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专题2.4 等腰三角形的判定定理
模块1：学习目标
1、经历等腰三角形判定定理的探索过程；
2、掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边；
3、会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
模块2：知识梳理
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2.等边三角形的判定定理：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
要点：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系；
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。
模块3：核心考点与典例
考点1. 网格图中的等腰三角形
例1．（2022山东菏泽八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据等腰三角形两腰相等，结合网格结构找出点C的可能位置即可．
【详解】解：如图所示，满足条件的点C有4个．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等，以及网格结构的特点是解题的关键．
变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如下图：
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，
所以点C的个数为：2+1=3．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键．
变式2．（2023·云南红河·八年级统考期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【详解】解：如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形
例1．（2023秋·福建福州·八年级校考期末）如图，是的角平分线，交于点F，求证是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线得，根据得，即可得，即可得．
【详解】证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
变式1．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在中，点D在边的延长线上，平分，．求证：为等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形．
【详解】证明：∵，∴，
∵平分，∴∴即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2022·吉林长春·八年级期中）如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）证明：∵，∴
∵BD平分∴，
∴即是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AB的中点∴
∵是等腰三角形∴ ∴
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出解答．
变式3．（2022·山东·八年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，见解析
【分析】根据等腰三角形的判定定理进行推理证明即可．
【详解】①③可证△EBO≌△DCO，得到BO=CO，∠OBC=∠OCB，再用等角对等边证明即可；
②③可证△EBO≌△DCO，得到BO=CO，∠OBC=∠OCB，再用等角对等边证明即可；
①④可得∠OBC=∠OCB，再用等角对等边证明即可；
②④可证△EBO≌△DCO，得到∠EBD=∠DCO，再用等角对等边证明即可；；
选①③为条件证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是熟记等腰三角形判定定理，熟练运用已知条件进行推理证明．
考点3.根据等角对等边证明边相等
例1．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：；(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，可以得到，然后即可得到；
（2）根据和等腰三角形的性质、平行线的性质，可得到与的关系．
【详解】（1）证明：是的角平分线，，
，，，；
（2）解：，理由：，，
，，
，，，
由（1）知：，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，相交于点O，．求证．
【答案】见解析
【分析】利用证明得到即可证明．
【详解】证明：在和中，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，证明得到是解题的关键．
变式2．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，，求证：．
证明：∵，
∴（ ），
（ ），
∵AD平分，
∴（角平分线的定义），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边
【分析】只需要利用平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明．
【详解】证明：∵，∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分，∴（角平分线的定义），
∴（等量代换），
∴（同一个三角形中，等角对等边）
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
变式3．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）如图，平分，点是上一点．
(1)尺规作图：过点作交于点；(2)在作出符合（1）的图形中，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据尺规基本作图-作一角等于已知角，作即可求解；
（2）根据角平分线定义与平行线的性质证明，即可由等角对等边得出结论．
【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于M、N，再在上，任取一点C为圆心，半径不变，画弧交于E，以点E为圆心，为半径画弧，交前弧于F，然后过C、F作交于D，如图所示，则就是所要求作的．
由作图可知：，∴．
（2）证明：∵平分，∴
由作图可知：，∴，
∴ ∴．
【点睛】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的判定与性质定理，等腰三角形的判定定理是解题的关键．
考点4.根据等角对等边求边的长度
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则．
【详解】解：∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
变式1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 __．
【答案】2
【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，于是得到，，代入数据即可得到结论．
【详解】解：∵，∴，，
∵和的平分线分别交于点G、F，∴，，
∴，，∴，，∵，，，
∴，即，∴，故答案为2．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
变式2．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，平分，交边于，，，则的长为______________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平分，得，然后得出，根据等角对等边可得，求得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，平分，∴，，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了等角对等边，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
变式3．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 ______ ．
【答案】
【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解．
【详解】由题意得：，
，，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题关键．
考点5.等腰三角形的尺规作图
例1．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
变式1．（2023·河北邯郸·统考一模）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P；②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E；②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出结论，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，即可判断和的特征，然后根据等腰三角形的判定说明即可得到答案.
【详解】解：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
同理，得，∴，∴都是等腰三角形．连接，
∵，∴．∵，∴，
∴，∴是顶角为的等腰三角形．
∵，∴，∴是顶角为的等腰三角形．
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴是顶角为的等腰三角形，故选C.
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2023·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
【答案】A
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，∴，∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，∴，
∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图 圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
变式3．（2023·陕西·校考模拟预测）在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】作的垂直平分线交于，连接，则和即为等腰三角形．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交于，连接，点即为所求．
∵，∴，
∵垂直平分线段，∴，∴是等腰三角形，，
∴，∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图作线段垂直平分线以及等腰三角形的判定，解决此题的关键是熟悉基本几何图形的性质以及线段垂直平分线的性质．
考点6.等边三角形的判定（概念）
例1．（2022·河南渑池·初二期末）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定判断．
【解析】两个角为 60°，则第三个角也是 60 °，则其是等边三角形，故正确；
② 这是等边三角形的判定 2 ，故正确； ③ 三角形内角和为180°，三个角都相等，即三个角的度数都为60°，则其是等边三角形，故正确；④ 这是等边三角形定义，故正确．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形性质和定义进行解答.
变式1．（2022 浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．
【解析】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．
变式2．（2023·江苏·八年级假期作业）在下列结论中：（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形。其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
变式3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列说法一定正确的是（ ）
A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形
B．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线
D．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形
【答案】B
【分析】利用轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰等边三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、有两个角相等的三角形不一定是等边三角形，该选项不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，该选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰等边三角形的性质，关键是利用性质逐一判断．
考点7.等边三角形的判定（证明）
例1．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在△中，，，是边的中点，，，点为垂足． 求证：（1）；（2）△是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据“角角边”证明△BDE≌△CDF，问题得证；
（2）证明∠EDF=60°，再根据DE=DF，即可证明△是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵是边的中点，∴BD=CD，
∵，，∴∠B=∠C=30°，
∵，，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF；
（2）∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C=30°，
∴∠EDB=∠FDC=60°，∴∠EDF=60°，
∵DE=DF，∴△是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质 ，全等三角形的判定与证明，等边三角形的判定等知识，熟知相关定理，并根据题意灵活应用是解题关键．
例2．（2023·成都市·八年级专题练习）如图，是等边三角形，是的中点，，且．求证：(1)；(2)是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据即可证明；（2）利用三角形全等证明，，利用直角三角形的斜边中线的性质即可证明即可．
【详解】（1）解：证明：是等边三角形，为边的中点，
，即，，
，，，
在和中，；
（2），，，
为边的中点，，，
，即是等边三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是先证明，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．
变式1．（2023春·上海普陀·七年级统考期末）如图，在中，，点D、E在边上（点D在点E的左侧），，，说明是等边三角形的理由．
解：因为（已知），所以（______）．
在和中，．
所以______（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）．
因为（______），
又因为（已知），
所以．即．
因为（已知），所以______．
所以是等边三角形（______）．
【答案】同一个三角形中，等角对等边，，三角形内角和定理，60，有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据等角对等边的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据三角形的内角和可得，推得，结合题意可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形．
【详解】∵（已知），
∴（同一个三角形中，等角对等边）．
在和中，∴．
∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）．
∵（三角形内角和定理），
又∵（已知），∴．即．
∵（已知），∴．
所以是等边三角形（有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，等边三角形的判定，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
变式2．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，中，，是中线，延长至E，使，若，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而求出，，因为在中，，即可证明是等边三角形．
【详解】∵中，，是中线，∴，，
∵，∴，∵，∴，
在中，，
∴，即，
∴，∴，
又，∴是等边三角形
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的性质的知识．解题的关键是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数．
考点8.等边三角形的性质与判定综合
例1．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
【答案】(1)(2)，见解析(3)3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），理由如下：，，
三角形为等边三角形，，
点E为的中点，，，，
，，
，，；
（2），理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，，，
，为等边三角形，，，
，，，
在和中，，，，；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，如图所示，同理可得，
∵，，∴，，
∵，则．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
变式1．（2023黑龙江八年级期中）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确．
【详解】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴(SAS)∴AD=BE，故①正确；
∵，∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，∴，故②正确；
∵，∴AM=BN，∴AD-AM=BE-BN即DM=EN故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD∴∠BOM=∠ACB=60°∴∠AOE=120°故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，
∵，∴CH=CF，∴平分，故⑤正确；故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．
变式2．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】(1)与始终相等(2)5(3)7
【分析】（1）证明即可；（2）根据，得到，即，求出即可；（3）作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，则，证明为等边三角形，即可求的值．
【详解】（1）解：由已知可得，，∴，
∵是等边三角形∴，，
∴，∴，∴与始终相等；
（2） 解：∵是等边三角形∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴；
（3）∵，∴平分，
作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，
∵，当点三点共线时，有最小值，∴，
∵，∴，，∴，
又，∴为等边三角形，∴，∴的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段，再由等边三角形的性质求解的长是解题的关键．
变式3．（2023·黑龙江佳木斯·校考三模）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；
(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
【答案】(1) (2)图②猜想：．图③猜想：，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）根据图象对图②③作出猜想即可；过点D作，交于点G，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可证明．
【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，∴与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴；
（2）图②猜想：．图③猜想：．
图③证明：过点D作，交于点G，如图．
∵是等边三角形，∴．
∵，∴，．
∴为等边三角形．∴．
∵为等边三角形，∴，．
∵，即，
∴．∴．∵，∴．
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东茂名·七年级校考期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角，进而即可求解．
【详解】解：∵一个三角形中两个内角分别是和，∴第三个角为，
根据等角对等边，可得这个三角形是等腰三角形，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，等腰三角形的判定，熟练掌握三角内角和定理是解题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：“过点A作的垂直平分线，垂足为D”；
淇淇：“作的高”
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】B
【分析】过一点可作已知直线的垂线，不能说作线段的垂直平分线；证明，即可判断．
【详解】嘉嘉不正确，理由如下：
过点A作的垂线，不一定过的中点，如果连接点A和中点D，则与不一定垂直．所以嘉嘉不正确，淇淇正确，理由如下：
∵，∴，
∵，，，
∴，∴，所以淇淇正确.故选：B.
【点睛】本题考查全等三角形的判定及等腰三角形的判定，解题的关键是充分利用文字中的提示．
3．（2022秋·山东泰安·八年级校考期中）a、b、c是的三边，且，那么的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据完全平方公式将已知等式进行因式分解，得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
即，∴，，，
∴，∴是等边三角形，故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题、等边三角形的判定；利用因式分解解决问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形
C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．三边相等的三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】根据等边三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：有一个角是的三角形是等边三角形是假命题，故A符合题意；
有两个角是的三角形是等边三角形是真命题，故B不符合题意；
三个角都相等的三角形是等边三角形是真命题，故C不符合题意；
三边相等的三角形是等边三角形是真命题，故D不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方法是解本题的关键．
理，即可解答．
5．（2022秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】如果为等腰三角形的腰，有两种可能，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；如果为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分情况进行讨论：
当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
符合条件的点一共4个．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形纸片：
①先对折使与重合，得到折痕；
②折叠纸片，使得点A落在的点H上，沿和剪下．
则判定为等边三角形的依据是（ ）
A．三边都相等的三角形是等边三角形 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得，再根据是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，，
由翻折变换得，，，是的垂直平分线， ，
，是等边三角形，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握正三角形的判定方法．
7．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，∴，故B选项正确，
∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：D．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在中，BD、CD分别平分、，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若，，则线段EF的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】由平行线的性质可求出，．根据角平分线的定义可得出，，从而得出，，进而得出，，最后即可求出的长．
【详解】解：∵，∴，．
∵和分别平分和，∴，，
∴，，∴，，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．能结合角平分线的定义和平行线的性质证明与是等腰三角形是解决此题的关键．
9．（2022·河南渑池·初二期末）如图，在钝角三角形中，为钝角，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点连结的延长线交于点.下列结论：垂直平分；平分；是等腰三角形；是等边三角形．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】依据作图可得CA=CD，BA=BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解析】由作图可得，CA=CD，BA=BD，∴CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD，故①正确；∴∠CAD=∠CDA，∠CEA=∠CED，∴∠ACE=∠DCE，即CE平分∠ACD，故②正确；
∵DB=AB，∴△ABD是等腰三角形，故③正确；
∵AD与AC不一定相等，∴△ACD不一定是等边三角形，故④错误；
综上，①②③正确，共3个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，在中，，，平分，且，的外角平分线交于点E，则的长是 ________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，,推得，根据等角对等边可得，根据角平分线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，即可求得．
【详解】∵平分，∴，
∵，∴，,
∴，∴，
∵是的角平分线，，∴，
∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2022年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
【答案】10°或100°
【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
在中，，，，
由作图可知：，，
；
由作图可知：，，
，，
．
综上所述：的度数是或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
13．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有_______个．
【答案】
【分析】观察坐标系，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：结合图形可知，若以点为圆心，以为半径画弧，与轴有个交点，但其中一个与点重合，故此时符合条件的点由个；
若以点为圆心，以为半径画弧，与轴有个交点，
线段的垂直平分线与轴有个交点；
∴符合条件的点有：（个）．故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，可以通过结合图形得出答案．理解和掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
14．（河北省保定市曲阳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形．其中正确的是________
【答案】①②③
【分析】根据题中条件求出图中所有角度，再对各结论逐一判断即可．
【详解】 AB＝AC，∠A＝36°，
故①正确；
又DE是AB的垂直平分线
∴△ABD是等腰三角形故③正确；
∵DB=DA
BD是∠ABC的平分线故②正确．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练应各性质．
15．（2022.江苏八年级期中）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
16．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______．
【答案】2
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中，，
∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，
∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=AC，
∵AC=4，∴ME=2，故答案为：2．
【点睛】本题综合考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．（2023·重庆八中八年级期末）如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时，_____________度．
【答案】40
【分析】连接BD，据折叠的性质可得，得 ，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨论得结果．
【详解】解：连接BD，如图，
由折叠可得，MB=MD，BN=DN，∴，
∵ ∴
∴
∵ ∴
∵是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①当NC=DC时，
又 ∴
整理得， 故此种情况不存在；
②当DN=DC时， ∴
解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此种情况须舍去；
③当DN=NC时，
∵∴
解得， ∴ 综上，的度数为 故答案为：
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分类讨论思想是解答此题的关键．
18．（湖南省岳阳市华容县2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．
【答案】①②③⑤
【分析】根据等边三角形的性质，证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；然后利用ASA证明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，则△PCQ为等边三角形，⑤正确；然后求出∠CPQ＝∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正确；根据∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知DC≠DP，则DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根据S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，进而可得OC平分∠AOE，③正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，
又∵AC＝BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CQ＝CP，∴△PCQ为等边三角形，⑤正确；
∴∠CPQ＝60°，∴∠CPQ＝∠ACP，∴PQ//AE，②正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，∴DC≠DP，∴DE≠DP，④错误；
连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，
∴×BE×CM＝×AD×CN，∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，③正确；故正确的有①②③⑤，故答案为：①②③⑤
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等角对等边，角平分线的性质等知识，熟练应用全等三角形的判定和性质是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，、两点在直线上（点在点的左侧）．若，，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】证明，进而得出，继而得出，即可得证．
【详解】证明：∵，∴，
在和中，∴，
∴，
∵，∴，∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可．
【详解】解：如图，以O为圆心，为半径作，与坐标轴有4个交点；以P为圆心，为半径作，与坐标轴有2个交点（点O除外）；作线段的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
观察图象可知，满足条件的点A有8个．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会把复杂作图拆解成基本作图，会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考内容．
21．（2023·广东珠海·统考二模）如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由；(2)请用另一种作法完成作图．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）分别求出，即可得到；
（2）可以作的垂直平分线或者的角平分线都可以．
【详解】（1）解理由如下：∵∴
由作图可知，∴
∴∴
∴∴
（2）如图所示
或
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定
理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
22．（江西省萍乡市2021-2022学年八年级下期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．
(1)判断△ABD与△DCE是否全等？并证明？(2)若BD＝4，CD＝7，求AE的长．
(3)若∠ADE＝30°，求∠2的度数．
【答案】(1)结论：△ABD≌△DCE．证明见解析(2)3(3)45°
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB=DC=5，CE=BD=3，求出AC=5，则AE可求出；
（3）由AB=AC=CD，推出∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，可得结论．
（1）解：结论：△ABD≌△DCE．理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABD≌△DCE，∴AB=DC=7，CE=BD=4，∵AC=AB，∴AC=7，∴AE=AB-EC=7-4=3；
（3）∵∠ADC=∠ADE+∠2=∠1+∠B，∠1=∠2，∴∠ADE=∠B=30°，∵AB=AC=CD，∴∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，∴∠2=∠ADC-∠ADE=45°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
23．（2023·江苏无锡·八年级校考期中）【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ．
【答案】理解：见解析图图①，图②；应用：（1）70°或106°或117或144°或148°；（2）42°或18°
【分析】理解：如图①，首先求出∠B的度数，然后其中一个等腰三角形底角一定为27°，得出另一个等腰三角形的底角度数，然后根据题意画出图形即可；
如图②，首先求出底角的度数，然后以∠A为底角，在以∠C为底角，最后根据题意画出图形即可；
应用：（1）分为6种情况讨论：①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”， ④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”， ⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【详解】(理解)如图①，如图②所示，
（应用）（1）①如图③当∠B＝24°，AD为“好线”，
则A C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°；
②如图④当∠B＝24°，AD为“好线”，
则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝144°；
③如图⑤当∠ABC＝24°时，BD为“好线”，
则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝148°，
④如图⑥，当∠B＝24°时，CD为“好线”，
则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，
⑤如图⑦，当∠B＝24°时，CD为“好线”，
则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°，
⑥如图⑧，当∠B＝24°时，AD为“好线”
则AB＝BD，AD＝CD，故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°，
上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°，
故答案为70°或106°或117或144°或148°；
（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1(a)，
∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；
②当AD＝AE时，如图1(b)，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，
∴x＝18，∴∠B＝18°．
③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x＝42°或18°．
【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．
24．（四川广元剑阁2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF．
（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，，∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，∴∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE=，∴CE=BF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
25．（2022 呼和浩特八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【思路点拨】（1）据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【答案】解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
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专题2.4 等腰三角形的判定定理
模块1：学习目标
1、经历等腰三角形判定定理的探索过程；
2、掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边；
3、会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
模块2：知识梳理
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2.等边三角形的判定定理：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
要点：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系；
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。
模块3：核心考点与典例
考点1. 网格图中的等腰三角形
例1．（2022山东菏泽八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023·云南红河·八年级统考期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形
例1．（2023秋·福建福州·八年级校考期末）如图，是的角平分线，交于点F，求证是等腰三角形．
变式1．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在中，点D在边的延长线上，平分，．求证：为等腰三角形．
变式2．（2022·吉林长春·八年级期中）如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的度数．
变式3．（2022·山东·八年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
考点3.根据等角对等边证明边相等
例1．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：；(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
变式1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，相交于点O，．求证．
变式2．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，，求证：．
证明：∵，
∴（ ），
（ ），
∵AD平分，
∴（角平分线的定义），
∴（ ），
∴（ ）．
变式3．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）如图，平分，点是上一点．
(1)尺规作图：过点作交于点；(2)在作出符合（1）的图形中，求证：．
考点4.根据等角对等边求边的长度
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
变式1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 __．
变式2．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，平分，交边于，，，则的长为______________．
变式3．（2023·吉林松原·二模）如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 ______ ．
考点5.等腰三角形的尺规作图
例1．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·河北邯郸·统考一模）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P；②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E；②连接，．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
变式2．（2023·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
变式3．（2023·陕西·校考模拟预测）在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
考点6.等边三角形的判定（概念）
例1．（2022·河南渑池·初二期末）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
变式1．（2022 浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
变式2．（2023·江苏·八年级假期作业）在下列结论中：（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形。其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列说法一定正确的是（ ）
A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形
B．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线
D．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形
考点7.等边三角形的判定（证明）
例1．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在△中，，，是边的中点，，，点为垂足． 求证：（1）；（2）△是等边三角形．
例2．（2023·成都市·八年级专题练习）如图，是等边三角形，是的中点，，且．求证：(1)；(2)是等边三角形．
变式1．（2023春·上海普陀·七年级统考期末）如图，在中，，点D、E在边上（点D在点E的左侧），，，说明是等边三角形的理由．
解：因为（已知），所以（______）．
在和中，．
所以______（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）．
因为（______），
又因为（已知），
所以．即．
因为（已知），所以______．
所以是等边三角形（______）．
变式2．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，中，，是中线，延长至E，使，若，求证：是等边三角形．
考点8.等边三角形的性质与判定综合
例1．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
变式1．（2023黑龙江八年级期中）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；(2)连接，求t为何值时，；
(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
变式3．（2023·黑龙江佳木斯·校考三模）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；
(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东茂名·七年级校考期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
2．（2023·浙江·八年级假期作业）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：“过点A作的垂直平分线，垂足为D”； 淇淇：“作的高”
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
3．（2022秋·山东泰安·八年级校考期中）a、b、c是的三边，且，那么的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．有两个角是的三角形是等边三角形
C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．三边相等的三角形是等边三角形
5．（2022秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形纸片：①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点A落在的点H上，沿和剪下．则判定为等边三角形的依据是（ ）
A．三边都相等的三角形是等边三角形 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．有两个角是60°的三角形是等边三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
7．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
8．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在中，BD、CD分别平分、，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若，，则线段EF的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（2022·河南渑池·初二期末）如图，在钝角三角形中，为钝角，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点连结的延长线交于点.下列结论：垂直平分；平分；是等腰三角形；是等边三角形．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，在中，，，平分，且，的外角平分线交于点E，则的长是 ________．
12．（2022年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
13．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有_______个．
14．（河北省保定市曲阳县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形．其中正确的是________
15．（2022.江苏八年级期中）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
16．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______．
17．（2023·重庆八中八年级期末）如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时，_____________度．
18．（湖南省岳阳市华容县2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，、两点在直线上（点在点的左侧）．若，，求证：是等边三角形．
20．（2022·山东潍坊·八年级统考期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）．
21．（2023·广东珠海·统考二模）如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由；(2)请用另一种作法完成作图．
22．（江西省萍乡市2021-2022学年八年级下期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．(1)判断△ABD与△DCE是否全等？并证明？(2)若BD＝4，CD＝7，求AE的长．(3)若∠ADE＝30°，求∠2的度数．
23．（2023·江苏无锡·八年级校考期中）【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 （按从小到大写）；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值 ．
24．（四川广元剑阁2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．
25．（2022 呼和浩特八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
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