2.3 三角形的内切圆 课件 (共15张PPT)浙教版数学九年级下册

(共15张PPT)
2.3 三角形的内切圆
导入新知
这条美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们有着怎样的位置关系？
导入新知
从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
？
(1)当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系
(2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里
(3)如何确定这个圆的圆心和半径
相切
圆心在这个角的平分线上
三角形的两条角平分线的交点即为圆心，交点到一边的距离即是半径.
导入新知
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
B
C
D
M
I
N
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的
圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？
建议按下列步骤探索：
（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心和半径？
解：（1）圆与三角形的各边都相切．
（2）圆心在这个角的角平分线上．
（3）两个内角的角平分线交点为圆心，
以交点到三角形的任一边的距离为半径．
定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
性质：
内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角．
名称 确定方法 图形 性质
外心： 三角形外接圆的圆心
内心： 三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
O
A
B
C
O
A
B
C
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的
内切圆⊙O的半径．
解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5（cm）．
∴OD＝AD×tan30°＝1.5×＝（cm）．
答：△ABC的内切圆的半径为cm．
【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为
D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l．
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF（切线长定理）．
同理，BD＝BF，CD＝CE．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ (AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE)
＝ l．
如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的
半径为r，则S＝ lr．请说明理由．
解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，
切点分别为D，E，F．
连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
且OE＝OF＝OD＝r．
∵S＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA，
∴S＝ AB×OF＋ BC×OD＋ CA×OE
＝ r(AB＋BC＋CA)＝ lr．
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，则其
内切圆的半径为多少？若某直角三角形的两直角边分别是
5cm，12cm，求其内切圆的半径．
解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
若a＝5cm，b＝12cm，
则c＝＝13cm，
则r＝＝＝2（cm）．
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线
交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．
解：过O分别作AC，BC的垂线．
OE，OF，E，F为垂足，
易证四边形OECF为正方形，
设边长为x，即为⊙O的半径．
∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，
∴△AEO∽△ACD，
∴＝，解得x＝1.5．
E
F
B
C
D
F
E
A
O
1.如图，直角三角形的两直角边BC=5cm,AC=12cm 则其内切圆的半径为______,外接圆的半径为 .
2cm
6.5cm
课堂练习
2.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为(　　)
A．130° B．100° C．50° D．65°
A
课堂练习