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专题2.5 逆命题和逆定理
模块1：学习目标
1、了解逆命题、逆定理的概念；
2、会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题；
3、了解原命题成立，其逆命题不一定成立；
4、理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明。
模块2：知识梳理
1、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
注意：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
2、线段垂直平分线定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3、角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
模块3：核心考点与典例
考点1、命题的条件和结论
例1．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期中）把命题：对顶角相等．改写“如果那么”的形式为：___________________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
变式2．（2022·云南·普洱市七年级期中）“同位角相等”改写成“如果那么”的形式
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．
【详解】解：命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
考点2、写出命题的逆命题
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则，故选：D．
【点睛】本题主要考查了由原命题写出逆命题，掌握逆命题的题设与结论是原命题的结论与题设是解答本题的关键．
变式1．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．
【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形
【分析】根据逆命题的定义写出即可．
【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．
故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
变式2．（2022·全国·八年级阶段练习）请写出“等边三角形的各个内角都等于” 的逆命题：___________．
【答案】各个内角都等于的三角形是等边三角形
【分析】交换命题中的题设和结论即可．
【详解】解：“等边三角形的各个内角都等于” 的逆命题：各个内角都等于的三角形是等边三角形，故答案为：各个内角都等于的三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查了逆命题，熟知交换命题中的题设和结论得到的命题即为原命题的逆命题是解本题的关键．
变式3．（2022·广东·测试·九年级开学考试）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的______．
【答案】 结论和条件 逆命题
【分析】根据互逆命题的定义直接解答即可．
【详解】解：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题，故答案为：结论和条件；逆命题．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握互逆命题的定义是解答此题的关键．
考点3、判断互逆命题的真假
例1．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等
【答案】D
【分析】先写出命题的逆命题，然后进行判断即可；
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，此逆命题为假命题；
B、等边三角形是轴对称图形的逆命题为轴对称图形为等边三角形，此逆命题为假命题；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题为对应边相等的三角形全等，此逆命题为真命题．故选：D．
【点睛】本题考查逆命题的真假．根据命题正确的写出逆命题是解题的关键．
变式1．（2022·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
【答案】A
【分析】写出个命题的逆命题，再逐项判断即可求解．
【详解】解：A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确，符合题意；B、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
C、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
D、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，故此选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
变式2．（2023·广东·东莞九年级期中）下列命题的逆命题为假的有（ ）
A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形
C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆
【答案】A
【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【详解】解∶ A的逆命题是∶相等的角是对顶角，是假命题，故此选项符合题意；
B的逆命题是∶全等三角形的对应角相等，是真命题，故此选项不符合题意；
C的逆命题是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意；
D的逆命题是∶半径相等的圆是等圆，是真命题，故此选项不符合题意．故选∶A．
【点睛】此题主要考查了命题与定理以及写一个命题的逆命题的方法，分清命题的条件与结论正确写出逆命题是解题关键．
变式3．（2022·浙江·八年级专题练习）命题：“如果是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为______，这是一个______命题填“真”或“假”．
【答案】 如果是有理数，那么它是整数 假
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题：“如果是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果是有理数，那么它是整数”，这是一个假命题．故答案为：如果是有理数，那么它是整数；假．
【点睛】本题考查了命题的定义和互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．另外还涉及有理数的知识．
考点4、互逆定理
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．
变式1．（2022·吉林·八年级期中）下列说法，正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题
【答案】C
【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项
【详解】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误；
B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确；
D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了命题的相关概念及定理，熟练掌握和运用命题、逆命题及逆定理的相关概念是解决本题的关键．
变式2．（2022·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等
【答案】D
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．
【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．
考点5、垂直平分线定理的逆定理
例1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C选项错误，不合题意；
综上可知，选项D错误，不合题意；故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
变式1．（2023秋·八年级课时练习）如图，，，下列结论正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分
【答案】B
【分析】根据题意可得垂直平分，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，∴垂直平分，故B结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明垂直平分，则无法证明平分，故A、C、D结论错误，不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
变式2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点P在线段的垂直平分线上
D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．
【详解】解：A.若点P是线段的垂直平分线上的点，则，故该说法正确，不符合题意；
B.若，，则直线是线段的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；
C.若，则点P在线段的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；
D.若，则过点P的直线不一定是线段的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定方法，熟练掌握和运用线段垂直平分线的判定方法是解决本题的关键．
变式3．（2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知，用尺规在边上确定一点，使．下面四种作图中，正确的是（ ）
A．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
B．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
C．作的垂直平分线交于点，点为所求
D．作的垂直平分线交于点，点为所求
【答案】D
【分析】根据题意得到，，根据线段垂直平分线的判定，尺规作图即可判断；
【详解】解：，，
∴点在线段的垂直平分线上，故选D
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
考点6、写出一个定理的已知求证和证明
例1．（2022·上海·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________ ．
【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC.
【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．
【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；
求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期中）证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．求证：．证明见解析．
【分析】根据命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的性质定理得，，，结合角平分线的定义，得，由ASA即可得到结论．
【详解】已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．
求证：．
证明：△，
，，，
，分分别是和△的角平分线，
，，
在和△中
∵△．．
【点睛】本题考查真命题的证明，掌握命题证明的步骤和三角形全等的判定和性质定理，是解题关键．
变式2．（2022·福建·八年级期中）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
【答案】见解析
【分析】由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B=∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF．
【详解】已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
，∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．
考点7、定理与证明
例1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，，那么你能判断与的大小关系吗 小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗 与同伴进行交流．
【答案】∠B=∠E；小颖的结论不全面．
【分析】首先根据两直线平行同位角相等可得∠B＝∠DGC，∠E＝∠DGC，再利用等量代换可得∠B＝∠E；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【详解】解：∠ABC＝∠DEF，
理由：∵ABDE，∴∠B＝∠DGC，
∵BCEF，∴∠E＝∠DGC，∴∠B＝∠E；
她的想法不对，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
理由：∵ABDE，∴∠B＋∠DGB＝180°，
∵BCEF，∴∠E＝∠DGB，∴∠B＋∠E＝180°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．
变式1．（2022·山东乐陵·八年级期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由，来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：①；②；③AB∥DF；④．
【答案】选择②④可以证明AC∥DE，理由见解析
【分析】选择条件②用SSS证明△ABC≌△DFE得到∠ACB=∠DFE，即可证明；选择条件④用HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE得到∠ACB=∠DFE，即可证明．
【详解】解：由AC=DE，BE=FC无法证明，
选择条件②AB=DF进行证明，
∵BE=FC，∴BE+CE=FC+CE，∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ACB=∠DFE，∴；
选择条件④ ，
∵，∴三角形ABC和三角形DFE都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠ACB=∠DFE，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，∴，
∵，∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，∴，，
∵，∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC，∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC ．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
变式3．（2022秋·重庆·八年级专题练习）作图：已知直线，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．
(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；
（2）只需要证明△ACE≌△ADB得到AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，再证∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB＝60°，即∠CAB＝60°，即可证明△ABC为等边三角形．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为完成的图形；
已知：如图，已知直线l1∥l2∥l3，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC．
求证：△ABC为等边三角形．
（2）证明：由（1）得：
∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°，
∵l1∥l2∥l3，∴∠EAD＝∠CEA＝60°，∴∠AEC＝∠EDA，
在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴AC＝AB，∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB＝60°，
∴∠CAB＝60°，∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·青田县八年级阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
【答案】A
【分析】根据命题是判断事情的一个句子对，对各选项分析即可求解．
【详解】解：命题是能判断事情的一个句子，
B、 C、 D都没有判断事情，故B． C． D都不是命题，
A项对负数作出了判断，故A是命题．故选∶A
【点睛】本题考查命题的定义，命题是判断事情的一个句子，难度不大，熟记命题的定义是解题关键．
2．（2023·成都市·八年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题
C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题
【答案】B
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确；
C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误；
D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误．故选B．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键．
4．（2022·广东·佛山市八年级期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＝b，则 B．对顶角相等 C．若a＞b，则 D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、若a＝b，则的逆命题是：若，则a＝b．逆命题是假命题，不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角．逆命题是假命题，不符合题意；
C、若a＞b，则的逆命题是：若，则a＞b．逆命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行．逆命题是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5．（2023·浙江·八年级专题练习）下面关于定理的说法不正确的是（ ）
A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明
C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明
【答案】B
【分析】利用定理的定义和基本事实的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、基本事实和定理都是真命题，正确；
B、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，故错误；
C、基本事实和定理都可以作为推理论证的依据，正确；
D、基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明，正确，故选择B.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理，熟练掌握相关基本概念是解题的关键．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】解：到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
【答案】C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，是交换原命题的题设与结论．
8．（2023·浙江·八年级假期作业）下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．直角三角形的两个锐角互余 D．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
【答案】B
【分析】根据平行线的性质、直角的定义、直角三角形的定义、实数的立方的概念判断即可．
【详解】解：A.、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角，那么这两个角相等，不成立，符合题意；
C、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两角互余的三角形是直角三角形，成立，不符合题意；
D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，成立，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行线的性质、直角的定义、直角三角形的定义、实数的立方的概念是解题的关键．
9．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定
【答案】B
【分析】由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案．
【详解】解：∵BC=BD+AD=BD+CD，∴AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．故选：B．
【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键．
10．（2022·浙江绍兴·中考模拟）如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒
【答案】D
【详解】试题分析：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，
∴两车的速度为：（m/s）.
∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，
∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：（s），（s），（s）.
∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，
∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误；
∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵，，
∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确.
则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．故选D．
考点：推理与论证．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古·八年级期末）把下列命题改写成“如果，那么”的形式：同角的补角相等．改写成______．
【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等
【分析】根据命题的概念解答即可．
【详解】解：命题同角的补角相等写成“如果，那么的形式：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查的是命题的概念，解题的关键是掌握命题可以写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“如果，那么”是______命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是：____________________．
【答案】 假 如果，那么
【分析】根据逆命题的题设是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的题设解答．
【详解】解：“如果，那么”是假命题，
它的逆命题是：如果，那么，故答案为：假；如果，那么．
【点睛】本题主要考查命题与逆命题的关系，命题的真假判断，正确的命题叫真命题．
13．（2023·浙江·八年级假期作业）有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______．
【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【分析】根据学过的真命题解答即可．
【详解】两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题．
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．
14．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是_________．（只填写序号）
【答案】③⑤/⑤③
【分析】先判断原命题的真假，再写出原命题的逆命题，然后根据不等式的性质、绝对值的意义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质对个选项进行判断．
【详解】解：①若，则， ∵当时，，此时，所以此命题为假命题；它的逆命题为若，则，∵当时，此时，此时，∴所以此逆命题为假命题；②若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，∵当时，则或，∴此逆命题为假命题；
③等边三角形的三个内角都相等，此命题为真命题；它的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；
④底角相等的两个等腰三角形全等，∵底边不一定相等，∴此命题为假命题；它的逆命题为全等的两个等腰三角形的底角相等，此逆命题为真命题；
⑤直角三角形的两锐角互余，此命题为真命题；它的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题为真命题．故答案为：③⑤．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，以及逆命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期中）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理．定理：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是________________________________________________．它们是互逆定理吗？____________（填“是”或“不是”）．
【答案】 有两个角相等的三角形是等腰三角形 是
【分析】利用互逆定理的概念进行解答，根据题意得：一个定理的逆命题能被证明是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，从而利用等腰三角形的性质进行解答即可
【详解】由题意得：定理“等腰三角形两底角相等”的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，明显这个逆定理是真命题故答案是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是
【点睛】本题考查一个定理的逆命题，如果逆命题是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，重点是抓住等腰三角形的性质的解答
16．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______．
【答案】/8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．
【详解】解：∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，
∵PQ是BC边的垂直平分线，∴，，∴，
∵的周长是，∴，∴，
即，
∵，，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．
17．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．
【答案】④
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．
【详解】解：∵△ABO≌△ADO，∴，，
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，∴①AC⊥BD正确；
∵，∴是的垂直平分线，∴②CB=CD正确；
∵，∴③△ABC≌△ADC正确；
由已知条件不能判断④DA=DC．故答案为：④．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2023·浙江嵊州·七年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．
【答案】3
【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为1和5，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为2和4，即可得出答案．
【详解】解析：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，∴甲手中的数可能为2，3，4，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·八年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；(3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；(4)等边三角形有一个角是60°真命题
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
20．（2022·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．
【点睛】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
21．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
【答案】，证明过程见解析
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】求证：，
证明：如图，设直线与的交点为，
直线为线段的垂直平分线，
，，，
在与中，，∴（SAS），
．故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（2023·吉林·大安市八年级阶段练习）如图，AC是四边形ABCD的对角线，其中AB = CD，AD = CB．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求证：AB // CD；(3)E、F分别是CA、AC延长线上的点，且AE= AC= CF ，连接BE、ED、DF、FB，若△ABC的面积为2，则四边形BEDF的面积为
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12
【分析】对于（1），根据“SSS”证明即可；
对于（2），根据全等三角形的对应角相等，得出∠DCA =∠ BAC，再根据“内错角相等，两直线平行”得出答案；对于（3），先根据AE=AC=CF，得出，，再根据，即可求出答案．
（1）因为AB = CD，AD = CB，AC = CA， 所以△ABC≌△CDA．
（2）因为△ABC≌△CDA，所以∠DCA =∠ BAC，所以AB //CD．
（3）因为AE=AC=CF，所以，．
因为，所以，
所以．故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等，掌握等底同高的两个三角形的面积相等是解题的关键．
23．（2023·浙江宁波·八年级期末）请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考．
（1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的朝向．他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部朝下．他的结论对吗？
（2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？
（3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？若能，至少要经过几次这样的操作？若不能，请说明理由．
【答案】（1）正确（2）能（3）能，至少4次
【详解】试题分析：（1）根据3个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下，而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数，进而得出答案；
（2）根据4个奇数的和是偶数，所以翻动的总张数为偶数时，才能使4张牌的牌面都向下，而每次翻动2张，故翻动的总张数都是偶数，进而得出答案；
（3）可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，要想使4张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次，进而得出答案．
试题解析：（1）正确．
3个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下，
而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数，
所以无论他翻动多少次，都不能使3张牌画面都向下，故他的结论正确；
（2）能．
因为把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，最少两次即可做到将4张牌全部正面都朝下；
（3）能，至少4次．
理由：利用4个奇数的和是偶数，所以翻动的总张数为偶数时，才能使4张牌的牌面都向下；
而每次翻动3张，至少要经过4次这样的操作使4张扑克牌的正面都朝下．
点睛：此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，根据“奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数”进行解答即可．
24．（2023浙江八年级期中）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F．(1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明；
(2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？(3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？
【答案】(1)答案不唯一，如平分，证明见解析；(2)；(3)．
【分析】（1）添加平分，依据证明，可得即可得垂直于，从而可得结论；
（2）（3）方法同（1）证明即可得出结论．
【详解】（1）解：答案不唯一，如平分，
证明如下：∵平分，∴，
∵∴
又，∴，∴
∴垂直于，即；
（2），理由如下：
∵平分，∴，
∵∴
又，∴，∴
∴垂直于，即；
（3），理由如下：∵平分，∴，
∵∴
又，∴，∴
∴垂直于，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判断，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
25．（2022·广东·珠海市凤凰中学八年级期中）如图1所示，，点A是上一点且，点在线段上运动，，，垂足为A．
(1)如图1，若，，则_________．
(2)过点作，垂足为，如图2所示；①求证：；②求证：；
(3)其他条件不变，若点运动到线段的延长线上，如图3所示．请写出线段，，之间的数量关系式并证明．
【答案】(1)(2)①见解析；②见解析(3)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直的定义及图中角的关系求解即可；
（2）①根据垂直的定义及角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定证明即可；②结合图形得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）过点D作的延长线于点G，同（2）中方法类似，证明，，再由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：；
（2）证明：①∵，，∴，
∵，，∴，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
由①得，∴，∴；
（3），证明如下：如图所示：过点D作的延长线于点G，
∵，，∴，
∵，，∴，
∵，∴；∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
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专题2.5 逆命题和逆定理
模块1：学习目标
1、了解逆命题、逆定理的概念；
2、会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题；
3、了解原命题成立，其逆命题不一定成立；
4、理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明。
模块2：知识梳理
1、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
注意：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
2、线段垂直平分线定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
模块3：核心考点与典例
考点1、命题的条件和结论
例1．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期中）把命题：对顶角相等．改写“如果那么”的形式为：___________________．
变式2．（2022·云南·普洱市七年级期中）“同位角相等”改写成“如果那么”的形式
考点2、写出命题的逆命题
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
变式1．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．
变式2．（2022·全国·八年级阶段练习）请写出“等边三角形的各个内角都等于” 的逆命题：___________．
变式3．（2022·广东·测试·九年级开学考试）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的______．
考点3、判断互逆命题的真假
例1．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等
变式1．（2022·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
变式2．（2023·广东·东莞九年级期中）下列命题的逆命题为假的有（ ）
A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形
C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆
变式3．（2022·浙江·八年级专题练习）命题：“如果是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为______，这是一个______命题填“真”或“假”．
考点4、互逆定理
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
变式1．（2022·吉林·八年级期中）下列说法，正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题
变式2．（2022·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等
考点5、垂直平分线定理的逆定理
例1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，已知：，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）
证明：∵∴点A在线段BC的垂直平分线上①
∵∴点M在线段BC的垂直平分线上②
∴直线AM是线段BC的垂直平分线③
A．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．以上说法都不对
变式1．（2023秋·八年级课时练习）如图，，，下列结论正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分
变式2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点P在线段的垂直平分线上
D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线
变式3．（2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知，用尺规在边上确定一点，使．下面四种作图中，正确的是（ ）
A．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
B．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
C．作的垂直平分线交于点，点为所求
D．作的垂直平分线交于点，点为所求
考点6、写出一个定理的已知求证和证明
例1．（2022·上海·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________ ．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期中）证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示
已知：
求证：
证明：
变式2．（2022·福建·八年级期中）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
考点7、定理与证明
例1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，，那么你能判断与的大小关系吗 小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗 与同伴进行交流．
变式1．（2022·山东乐陵·八年级期中）如图所示，点B，E，C，F在同一条直线上，能否由，来证明AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．供选择的四个条件：①；②；③AB∥DF；④．
变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
变式3．（2022秋·重庆·八年级专题练习）作图：已知直线，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．
(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．
全卷共25题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·青田县八年级阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
2．（2023·成都市·八年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题
C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题
3．（2022·山东淄博·七年级期中）下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（2022·广东·佛山市八年级期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＝b，则 B．对顶角相等 C．若a＞b，则 D．两直线平行，同位角相等
5．（2023·浙江·八年级专题练习）下面关于定理的说法不正确的是（ ）
A．定理是真命题 B．定理的正确性不需要证明
C．定理可以作为推理论证的依据 D．定理的正确性需证明
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
8．（2023·浙江·八年级假期作业）下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．直角三角形的两个锐角互余 D．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
9．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的垂直平分线上 D．不能确定
10．（2022·浙江绍兴·中考模拟）如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（ ）
A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·内蒙古·八年级期末）把下列命题改写成“如果，那么”的形式：同角的补角相等．改写成______．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“如果，那么”是______命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是：____________________．
13．（2023·浙江·八年级假期作业）有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题：______．
14．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是_________．（只填写序号）
15．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期中）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理．定理：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______________________________________．它们是互逆定理吗？_________（填“是”或“不是”）．
16．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______．
17．（2023秋·吉林四平·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．
18．（2023·浙江嵊州·七年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·八年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
20．（2022·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
21．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
22．（2023·吉林·大安市八年级阶段练习）如图，AC是四边形ABCD的对角线，其中AB = CD，AD = CB．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求证：AB // CD；(3)E、F分别是CA、AC延长线上的点，且AE= AC= CF ，连接BE、ED、DF、FB，若△ABC的面积为2，则四边形BEDF的面积为
23．（2023·浙江宁波·八年级期末）请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考．
（1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的朝向．他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部朝下．他的结论对吗？
（2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？
（3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？若能，至少要经过几次这样的操作？若不能，请说明理由．
24．（2023浙江八年级期中）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F．(1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明；
(2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？(3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？
25．（2022·广东·珠海市凤凰中学八年级期中）如图1所示，，点A是上一点且，点在线段上运动，，，垂足为A．
(1)如图1，若，，则_________．
(2)过点作，垂足为，如图2所示；①求证：；②求证：；
(3)其他条件不变，若点运动到线段的延长线上，如图3所示．请写出线段，，之间的数量关系式并证明．
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