2023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·龙港模拟）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·鄞州模拟）如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线，要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE 和△BCD D．△ACD和△BCD
3．（2022·青县模拟）如图，中，，，尺规作图痕迹如下．
结论Ⅰ：点一定为的内心；
结论Ⅱ：连接，，则．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对
4．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D.若，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．2.8
6．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2022八下·毕节月考）若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．或 B． C． D．
9．（2021八上·滨江期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·潜江期末）如图，在锐角 中， ， ， 是 内的两点， 平分 ， ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·康巴什期末）如图，在锐角三角形ABC中，°，的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当取得最小值时， ．
12．（2021八上·高港月考）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
13．（2021八上·金东期中）已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为 .
14．（2021八上·上城期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点E，N，M分别是线段AB，AC，EB的中点，下列结论：①△NMC为等边三角形.②CE⊥MN；③S△ABC＝2S四边形ENCM；④AN＝ EM.其中正确的是 .
15．（2021八下·青羊期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 .
16．（2021·沙依巴克模拟）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为 .
三、解答题（共5题，共66分）
17．（2022八下·宁安期末）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，以AB为边作等边△ABD，点E为线段AD的中点，连接CE，请画出图形，并直接写出线段CE的长．
18．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由.
19．（2023八上·绍兴期末）如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
20．（2022七下·崇川期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
21．（2022七下·皇姑期末）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t>0）秒．（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形；
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值；
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=，
连接AF，根据题意可得： DE垂直平分AC，
∴CF=AF，
∵CF=CA，
∴AC=CF=AF，
∴∠ACF=60°，
∴∠BCG=30°，
∵∠B=60°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥AB，
∴S△ABC=×AC×BC=×AB×CG，
∴
故答案为： D.
【分析】先求出BC=AB=2，AC=，再结合S△ABC=×AC×BC=×AB×CG，求出即可。
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中线，
∴CE=AB=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，∠A=∠ACE=30°，
∴∠B=∠BEC=∠BCE=60°，
∴△ACE与△BCE的三个角都不相等，不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
B、△BCE与△ABC的三个角都不相等，不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
C、∵△BCE是等边三角形， CD⊥AB于D，
∴DE=BD，
在△CDE与△CDB中，
∵CE=EB，CD=CD，DE=DB，
∴△CDE≌△CDB（SSS），
∴△CDE与△CDB不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
D、∵ △BCE是等边三角形，CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠BCD=30°，
∴∠ACD=∠B=60°，∠A=∠BCD=30°，
即△ACD与△BCD的三个角都对应相等，但不全等于，故能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理算出∠B=60°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CE=AB=BE=AE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BCE是等边三角形，进而再根据等边三角形的性质得∠ADC=∠BDC=90°，∠BCD=30°，从而根据等边对等角及三角形的内角和分别找出各个选项中所给的两个三角形的三个内角度数，即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹得平分，垂直平分，
，
，
，，
，
，
点为的外心，不一定为的内心，所以结论Ⅰ不符合题意；
为的斜边的中线，
，
，
，所以结论Ⅱ符合题意．
故答案为：C．
【分析】由尺规作图痕迹得平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OC，由等腰三角形的性质可得BN⊥AC，可得OA=OC，于是可判断点为的外心，不一定为的内心，据此判断Ⅰ ；利用直角三角形斜边中线的性质可得，由可得，据此判断结论Ⅱ.
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等腰三角形的性质可得，，从而求出∠CBD=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得=2AD，从而得出AC=3AD，继而得解.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，
∴①正确，符合题意；
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，
∴②正确，符合题意；
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴③正确，符合题意；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠CBE，
又∵BD＝CD，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF＝DC＝BD＝DE，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠DBE＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴④正确，符合题意；
∵条件不足，无法证明BC＝AD，
∴⑤错误，不符合题意，
综上所述，正确的个数为4个.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可判断①、②、③，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，因为条件不足无法判断BC和AD的数量关系，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴BG＝CG，
∴点G是BC的中垂线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴BF＝CF，故①正确；
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF，故②正确；
若BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝＝4，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，
∴FG＝，故③正确；
如图，连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠BEC，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF＝EF＝BF，
∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，
∴2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，
∴2∠BAC+∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△BAE≌△CAD，得到∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，推出BG＝CG，则AG垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质可判断①；若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠AEB＝90°，则∠BDC＝90°，由BF=CF可得点F为BC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可判断②；根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，易得点G到三边的距离为GF的长，利用勾股定理可得AF，然后根据三角形的面积公式可判断③；连接EF，若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝90°＝∠BEC，则CF＝DF＝EF＝BF，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，结合∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得2∠BAC+∠DFE＝180°，据此判断④.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC于点D，如图1，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵ BD⊥AC于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
取AB的中点为点E，连接DE，
∵DE为斜边上的中线，
∴DE＝AE＝BE＝AB，
由题意得BD∶AC＝1∶2，
∴BD∶AB＝1∶2，
∴BD＝AB＝BE＝DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°，
∴△ABC的顶角为30°；
当△ABC为钝角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，如图2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵ BD⊥AC交CA的延长线于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
取AB的中点为E'，连接DE'，
∵DE'为斜边上的中线，
∴DE'＝AE'＝BE'＝AB，
由题意得BD∶AC＝1∶2，
∴BD∶AB＝1∶2，
∴BD＝AB＝BE'＝DE'，
∴△BDE'是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝150°，即△ABC的顶角为150°；
综上可知该三角形的顶角为30°或150°，
故答案为：A.
【分析】分类讨论：当△ABC为锐角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC于点D，如图1，取AB的中点为点E，连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE＝AE＝BE＝AB，由题意得BD＝AB＝BE＝DE，判断出△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理可得顶角∠A的度数；当△ABC为钝角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，如图2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE'＝AE'＝BE'＝AB，由题意得BD＝AB＝BE'＝DE'，判断出△BDE'是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BAD的度数，进而根据邻补角的定义即可求出∠BAC的度数，综上即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE.
∴ED＝CD，
∵DG⊥CE于点G，
∴EG＝GC，
∵CD＝5，
∴DE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，
∵△ABC的面积＝ ，
∴△BEC的面积＝ ，
∵△BED的面积＝ ，
∴△EDC的面积＝ ﹣12＝ ，
∴△DGC的面积＝ .
故答案为：D.
【分析】连接DE，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE＝ED＝BE，结合CD=AE可得ED＝CD，由等腰三角形的性质可得EG＝GC，由BD、CD的值可得DE、AB、AD，过E作EF⊥BC于F，由三角形的面积公式可得△ABC、△BED的面积，进而求出△BEC、△EDC、△DGC的面积.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，如图，
， 平分 ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，先由等腰三角形三线合一得到 ， ，通过，由三个角都为60°的三角形是等边三角形，故 是等边三角形，接着得到，接着通过条件得到 是等边三角形，得到DM=ME-DE=4cm，接着在Rt△DNM，由30°所对直角边为斜边一半得到NM=，最终得到BC=2BN=8cm.
11．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN=EM+MN=EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE=AB，
∵AB=4，
∴AE=4，
在Rt△ABE中，∠EAN=60°，
∴∠AEN=30°，
∴AN==2，
故答案为：2．
【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，可得AE=AB=4，BM+MN=EM+MN=EN，此时BM+MN的值最小，易求∠AEN=30°，根据直角三角形的性质可得AN=，继而得解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意知：，即S>0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，
∴CE=AB=2，DE=BE=AB=2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，即S的最大值为2，
∴.
故答案为：.
【分析】容易得出面积S>0，根据直角三角形斜边中点的性质分别求出CE和DE的长，则可得出当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，依此求出S的最大值，即可得出S的范围.
13．【答案】 或 或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：分三种情况：①如解图①，
当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
②如解图②，当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
③如解图③，当 时，
，
，
，
，
底角的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】当AB=AC时，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，结合AD=BC可得AD=BD=CD，据此可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为锐角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，则∠ABD=30°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为钝角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，推出∠DBA=30°，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行求解.
14．【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵E为AB中点，
∴BE＝AE＝CE＝ AB＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∵M是线段EB的中点，
∴CM⊥BE，
∴∠AMC＝90°，
∵∠A＝30°，N为AC的中点，
∴MN＝CN＝AN＝ AC＝MC，
∴△NMC为等边三角形，①正确；
②∵CM⊥BE，
∴∠BMC＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∵△EBC为等边三角形，M是线段EB的中点，
∴∠ECM＝∠BCM＝30°，
∵△NMC为等边三角形，
∴∠NMC＝60°，
∴∠ECM+∠NMC＝90°，
∴CE⊥MN，②正确；
③∵△EBC为等边三角形，M是线段EB的中点，
∴S△BCM＝S△MCE＝ S△BCE，
∵AE＝CE，N为AC的中点，
∴S△NCE＝S△NAE＝ S△ACE，
∵S四边形ENCM＝S△NCE+S△MCE＝ S△BCE+ S△ACE＝ S△ABC，
∴S△ABC＝2S四边形ENCM，故③正确；
④∵AE＝CE，N为AC的中点，
∴EN⊥AC，
∵CM⊥BE，
∴∠CNE＝∠CME＝90°，
∵AE＝CE，
∴∠NCE＝∠A＝30°，
∵∠ECM＝30°，
∴∠ECM＝∠ECN，
在△ECM和∠ECN中，
，
∴△ECM≌∠ECN（AAS），
∴EN＝EM，
在Rt△ANE中，∠A＝30°，∠ANE＝90°，
∴AN＝ EN，
∴AN＝ EM，故④正确；
综上所述，①②③④都正确；
故答案为：①②③④.
【分析】由内角和定理可得∠A＝30°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝AE＝CE＝AB＝BC，推出△EBC为等边三角形，则CM⊥BE，由中点的概念可得MN＝CN＝AN＝AC＝MC，推出△NMC为等边三角形，据此判断①；易得∠BCM＝30°，由等边三角形的性质可得∠ECM＝∠BCM＝30°，∠NMC＝60°，则∠ECM+∠NMC＝90°，据此判断②；易得S△BCM＝S△MCE＝S△BCE，S△NCE＝S△NAE＝S△ACE，则可推出S四边形ENCM＝S△ABC，据此判断③；由等腰三角形的性质得EN⊥AC，∠NCE＝∠A＝30°，证明△ECM≌∠ECN，得到EN＝EM，在Rt△ANE中，可得AN＝EN，据此判断④.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，
∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC=60°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴OE，OF分别是 斜边上的中线，
∴OF=OE=OA= AD，
∴∠EOF=2∠EAO+2∠FAO=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴EF= ，即当AD最小时，EF的值最小，
∵当AD⊥BC时，AD最小，此时， 是等腰直角三角形，AD= ，
∴EF最小值= ，
故答案是： .
【分析】连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数；再利用直角三角形的性质可证得OF=OE=OA= AD，从而可求出∠EOF的度数；再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠OEF=∠OFE=30°，可得到，因此当AD最小时，则EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，利用勾股定理求出AD的长，即可得到EF的最小值.
16．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N
则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''于点C
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
∵OP＝2，∠AOB＝60°，
∴∠P'＝∠P''＝30°，OP′＝OP''＝2，
∴OC＝ ＝1；
故答案为：1.
【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，根据两点之间线段最短，知P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''于点C，根据对称性得出OP＝OP'＝OP''，结合OP=2，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC长，即可解答.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
图甲 图乙
当所作的等边在直线的左侧时，如图甲所示，
，，，
，，
为的中点，
，
又，
，，
四边形是平行四边形，
；
当所作的等边在直线的右侧时，如图乙所示，
此时点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
综上，线段的长为或．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得到AB=4，继而由等边三角形的性质得到AD=BD=AB=4，∠DAB=60°，分类讨论得到CE的长即可。
18．【答案】（1）解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t为8时，是等边三角形；
（2）解：当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
综上所述，当t为或6时，是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，利用直角三角形的性质可求出AB=2BC=24，PB=24-2t，由等边三角形的性质可得到PB=BQ，据此建立关于t方程并解之即可；
（2） 由∠B为定值，可分两种情况：①当∠BPQ=90°时， ②当∠PQB=90°时， 利用直角三角形的性质分别求解即可.
19．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
.
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=BC，进而根据等腰三角形的三线合一可得MN⊥DE；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD＋∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME＋∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
20．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴为“奇妙三角形”．
（2）证明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°，
∵为“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠ABC＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠ABC＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）解：∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形，
①若
②若
综上所述，∠C的度数为：80°或100°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD，由∠ACB=80°，根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°，则可得出∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出 ∠A＋∠ABC＝100°， 根据新定义得出只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°） ，则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ，从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°)，即可得证；
（3）分两种情况讨论， 即①若， ②若 ，利用（2）的方法分别求解，即可解答.
21．【答案】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=10，
当t=5时，
PA=5，
∴PA=PB，
∴CP⊥AB，
∴△ACP是直角三角形；
（2）解：分两种情况：
①当∠APQ=90°时，如图2-1所示：
则∠AQP=90°-∠A=30°，
∴AQ=2AP，
由题意可得：AP=t，CQ=2t，则AQ=10-2t，
∴10-2t=2t，
解得；
②当∠AQP=90°时，如图2-2所示：
则∠APQ=90°-∠A=30°，
∴AP=2AQ，
∴t=2（10-2t），
解得：t=4；
综上，当或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）解：线段DE的长度不变化，理由如下：
过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴∠AEP=∠DEP=∠CFQ=90°，
∵∠QCF=∠ACB=60°，
∴∠A=∠QCF，
又∵AP=CQ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=CF，PE=QF，
又∵∠PDE=∠QDF，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE=DF=EF，
∵EF=CE+CF，AC=CE+AE，
∴EF=AC=10，
∴DE=EF=5，
即线段DE的长度不变，为定值5cm．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；
②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；
（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证，得AE＝CF，PE＝QF，再证），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·龙港模拟）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=，
连接AF，根据题意可得： DE垂直平分AC，
∴CF=AF，
∵CF=CA，
∴AC=CF=AF，
∴∠ACF=60°，
∴∠BCG=30°，
∵∠B=60°，
∴∠CGB=90°，
∴CG⊥AB，
∴S△ABC=×AC×BC=×AB×CG，
∴
故答案为： D.
【分析】先求出BC=AB=2，AC=，再结合S△ABC=×AC×BC=×AB×CG，求出即可。
2．（2023·鄞州模拟）如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线，要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE 和△BCD D．△ACD和△BCD
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中线，
∴CE=AB=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，∠A=∠ACE=30°，
∴∠B=∠BEC=∠BCE=60°，
∴△ACE与△BCE的三个角都不相等，不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
B、△BCE与△ABC的三个角都不相等，不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
C、∵△BCE是等边三角形， CD⊥AB于D，
∴DE=BD，
在△CDE与△CDB中，
∵CE=EB，CD=CD，DE=DB，
∴△CDE≌△CDB（SSS），
∴△CDE与△CDB不能说明 “三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项不符合题意；
D、∵ △BCE是等边三角形，CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠BCD=30°，
∴∠ACD=∠B=60°，∠A=∠BCD=30°，
即△ACD与△BCD的三个角都对应相等，但不全等于，故能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题， 故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理算出∠B=60°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CE=AB=BE=AE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BCE是等边三角形，进而再根据等边三角形的性质得∠ADC=∠BDC=90°，∠BCD=30°，从而根据等边对等角及三角形的内角和分别找出各个选项中所给的两个三角形的三个内角度数，即可一一判断得出答案.
3．（2022·青县模拟）如图，中，，，尺规作图痕迹如下．
结论Ⅰ：点一定为的内心；
结论Ⅱ：连接，，则．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹得平分，垂直平分，
，
，
，，
，
，
点为的外心，不一定为的内心，所以结论Ⅰ不符合题意；
为的斜边的中线，
，
，
，所以结论Ⅱ符合题意．
故答案为：C．
【分析】由尺规作图痕迹得平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OC，由等腰三角形的性质可得BN⊥AC，可得OA=OC，于是可判断点为的外心，不一定为的内心，据此判断Ⅰ ；利用直角三角形斜边中线的性质可得，由可得，据此判断结论Ⅱ.
4．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答.
5．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D.若，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．2.8
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等腰三角形的性质可得，，从而求出∠CBD=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得=2AD，从而得出AC=3AD，继而得解.
6．（2022八上·金华开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，
∴①正确，符合题意；
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，
∴②正确，符合题意；
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴③正确，符合题意；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠CBE，
又∵BD＝CD，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF＝DC＝BD＝DE，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠DBE＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴④正确，符合题意；
∵条件不足，无法证明BC＝AD，
∴⑤错误，不符合题意，
综上所述，正确的个数为4个.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可判断①、②、③，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，因为条件不足无法判断BC和AD的数量关系，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.
7．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC＝5，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴BG＝CG，
∴点G是BC的中垂线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的中垂线上，
∴AG垂直平分BC，
∴BF＝CF，故①正确；
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF，故②正确；
若BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴点G是角平分线的交点，
∴点G到三边的距离为GF的长，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝＝4，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，
∴FG＝，故③正确；
如图，连接EF，
若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠BEC，
又∵BF＝CF，
∴CF＝DF＝EF＝BF，
∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，
∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，
又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，
∴2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，
∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，
∴2∠BAC+∠DFE＝180°，
∵∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△BAE≌△CAD，得到∠ABE＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，推出BG＝CG，则AG垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质可判断①；若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠AEB＝90°，则∠BDC＝90°，由BF=CF可得点F为BC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可判断②；根据角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，易得点G到三边的距离为GF的长，利用勾股定理可得AF，然后根据三角形的面积公式可判断③；连接EF，若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，根据全等三角形的性质可得∠BDC＝90°＝∠BEC，则CF＝DF＝EF＝BF，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得2∠DBF+2∠ECF-∠DFE＝180°，结合∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得2∠BAC+∠DFE＝180°，据此判断④.
8．（2022八下·毕节月考）若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC于点D，如图1，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵ BD⊥AC于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
取AB的中点为点E，连接DE，
∵DE为斜边上的中线，
∴DE＝AE＝BE＝AB，
由题意得BD∶AC＝1∶2，
∴BD∶AB＝1∶2，
∴BD＝AB＝BE＝DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°，
∴△ABC的顶角为30°；
当△ABC为钝角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，如图2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵ BD⊥AC交CA的延长线于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
取AB的中点为E'，连接DE'，
∵DE'为斜边上的中线，
∴DE'＝AE'＝BE'＝AB，
由题意得BD∶AC＝1∶2，
∴BD∶AB＝1∶2，
∴BD＝AB＝BE'＝DE'，
∴△BDE'是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝150°，即△ABC的顶角为150°；
综上可知该三角形的顶角为30°或150°，
故答案为：A.
【分析】分类讨论：当△ABC为锐角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC于点D，如图1，取AB的中点为点E，连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE＝AE＝BE＝AB，由题意得BD＝AB＝BE＝DE，判断出△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理可得顶角∠A的度数；当△ABC为钝角三角形时，AB＝AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，如图2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE'＝AE'＝BE'＝AB，由题意得BD＝AB＝BE'＝DE'，判断出△BDE'是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BAD的度数，进而根据邻补角的定义即可求出∠BAC的度数，综上即可得出答案.
9．（2021八上·滨江期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE.
∴ED＝CD，
∵DG⊥CE于点G，
∴EG＝GC，
∵CD＝5，
∴DE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，
∵△ABC的面积＝ ，
∴△BEC的面积＝ ，
∵△BED的面积＝ ，
∴△EDC的面积＝ ﹣12＝ ，
∴△DGC的面积＝ .
故答案为：D.
【分析】连接DE，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE＝ED＝BE，结合CD=AE可得ED＝CD，由等腰三角形的性质可得EG＝GC，由BD、CD的值可得DE、AB、AD，过E作EF⊥BC于F，由三角形的面积公式可得△ABC、△BED的面积，进而求出△BEC、△EDC、△DGC的面积.
10．（2021八上·潜江期末）如图，在锐角 中， ， ， 是 内的两点， 平分 ， ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，如图，
， 平分 ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，先由等腰三角形三线合一得到 ， ，通过，由三个角都为60°的三角形是等边三角形，故 是等边三角形，接着得到，接着通过条件得到 是等边三角形，得到DM=ME-DE=4cm，接着在Rt△DNM，由30°所对直角边为斜边一半得到NM=，最终得到BC=2BN=8cm.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022八上·康巴什期末）如图，在锐角三角形ABC中，°，的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当取得最小值时， ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN=EM+MN=EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE=AB，
∵AB=4，
∴AE=4，
在Rt△ABE中，∠EAN=60°，
∴∠AEN=30°，
∴AN==2，
故答案为：2．
【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，可得AE=AB=4，BM+MN=EM+MN=EN，此时BM+MN的值最小，易求∠AEN=30°，根据直角三角形的性质可得AN=，继而得解.
12．（2021八上·高港月考）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意知：，即S>0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，
∴CE=AB=2，DE=BE=AB=2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，即S的最大值为2，
∴.
故答案为：.
【分析】容易得出面积S>0，根据直角三角形斜边中点的性质分别求出CE和DE的长，则可得出当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，依此求出S的最大值，即可得出S的范围.
13．（2021八上·金东期中）已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为 .
【答案】 或 或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：分三种情况：①如解图①，
当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
②如解图②，当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
③如解图③，当 时，
，
，
，
，
底角的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】当AB=AC时，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，结合AD=BC可得AD=BD=CD，据此可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为锐角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，则∠ABD=30°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为钝角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，推出∠DBA=30°，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行求解.
14．（2021八上·上城期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点E，N，M分别是线段AB，AC，EB的中点，下列结论：①△NMC为等边三角形.②CE⊥MN；③S△ABC＝2S四边形ENCM；④AN＝ EM.其中正确的是 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵E为AB中点，
∴BE＝AE＝CE＝ AB＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∵M是线段EB的中点，
∴CM⊥BE，
∴∠AMC＝90°，
∵∠A＝30°，N为AC的中点，
∴MN＝CN＝AN＝ AC＝MC，
∴△NMC为等边三角形，①正确；
②∵CM⊥BE，
∴∠BMC＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∵△EBC为等边三角形，M是线段EB的中点，
∴∠ECM＝∠BCM＝30°，
∵△NMC为等边三角形，
∴∠NMC＝60°，
∴∠ECM+∠NMC＝90°，
∴CE⊥MN，②正确；
③∵△EBC为等边三角形，M是线段EB的中点，
∴S△BCM＝S△MCE＝ S△BCE，
∵AE＝CE，N为AC的中点，
∴S△NCE＝S△NAE＝ S△ACE，
∵S四边形ENCM＝S△NCE+S△MCE＝ S△BCE+ S△ACE＝ S△ABC，
∴S△ABC＝2S四边形ENCM，故③正确；
④∵AE＝CE，N为AC的中点，
∴EN⊥AC，
∵CM⊥BE，
∴∠CNE＝∠CME＝90°，
∵AE＝CE，
∴∠NCE＝∠A＝30°，
∵∠ECM＝30°，
∴∠ECM＝∠ECN，
在△ECM和∠ECN中，
，
∴△ECM≌∠ECN（AAS），
∴EN＝EM，
在Rt△ANE中，∠A＝30°，∠ANE＝90°，
∴AN＝ EN，
∴AN＝ EM，故④正确；
综上所述，①②③④都正确；
故答案为：①②③④.
【分析】由内角和定理可得∠A＝30°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝AE＝CE＝AB＝BC，推出△EBC为等边三角形，则CM⊥BE，由中点的概念可得MN＝CN＝AN＝AC＝MC，推出△NMC为等边三角形，据此判断①；易得∠BCM＝30°，由等边三角形的性质可得∠ECM＝∠BCM＝30°，∠NMC＝60°，则∠ECM+∠NMC＝90°，据此判断②；易得S△BCM＝S△MCE＝S△BCE，S△NCE＝S△NAE＝S△ACE，则可推出S四边形ENCM＝S△ABC，据此判断③；由等腰三角形的性质得EN⊥AC，∠NCE＝∠A＝30°，证明△ECM≌∠ECN，得到EN＝EM，在Rt△ANE中，可得AN＝EN，据此判断④.
15．（2021八下·青羊期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，
∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC=60°，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴OE，OF分别是 斜边上的中线，
∴OF=OE=OA= AD，
∴∠EOF=2∠EAO+2∠FAO=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴EF= ，即当AD最小时，EF的值最小，
∵当AD⊥BC时，AD最小，此时， 是等腰直角三角形，AD= ，
∴EF最小值= ，
故答案是： .
【分析】连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数；再利用直角三角形的性质可证得OF=OE=OA= AD，从而可求出∠EOF的度数；再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠OEF=∠OFE=30°，可得到，因此当AD最小时，则EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，利用勾股定理求出AD的长，即可得到EF的最小值.
16．（2021·沙依巴克模拟）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为 .
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N
则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''于点C
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
∵OP＝2，∠AOB＝60°，
∴∠P'＝∠P''＝30°，OP′＝OP''＝2，
∴OC＝ ＝1；
故答案为：1.
【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，根据两点之间线段最短，知P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''于点C，根据对称性得出OP＝OP'＝OP''，结合OP=2，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC长，即可解答.
三、解答题（共5题，共66分）
17．（2022八下·宁安期末）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，以AB为边作等边△ABD，点E为线段AD的中点，连接CE，请画出图形，并直接写出线段CE的长．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
图甲 图乙
当所作的等边在直线的左侧时，如图甲所示，
，，，
，，
为的中点，
，
又，
，，
四边形是平行四边形，
；
当所作的等边在直线的右侧时，如图乙所示，
此时点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
综上，线段的长为或．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得到AB=4，继而由等边三角形的性质得到AD=BD=AB=4，∠DAB=60°，分类讨论得到CE的长即可。
18．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t为8时，是等边三角形；
（2）解：当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
综上所述，当t为或6时，是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，利用直角三角形的性质可求出AB=2BC=24，PB=24-2t，由等边三角形的性质可得到PB=BQ，据此建立关于t方程并解之即可；
（2） 由∠B为定值，可分两种情况：①当∠BPQ=90°时， ②当∠PQB=90°时， 利用直角三角形的性质分别求解即可.
19．（2023八上·绍兴期末）如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
.
【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=BC，进而根据等腰三角形的三线合一可得MN⊥DE；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD＋∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME＋∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
20．（2022七下·崇川期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴为“奇妙三角形”．
（2）证明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°，
∵为“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠ABC＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠ABC＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）解：∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形，
①若
②若
综上所述，∠C的度数为：80°或100°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD，由∠ACB=80°，根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°，则可得出∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出 ∠A＋∠ABC＝100°， 根据新定义得出只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°） ，则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ，从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°)，即可得证；
（3）分两种情况讨论， 即①若， ②若 ，利用（2）的方法分别求解，即可解答.
21．（2022七下·皇姑期末）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（t>0）秒．（知识储备：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（1）当t＝5时，求证：△PAC是直角三角形；
（2）如图②，若另一动点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由点C向点A运动，且与点P同时出发，点Q到达终点A时点P也随之停止运动．当△PAQ是直角三角形时，直接写出t的值；
（3）如图③，若另一动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，且与点P同时出发．当点P到达终点B时点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，直接写出DE的长度；若变化，说明如何变化．
【答案】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=10，
当t=5时，
PA=5，
∴PA=PB，
∴CP⊥AB，
∴△ACP是直角三角形；
（2）解：分两种情况：
①当∠APQ=90°时，如图2-1所示：
则∠AQP=90°-∠A=30°，
∴AQ=2AP，
由题意可得：AP=t，CQ=2t，则AQ=10-2t，
∴10-2t=2t，
解得；
②当∠AQP=90°时，如图2-2所示：
则∠APQ=90°-∠A=30°，
∴AP=2AQ，
∴t=2（10-2t），
解得：t=4；
综上，当或4时，△PAQ是直角三角形；
（3）解：线段DE的长度不变化，理由如下：
过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴∠AEP=∠DEP=∠CFQ=90°，
∵∠QCF=∠ACB=60°，
∴∠A=∠QCF，
又∵AP=CQ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=CF，PE=QF，
又∵∠PDE=∠QDF，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE=DF=EF，
∵EF=CE+CF，AC=CE+AE，
∴EF=AC=10，
∴DE=EF=5，
即线段DE的长度不变，为定值5cm．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；
②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；
（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证，得AE＝CF，PE＝QF，再证），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．
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