°角直角三角形的性质得出BE=2BC，据此即可得出答案.
19．（2023八上·苍溪期末）“剑门雄关天下险，女皇故里美名扬”.2022年11月22日第34届女儿节在广元南河水上公园拉开帷幕，文艺表演后，举行了精彩的凤舟竞赛，经过激烈角逐，旺苍、剑阁、苍溪代表队分别夺得前三名.如图，若苍溪代表队划行的彩船从点A出发，以每秒4米的速度向正北方向划行，经过70秒到达点B处.在出发地A和点B处分别望向湖中心C处，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.
（1）求湖中心C到点B的距离；
（2）彩船到达B点后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，彩船到湖中心C的距离最短？
【答案】（1）解：由题意得：AB＝4×70＝280（米）.
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC-∠NAC＝30°.
∴∠ACB＝∠NAC.
∴AB＝BC＝280（米）.
∴从海岛B到灯塔C的距离为280米.
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P.
根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°.
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°-∠BPC-∠CBP＝30°.
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴PB＝ BC＝140（米），
∴ 彩船到达B点后，继续向正北方向航行到达P处需要的时间为140÷4＝35（秒）.
∴这条船继续向正北航行，还要经过35秒，彩船到湖中心C的距离最短.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）易得AB=280米，根据三角形外角性质可得 ∠ACB＝∠NAC，根据等角对等边得AB=BC=280米；
（2） 过点C作CP⊥AB于点P ， 根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离 ，根据三角形内角和定理可得∠PCB=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PB=140米，然后根据路程除以速度等于时间即可得出答案.
20．（2020八上·滨江期中）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P.
（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE= cm（填空）
（3）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.
【答案】（1）解：根据题意，△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°.
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°.
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形；
（2）2.4
（3）解：由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=（cm）.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4cm，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，根据同角的余角相等可得∠B=∠PQR=60°，同理可得∠PRQ=60°，然后根据等边三角形的判定定理进行证明；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BQ=2BD=2.6cm，CR=2CQ=2.8cm，则AR=1.2cm，据此可得AE；
（3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR，得到DB=AR，根据含30°角的直角三角形的性质可得2AR=AD，则3DB=AB，据此计算.
21．（2022八上·余姚期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
【答案】（1）解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，
∴S△ADC＝15cm2，
∴ ×AE×CD＝15，
∴ ×5×CD＝15，
解得：CD＝6（cm）；
（2）解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝ BC＝BD，.
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可求出△ADC的面积，再利用三角形的，面积公式，可求出CD的长.
（2）利用三角形的内角和定理可知△ABC是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AD=DB，利用等边对等角和三角形外角的性质可求出∠ADE的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠DAE的度数.
22．（2020八上·下城期中）解答下列各题.
（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点.求证：∠MDN＝2∠MON.
（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵PM⊥OA，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△OMP中，D是OP的中点，
∴DM＝ OP＝DO，
∴∠DMO＝∠DOM，
∴∠MDP＝2∠MOP，
同理可知，∠NDP＝2∠NOP，
∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON；
（2）解：∠MDN＝2∠MON.
理由如下：如图2，∵PM⊥OA，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△OMP中，D是OP的中点，
∴DM＝ OP＝DO，
∴∠DMO＝∠DOM，
∴∠MDP＝2∠MOP，
同理可知，∠NDP＝2∠NOP，
∴∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP＝2∠MON.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM＝OP＝DO，由等边对等角可得∠DMO=∠DOM，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可∠MDP=2∠MOP，同理可得∠NDP＝2∠NOP，再由角的构成即可求解；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM＝OP＝DO，由等边对等角可得∠DMO=∠DOM，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可∠MDP=2∠MOP，同理可得∠NDP＝2∠NOP，然后根据角的和差，由 ∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP 即可算出答案.
23．（2020八上·高新月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B. C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90 ，则∠BCE= 度；
（2）如图2，
①说明：△ABD≌△ACE.
②说明：CE+DC=BC.
③设∠BAC=α，∠BCE=β.当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论.
【答案】（1）90
（2）解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°；
③相等或互补.
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）90°.
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
故答案为：90.
（ 2 ）③相等或互补，理由：（1）当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β.
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°.
（ 2 ）当点D在线段BC和BC延长线上时，是α+β=180°，
在BC的反向延长线上时，是α=β，
综上所述，α+β=180°或α=β.
【分析】（1）要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；②问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；③问在第①问的基础上，进行分析解答即可.
24．（2021八上·温州期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是边AB上的一个动点.
（1）
当D为AB中点时，求CD的长；
（2）
当BD＝CD时，求证：D为AB中点；
（3）
作A关于CD的对称点A'.
①当A'落在BC边上时，求△A'BD的面积；
②当A'D与△ABC某一条边平行时，则AD的长为 ▲ .（直接写出答案
【答案】（1） 解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝ AB＝2.5；
（2） 证明：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠ACD+∠BCD，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BD，
∴D为AB中点；
（3） 解：①如图1，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝x
∵S△ABC＝ ×3×4＝6，
∴ ×3×x+ ×4×x＝6，
∴x＝ ，
∴S△A'BD＝ × ×（4﹣3）＝ ；
②1或3.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）②当A'D∥BC时，如图2，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'，
∵A'D∥BC，
∴∠A'＝∠BCA'＝∠A，
∴∠BCA'+∠A'CD＝∠A+∠ACD，
∴∠DCB＝∠BDC，
∴BD＝CB＝4，
∴AD＝1；
当A'D∥AC时，如图3，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ADC＝∠A'DC，
∵A'D∥AC，
∴∠ACD＝∠A'DC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC＝3，
故答案为：1或3.
【分析】 （1）直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠B，由等角的余角相等可得∠A＝∠ACD，则AD＝CD，结合BD=CD可推出AD＝BD，据此证明；
（3）①过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，根据轴对称的性质可得∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，由角平分线的性质可得DE＝DF，设DE＝DF＝x，根据△ABC的面积以及面积间的和差关系可得x，进而求得△A′BD的面积；
②当A'D∥BC时，由轴对称的性质可得∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'，由平行线的性质可得∠A'＝∠BCA'＝∠A，推出∠DCB＝∠BDC，据此求解；当A'D∥AC时，由轴对称的性质可得∠ADC＝∠A'DC，由平行线的性质可得∠ACD＝∠A'DC，推出∠ACD＝∠ADC，据此求解.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·衢江月考）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，若∠ADF＝95°，则∠BMD为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．100°
2．（2023八上·杭州期末）如图， 在中，，，与相交于点，于.则下列数量关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·龙泉期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·台州期中）已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为（ ）
A．45°或75° B．60°或75°
C．15°或75° D．45°或75°或15°
6．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022八上·新昌期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
8．（2022八上·温岭期末）如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（ ）
A．a＋c＝b B．2a＝b＋c C．4c＝a＋b D．a＝b－c
9．（2022八上·余姚期中）如图，点E是、的斜边的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·温州期中）如图，已知，且为的中点，连结，，当，则的度数为 .
12．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为 .
13．（2020八上·西湖月考）如图，已知 ，P是射线 上一动点（即P点可在射线 上运动）， .
（1） 时， 为直角三角形.
（2）设 ，则x满足 时， 为锐角三角形.
14．（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，则∠C的度数是 .
15．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为 ．
16．（2021八上·诸暨期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022八上·余姚期中）已知：如图，在ΔABC中，BF⊥AC于点F， CG⊥AB于点G，D是BC的中点，DE⊥FG于点E.求证：GE=EF.
18．（2022八上·三门期末）如图，河l同侧有一块直角三角形的绿化带，，，，.A到河l的距离等于的长度.需要用水管从河l上一点P处分别引水到A，B两处，并通过安装在这两处的喷水龙头灌溉草地.
（1）请在河l上画出点P的位置，使得从点P向A，B两处引水所需的水管总长度最短；
（2）求至少需要水管多少米（连接处接头长度忽略不计）.
19．（2023八上·苍溪期末）“剑门雄关天下险，女皇故里美名扬”.2022年11月22日第34届女儿节在广元南河水上公园拉开帷幕，文艺表演后，举行了精彩的凤舟竞赛，经过激烈角逐，旺苍、剑阁、苍溪代表队分别夺得前三名.如图，若苍溪代表队划行的彩船从点A出发，以每秒4米的速度向正北方向划行，经过70秒到达点B处.在出发地A和点B处分别望向湖中心C处，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.
（1）求湖中心C到点B的距离；
（2）彩船到达B点后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，彩船到湖中心C的距离最短？
20．（2020八上·滨江期中）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P.
（1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
（2）若BD=1.3cm，则AE= cm（填空）
（3）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.
21．（2022八上·余姚期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
22．（2020八上·下城期中）解答下列各题.
（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点.求证：∠MDN＝2∠MON.
（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由.
23．（2020八上·高新月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B. C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90 ，则∠BCE= 度；
（2）如图2，
①说明：△ABD≌△ACE.
②说明：CE+DC=BC.
③设∠BAC=α，∠BCE=β.当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论.
24．（2021八上·温州期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是边AB上的一个动点.
（1）
当D为AB中点时，求CD的长；
（2）
当BD＝CD时，求证：D为AB中点；
（3）
作A关于CD的对称点A'.
①当A'落在BC边上时，求△A'BD的面积；
②当A'D与△ABC某一条边平行时，则AD的长为 ▲ .（直接写出答案
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ADF＝95°，∠FDE＝30°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE
＝180°﹣95°﹣30°
＝55°，
∵∠B＝45°，
∴∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE
＝180°﹣45°﹣55°
＝80°，
故答案为：A.
【分析】由平角的定义求出∠BDE＝180°﹣∠ADF﹣∠FDE=55°，再利用三角形的内角和求出∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠BDE=80°.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，
是等边三角形，
.
，，
.
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC是等边三角形，则∠BAC=∠C=60°，利用SAS证明△ADC≌△BEA，得到∠DAC=∠EBA，由外角的性质可得∠PBQ=30°，则PQ=PB，设PQ=a，则BP=2a，BQ=a，据此求解.
3．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；角平分线的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
B、∵最大角=180°×=75°≠90°，不是直角三角形，错误；
C、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x轴的距离，错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判断A；根据三角形内角和定理求最大角判断B；根据坐标和点到直线的距离判断C；根据角平分线的性质判断D.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∵∠2=90°-45°=45°，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：B.
【分析】取∠2，根据角的和差关系求出∠2，再利用三角形外角的性质求∠1即可.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=AC，作AD⊥BC，
∵AD=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°；
当AB=BC时，当∠ABC为锐角时，
∵AD=BC，
∴AD=AB，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=∠C=75°；
当BA=BC时，当∠ABC为钝角时，作AD⊥BC，
∵AD=AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°；
综上，△ABC底角的度数为45°或75°或15°.
【分析】分两种情况讨论，即当AB=AC，作AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
当AB=BC时，再分两种情况，当∠ABC为锐角时，当∠ABC为钝角时，分别根据含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，分别解答即可 .
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个.
故共有3个点.
故答案为：C.
【分析】分AB为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C的位置，据此解答.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
时，等腰三角形
，
当在的右侧时，，此时直角三角形
当时，此时等边三角形
当时，此时直角三角形
当动点Q从点M出发，向点N移动，依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形.
故答案为：D.
【分析】画出示意图，易得当AQ1=1时，△APQ1为等腰三角形，当AQ2=时，△APQ2为直角三角形，当AQ3=1时，△APQ3为等边三角形，当AQ4=2时，△APQ4为直角三角形，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，
由题意得：∠ABC=∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BEC=∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CE=BC=b，
∵AD⊥AB，
∴∠EAD=90°，
∴∠ADE=90°-∠E=30°，
∴DE=2AE，
∵CD=c，AB=a，
∴2（b-a）+c=b，即2a=b+c.
故答案为：B
【分析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BE=CE=BC=b，同时可求出∠E=60°，利用三角形的内角和定理求出∠ADE=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得到DE=2AE，即可得到a，b，c的关系式.
9．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点E是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的斜边的中点，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，，从而可得ED=CE，根据等边对等角得∠EDB=∠DBA=25°，根据三角形外角相等得∠DEA=50°，根据等腰三角形的性质得CE⊥AB，故可得∠DEC=140°，根据三角形的内角和及等腰三角形的性质可求出∠DCE的度数.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，
∵∠ACB=90°， 点D是斜边AB的中点
∴CD=AD=BD=2，
∴∠A=∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∴点F为BC的中点，
∴；
∵CE=DE
∴DH=CD=1=AC，
∴△EHD≌△ACB（ASA），
∴DE=BA=4，
∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD=AD=BD=2，利用等腰三角形的性质可证得∠A=∠ACD=∠CDE；再利用三角形的中位线定理可求出DF的长，利用等腰三角形的性质求出DH的长，可得到DH=AC，利用SAS证明△EHD≌△ACB，利用全等三角形的性质可求出DE的长；然后根据EF=DE-DF，可求出EF的长.
11．【答案】16°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设 ，
，
，
，且 为 的中点，
∴DE=BE，CE=AE ， ，
， ，
，
，
，
，
，
的度数为16°.
故答案为：16°.
【分析】设∠CAB=x°，则∠ABD=3x°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DE=BE，CE=AE，由等边对等角得∠ACE=∠CAE=x°，∠BDE=∠ABD=3x°，由三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CEB=2x°，∠AED=6x°，结合平角的定义，由∠CEB+∠DEC+∠CEB=180°，建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
12．【答案】3.5
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CQ、CD，
∵FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，
∴CQ＝PQ，
∴PQ+QD＝CQ+QD，
∴当C、Q、D共线时，PQ+QD有最小值，最小值为CD，
∵∠ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝3.5.
故答案为：3.5.
【分析】连接CQ、CD，由垂直平分线的性质可得CQ＝PQ，推出当C、Q、D共线时，PQ+QD有最小值，最小值为CD，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.
13．【答案】（1）5或20
（2）5＜x＜20
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当 时，如图：
∵
∴
∵
∴在 中， ；
②当 时，如图：
∵
∴
∵
∴在 中， .
∴综上所述，当 或 时， 为直角三角形.
（2）由（1）可知，当 满足 时， 为锐角三角形.
故答案为：（1）5或20；（2） 5＜x＜20 .
【分析】（1）①当∠APO=90°时，根据直角三角形两锐角互余可求得∠A=30度，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OP=OA；②当∠A=90°时，同理可求解；
（2）由（1）的结论可求解.
14．【答案】34
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠DAE=18°，
∴∠AED=90°-∠DAE=72°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AED=180°-70°-72°=38°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=38°+18°=56°，
∴∠C=90°-∠DAC=90°-∠DAC=34°.
故答案为：34.
【分析】先根据直角三角形的定义求出∠AED的度数，然后根据三角形内角和定理求∠BAE，再根据角平分线的定义求出∠CAE，则可求出∠DAC，最后在Rt△ADC中，根据直角三角形的定义求∠C即可.
15．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BAD和△CED中，
，
∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，利用垂直的定义可证得∠DAB=90°，根据∠CAE=∠BAC-∠DAB，可求出∠CAE的度数；利用线段中点的定义可证得BD=CD；再利用SAS证明△BAD≌△CED，利用全等三角形的性质可证得∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4；然后根据AC=2CE，可求出AC的长.
16．【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥ON，
∵∠MON=30°，OA=80米，
∴AC=40米.
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50米，则BC==30米，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，则CD=30.
∵两台拖拉机相距30米，则第一台拖拉机到D点时，第二台拖拉机在C点，还需前行30米后才能对学校没有噪音影响，
∴影响的时间为90÷5=18（秒）.
故答案为：18.
【分析】过点A作AC⊥ON，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC的值，当第一台拖拉机到B点时对学校开始产生噪音影响，此时AB=50米，由勾股定理求出BC，由题意可得产生噪音的距离为3BC，然后除以速度可得时间.
17．【答案】证明：连接DG，DF，
∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠CGB=∠CFB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴DG和DF分别是Rt△CBG和Rt△BFC的斜边上的中线，
∴DG=DF=BC，
∵DE⊥FG，
∴GE=EF
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接DG，DF，利用垂直的定义可证得∠CGB=∠CFB=90°，再证明DG和DF分别是Rt△CBG和Rt△BFC的斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DG=DF；然后利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
18．【答案】（1）解：如图，作点A关于l的对称点E，连接 交l于点P，则点P就是所要画的点；
（2）解：∵ ， ，
∴C，A，E在同一直线上；
∵ ， ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，AE=AB，
∴ ，
∴在 中， .
答：至少需要 长的水管.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 作点A关于l的对称点E，连接BE交l于点P，则点P就是所要画的点；
（2）先证出点C、A、E三点共线，根据含30°角直角三角形的性质得∠CAB=60°，AB=2AC，易得AE=2AC，故AE=AB，根据等边对等角及三角形外角性质得∠E=∠ABE=30°，最后在Rt△BCE中，根据含30°角直角三角形的性质得出BE=2BC，据此即可得出答案.
19．【答案】（1）解：由题意得：AB＝4×70＝280（米）.
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC-∠NAC＝30°.
∴∠ACB＝∠NAC.
∴AB＝BC＝280（米）.
∴从海岛B到灯塔C的距离为280米.
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P.
根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°.
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°-∠BPC-∠CBP＝30°.
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴PB＝ BC＝140（米），
∴ 彩船到达B点后，继续向正北方向航行到达P处需要的时间为140÷4＝35（秒）.
∴这条船继续向正北航行，还要经过35秒，彩船到湖中心C的距离最短.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）易得AB=280米，根据三角形外角性质可得 ∠ACB＝∠NAC，根据等角对等边得AB=BC=280米；
（2） 过点C作CP⊥AB于点P ， 根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离 ，根据三角形内角和定理可得∠PCB=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PB=140米，然后根据路程除以速度等于时间即可得出答案.
20．【答案】（1）解：根据题意，△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°.
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°.
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形；
（2）2.4
（3）解：由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=（cm）.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4cm，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，根据同角的余角相等可得∠B=∠PQR=60°，同理可得∠PRQ=60°，然后根据等边三角形的判定定理进行证明；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BQ=2BD=2.6cm，CR=2CQ=2.8cm，则AR=1.2cm，据此可得AE；
（3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR，得到DB=AR，根据含30°角的直角三角形的性质可得2AR=AD，则3DB=AB，据此计算.
21．【答案】（1）解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，
∴S△ADC＝15cm2，
∴ ×AE×CD＝15，
∴ ×5×CD＝15，
解得：CD＝6（cm）；
（2）解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝ BC＝BD，.
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可求出△ADC的面积，再利用三角形的，面积公式，可求出CD的长.
（2）利用三角形的内角和定理可知△ABC是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AD=DB，利用等边对等角和三角形外角的性质可求出∠ADE的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠DAE的度数.
22．【答案】（1）证明：∵PM⊥OA，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△OMP中，D是OP的中点，
∴DM＝ OP＝DO，
∴∠DMO＝∠DOM，
∴∠MDP＝2∠MOP，
同理可知，∠NDP＝2∠NOP，
∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON；
（2）解：∠MDN＝2∠MON.
理由如下：如图2，∵PM⊥OA，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△OMP中，D是OP的中点，
∴DM＝ OP＝DO，
∴∠DMO＝∠DOM，
∴∠MDP＝2∠MOP，
同理可知，∠NDP＝2∠NOP，
∴∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP＝2∠MON.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM＝OP＝DO，由等边对等角可得∠DMO=∠DOM，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可∠MDP=2∠MOP，同理可得∠NDP＝2∠NOP，再由角的构成即可求解；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM＝OP＝DO，由等边对等角可得∠DMO=∠DOM，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可∠MDP=2∠MOP，同理可得∠NDP＝2∠NOP，然后根据角的和差，由 ∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP 即可算出答案.
23．【答案】（1）90
（2）解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°；
③相等或互补.
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）90°.
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
故答案为：90.
（ 2 ）③相等或互补，理由：（1）当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β.
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°.
（ 2 ）当点D在线段BC和BC延长线上时，是α+β=180°，
在BC的反向延长线上时，是α=β，
综上所述，α+β=180°或α=β.
【分析】（1）要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；②问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；③问在第①问的基础上，进行分析解答即可.
24．【答案】（1） 解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝ AB＝2.5；
（2） 证明：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠ACD+∠BCD，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BD，
∴D为AB中点；
（3） 解：①如图1，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝x
∵S△ABC＝ ×3×4＝6，
∴ ×3×x+ ×4×x＝6，
∴x＝ ，
∴S△A'BD＝ × ×（4﹣3）＝ ；
②1或3.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）②当A'D∥BC时，如图2，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'，
∵A'D∥BC，
∴∠A'＝∠BCA'＝∠A，
∴∠BCA'+∠A'CD＝∠A+∠ACD，
∴∠DCB＝∠BDC，
∴BD＝CB＝4，
∴AD＝1；
当A'D∥AC时，如图3，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ADC＝∠A'DC，
∵A'D∥AC，
∴∠ACD＝∠A'DC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC＝3，
故答案为：1或3.
【分析】 （1）直接根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠B，由等角的余角相等可得∠A＝∠ACD，则AD＝CD，结合BD=CD可推出AD＝BD，据此证明；
（3）①过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，根据轴对称的性质可得∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，由角平分线的性质可得DE＝DF，设DE＝DF＝x，根据△ABC的面积以及面积间的和差关系可得x，进而求得△A′BD的面积；
②当A'D∥BC时，由轴对称的性质可得∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'，由平行线的性质可得∠A'＝∠BCA'＝∠A，推出∠DCB＝∠BDC，据此求解；当A'D∥AC时，由轴对称的性质可得∠ADC＝∠A'DC，由平行线的性质可得∠ACD＝∠A'DC，推出∠ACD＝∠ADC，据此求解.
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