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专题2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形的性质定理
模块1：学习目标
1、了解等腰（等边）三角形的概念；掌握等腰（等边）三角形的轴对称性；
2、掌握等腰三角形性质定理；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60。
模块2：知识梳理
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线；
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
4.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
6.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
模块3：核心考点与典例
考点1、等腰三角形及相关概念
例1．（内蒙古2022八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．
【详解】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B
【点睛】本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．
例2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________．
【答案】11或13/13或11
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】有两种情况：腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形，周长；
腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形，周长．故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
变式1．（江苏2022八年级月考）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（ ）
A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°
【答案】C
【分析】据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②设该等腰三角形的底角是x，则2x+80°=180°，
解可得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；
综上，该等腰三角形的底角的度数是50°或80°．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理，列出方程求解是正确解答本题的关键．
变式2．（江西2022七年级期末）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．13 D．15
【答案】D
【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，
∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
变式3．（山东菏泽2022八年级月考）等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（ ）
A．45° B．30°或90° C．90°或150° D．30°或90°或150°
【答案】D
【分析】分三种情形①BD是腰上的高②AD是底边上的高③△ABC是钝角三角形．分别求解即可．
【详解】解：①如图中，∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；
②如图中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，
∵AD=BC，∴AD=DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；
③如图，AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，则∠BAD=30°，∠BAC=150°，
∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°．故选：D．
【点睛】本题考查了含30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
考点2、根据等边对等角（计算）
例1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
变式2．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在中，是上一点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合等腰三角形底角相等、三角形内角和、三角形外角定理，进行计算即可．
【详解】解，，，
，，，
，故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形中角度的计算，需要结合实际情况进行角度的加减运算，看清楚等腰对等角的位置关系是解题的关键．
变式2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，在中，，，平分的外角，则______．
【答案】
【分析】根据，求出的度数，再根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：，，，，
平分的外角，，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知上述性质是解题的关键．
考点3、根据等边对等角（证明）
例1．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，在中，，点D，E在边上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先证明，再利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，∴，
又∵，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如图，中，，D为延长线上一点，．求证：平分．
【答案】证明见解析
【分析】先证明，再利用平行线的性质得到，最后得到，即可求证．
【详解】证明：∵，∴，
∵,∴，
∴，∴平分．
【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的性质和角平分线的定义等知识，解题关键是牢记相应的概念与性质．
变式2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，已知，，与相交于点O，求证：．
【答案】见解析
【分析】证明即可得出结论．
【详解】证明：∵，，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，熟记几种判定方法是解题关键．
考点4、三线合一的相关概念与计算
例1．（2022春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，因为______，所以（等腰三角形底边上的高平分顶角）．
【答案】，
【分析】根据等腰三角形的三线合一性即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为，；
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性，掌握等腰三角形的三线合一性是解题的关键．
变式1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线
B．关于某直线对称的两个三角形全等
C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．两个三角形能够重合，它们一定是成轴对称的
【答案】D
【分析】根据平面图形的基本概念依次分析各选项即可作出判断.
【详解】解：A.等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线，正确，不符合题意；
B.关于某直线对称的两个三角形全等，正确，不符合题意；
C.一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，正确，不符合题意；
D.两个三角形能够重合，它们可能是平移或旋转的，故错误，本选项符合题意.故选：D
【点睛】此题主要考查了学生对轴对称的性质及等腰三角形的性质的理解．找出每个选项正误的具体原因是解答本题的关键．
变式2．（2023春·山东·七年级阶段练习）已知中，，是边上的高，，那么_____．
【答案】
【分析】根据等腰三角形性质，三线合一，即可得到答案．
【详解】解：，是边上的高，
，故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质：等腰三角形底边上三线合一，掌握等腰三角形的性质是解题关键．
考点5、三线合一的相关证明
例1．（2023春·七年级单元测试）如图，等腰三角形的底边，是的角平分线，是边上的点，且．
(1)作出点E关于的对称点F．(2)求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）在上截取即可；（2）先根据等腰三角形的性质得到，再利用对称的性质得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
（2）为等腰三角形，平分，平分，即，
点、点关于的对称，，
，即的长为．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了等腰三角形的性质．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，已知等腰，，利用尺规作图法作边的中点D．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，作出的平分线，与的交点就是所求．
【详解】根据等腰三角形的三线合一性质，作出的平分线，
与的交点为点D，则点D即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角的平分线的尺规作图，熟练掌握性质，灵活准确进行尺规作图是解题的关键．
变式2．（2023春·广东揭阳·九年级校考期中）如图①，在中，，D是的中点，点E在上，连接，．
(1)求证：；(2)如图②，若的延长线交于点F，且，垂足为F，原题设其他条件不变，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用三线合一得到是的中垂线，利用中垂线的性质即可得证；
（2）利用三线合一和外角的性质，即可得证．
【详解】（1）证明：∵在中，，D是的中点，
∴，∴是线段的中垂线，∵点E在上，∴；
（2）证明：∵，，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，三角形的外角．熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．
考点6、等边三角形的性质
例1．（河南省周口市西华县2022八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
例2．（福建省三明市2022八年级期中）如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为____．
【答案】7.5
【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质求出，由题意求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：是等边三角形，，，
，，
，，，，
，在中，，
，，故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
变式1．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：为等边三角形，，
，，
，
，，解得．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
变式2．（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选：A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
变式3．（河南省郑州市郑东新区东区外国语学校2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．
【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，
∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．
考点7、等腰（等边）三角形中的新定义问题
例1．（2022·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
变式1．（2022江苏苏州中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 济南八年级期中）等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
【思路点拨】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【答案】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25（cm）．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】没有说明是顶角与底角的比还是底角与顶角的比，则应该分两种情况进行分析，根据三角形的内角和定理即可求得其底角的度数．
【详解】解：当底角与顶角的比是时，
设底角为，顶角为，根据三角形内角和得，，解得：，即底角为；
当顶角与底角的比是，设顶角为，底角为，根据三角形内角和得，，
解得：，，即底角为；所以底角的度数为或．故选D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
3．（2022 高新区八年级月考）等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
【思路点拨】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【答案】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，不能组成三角形，
综上所述，底边为4．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
4．（2022 杭州八年级期中）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
【答案】C
【分析】根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
【解析】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，
当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，则，解得：，
即该等腰三角形的底角为：，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．
5．（2022 长春八年级期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【答案】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
6．（2022 浦东新区八年级期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（ ）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
【思路点拨】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；
【答案】解：根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x＝20，解得 x＝4 故底边长为4cm，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；验证是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【详解】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18-8=10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；当4是底边时，腰长是（18-4）× =7，4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．故选：B．
8．（2022 上城区八年级模拟）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
【解析】当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故顶角的度数为80°或20°．故选：D．
9．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）老师在黑板上出了这样的一道练习题：如图，中，，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平行线于点F，求证：．
嘉琪的解答如下：
证明：∵中，，是角平分线（已知），∴，∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）又∵（对顶角相等），∴（▲），∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）．
下列选项错误的是（ ）
A．★表示 B．直接依据●表示等腰三角形“三线合一”
C．※表示 D．直接依据▲表示
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】证明：∵中，，是角平分线（已知），
∴（等腰三角形的“三线合一”），故A，B选项正确，不符合题意；
∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）故C选项正确，不符合题意；
又∵（对顶角相等），∴（），故D选项错误，符合题意；
∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）；故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2022 江都区八年级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【思路点拨】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【答案】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．求：PE+PF的值．
解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴S△ABP＝AB PE，S△ACP＝AC PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB PE+AC PF＝24，∴AB(PE+PF)＝24，∴PE+PF＝＝6cm，故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是______．
【答案】/20度
【分析】先利用平行线的性质得到，再利用等边对等角和三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴．故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
12．（2023·广东河源·八年级期中）已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是_______．
【答案】10
【分析】根据等腰三角形的定义，分情况讨论，再利用两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：①当腰长为5时，则等腰三角形的三边分别为5，5，10，
，不能构成三角形，故舍去．
②当腰长为10时，则等腰三角形的三边分别为5，10，10，
，能构成三角形．第三边长为：10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，即两边相等的三角形是等腰三角形，解题的关键在于熟练掌握两边之和大于第三边．
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为15cm，，则它的“优美比”______．
【答案】或
【分析】分是腰和底边，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵等腰的周长为15cm，，
当是腰时：底边的长为cm，此时，
当是底边时：腰长为cm，此时；
综上或；故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义．理解并掌握“优美比”的定义，是解题的关键．
14．（2022·浙江温州市·八年级月考）等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．
【答案】 3a 3
【分析】根据周长公式求解即可，根据轴对称图形的概念及对称轴求解即可.
【解析】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a；等边三角形共有对称轴有3条．故答案为：3a，3．
【点睛】本题利用了等边三角形的三边相等的性质以及轴对称图形的对称轴的概念．
15．（2022·浙江八年级期中）一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
【答案】或
【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案.
【解析】解：如图，为等腰三角形，
设 则
当时，
解得：
当时， 解得：
故答案为：或
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.
16．（2022·浙江八年级期中）等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的底角为_________．
【答案】61°或29°
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
【详解】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A=90°-32°=58°，底角=（180°-58°）÷2=61°；
②若三角形是钝角三角形，∠BCA=32°+90°=122°，此时底角=（180°-122°）÷2=29°．
所以等腰三角形底角的度数是61°或29°．故答案为：61°或29°．
17．（2023秋·广东八年级课时练习）如图，、、、是四根长度相等的火柴棒，点、、共线．若，，则点到线段的距离为_______________．
【答案】
【分析】过作于点，过作于点，证，得，，再由等腰三角形的性质得，即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，
则，，
，，，，
在和中，，，，，
∵，，，，故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，证得是解题的关键．
18．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，，，连，交于点O，下面四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为__________．
【答案】
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可判定①，再根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：在和中，
，，故①正确，，
，，，故正确；
无法证明与是否相等，③错误，故正确， 故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，能熟记全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解此题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】等腰三角形，理由见解析
【分析】首先将已知等式进行因式分解，然后由两数相乘为零必有一数为零，解其方程得到，即可判定．
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∵a，b，c分别为三边的长，∴，，，
∴，∴，∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，掌握因式分解是解题的关键．
20．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，，是的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】首先连，，再证明，进而得到，然后根据等腰三角形的性质可得．
【详解】解：证明：连，，，，
在和中，，，，
是的中点，．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
21．（2023·云南昆明·统考一模）如图，是等腰三角形，为底边，分别延长，使得，求证：．
【答案】见解析
【分析】由是等腰三角形，可得，，再由，可得，即可得出结论．
【详解】证明：∵是等腰三角形，∴，∴，
∵，∴，即，
在和中，，∴
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定是解题的关键．
22．（2023·全国·八年级专题练习）小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，，点在上，且，求证：．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作，垂足为，证明．
请从以上两种方法中任选一种，加以证明．
【答案】见解析
【分析】方法1：利用三角形的内角和计算角的度数即可得出结论；方法2：作，垂足为，根据同角的余角相等得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出．
【详解】证明：方法1：，，
又，，
．
方法2：作，垂足为，
，，．
又，，，．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，同角的余角相等，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的内角和定理，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
23．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】作于点，根据等腰三角形的性质得出，再证明即可得出结论．
【详解】证明：如图，作于点．
，．
，．
平分，．
在和中，，
，
，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
24．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，．
(1)在上求作点E，使，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【答案】(1)画图见解析(2)证明见解析
【分析】（1）以A为圆心，以的长为半径画弧交于E（不与D重合），点E即为所求；
（2）过点A作于H，根据三线合一定理得到，由此即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）证明：如图所示，过点A作于H，
∵，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作线段，三线合一定理，熟知三线合一定理是解题的关键．
25．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，，均为等腰直角三角形，，，，H为的中点，连接．
(1)尺规作图：求作点F，使得，，点F在下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）延长，在其延长线上取，作线段的垂直平分线，在上且在下方截取，即可求得答案；
（2）连接，，，可证，可得，，再证，，即可证得，可知，由，可知，即可证得，，三点共线．
【详解】（1）解：延长，在其延长线上取，以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接，可知为线段的垂直平分线，在上且在下方截取，
如图，点即为所求；
（2）证明：连接，，，
∵，，，
则，，
∴，∴，
∴，，
∴，，
∵，∴，
则，∴，
又∵为的中点，∴，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，，三点共线．
【点睛】本题考查尺规作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，作出图形，掌握相关性质是解决问题的关键．
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专题2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形的性质定理
模块1：学习目标
1、了解等腰（等边）三角形的概念；掌握等腰（等边）三角形的轴对称性；
2、掌握等腰三角形性质定理；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60。
模块2：知识梳理
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线；
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
4.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
6.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
模块3：核心考点与典例
考点1、等腰三角形及相关概念
例1．（内蒙古2022八年级期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________．
变式1．（江苏2022八年级月考）等腰三角形的一个角是80°，则它底角的度数是（ ）
A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°
变式2．（江西2022七年级期末）已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．13 D．15
变式3．（山东菏泽2022八年级月考）等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（ ）
A．45° B．30°或90° C．90°或150° D．30°或90°或150°
考点2、根据等边对等角（计算）
例1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在中，是上一点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，在中，，，平分的外角，则______．
考点3、根据等边对等角（证明）
例1．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，在中，，点D，E在边上，且．求证：．
变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如图，中，，D为延长线上一点，．求证：平分．
变式2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，已知，，与相交于点O，求证：．
考点4、三线合一的相关概念与计算
例1．（2022春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，因为______，所以（等腰三角形底边上的高平分顶角）．
变式1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线
B．关于某直线对称的两个三角形全等
C．一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．两个三角形能够重合，它们一定是成轴对称的
变式2．（2023春·山东·七年级阶段练习）已知中，，是边上的高，，那么_____．
考点5、三线合一的相关证明
例1．（2023春·七年级单元测试）如图，等腰三角形的底边，是的角平分线，是边上的点，且．(1)作出点E关于的对称点F．(2)求的长．
变式1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，已知等腰，，利用尺规作图法作边的中点D．（不写作法，保留作图痕迹）
变式2．（2023春·广东揭阳·九年级校考期中）如图①，在中，，D是的中点，点E在上，连接，．(1)求证：；(2)如图②，若的延长线交于点F，且，垂足为F，原题设其他条件不变，求证：．
考点6、等边三角形的性质
例1．（河南省周口市西华县2022八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
例2．（福建省三明市2022八年级期中）如图，等边中，为的中点，过点作于点，过点作于点，若，则线段的长为____．
变式1．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
变式2．（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（河南省郑州市郑东新区东区外国语学校2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．
考点7、等腰（等边）三角形中的新定义问题
例1．（2022·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
变式1．（2022江苏苏州中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 济南八年级期中）等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
2．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2022 高新区八年级月考）等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
4．（2022 杭州八年级期中）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
5．（2022 长春八年级期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2022 浦东新区八年级期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（ ）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
8．（2022 上城区八年级模拟）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
9．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）老师在黑板上出了这样的一道练习题：如图，中，，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平行线于点F，求证：．
嘉琪的解答如下：
证明：∵中，，是角平分线（已知），∴，∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）又∵（对顶角相等），∴（▲），∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）．
下列选项错误的是（ ）
A．★表示 B．直接依据●表示等腰三角形“三线合一”
C．※表示 D．直接依据▲表示
10．（2022 江都区八年级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是______．
12．（2023·广东河源·八年级期中）已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是_______．
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为15cm，，则它的“优美比”______．
14．（2022·浙江温州市·八年级月考）等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．
15．（2022·浙江八年级期中）一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
16．（2022·浙江八年级期中）等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的底角为_________．
17．（2023秋·广东八年级课时练习）如图，、、、是四根长度相等的火柴棒，点、、共线．若，，则点到线段的距离为_______________．
18．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，，，连，交于点O，下面四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
20．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，，是的中点．求证：．
21．（2023·云南昆明·统考一模）如图，是等腰三角形，为底边，分别延长，使得，求证：．
22．（2023·全国·八年级专题练习）小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，，点在上，且，求证：．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作，垂足为，证明．
请从以上两种方法中任选一种，加以证明．
23．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，是上一点，且．求证：．
24．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，．
(1)在上求作点E，使，点D与点E不重合（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
25．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，，均为等腰直角三角形，，，，H为的中点，连接．
(1)尺规作图：求作点F，使得，，点F在下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．
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