浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆 课件 (共17张PPT)
文档属性
| 名称 | 浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆 课件 (共17张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 22:30:38 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
2.3 三角形的内切圆
学习目标
1. 通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；2. 通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；3. 类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一 步理解三角形内心和外心所具有的性质.
新知导入
李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
√
新知讲解
1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，
三角形叫做圆的外切三角形
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内心的性质：
（1）. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
A
B
C
D
M
I
N
新知讲解
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.
分析：设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD. 由内切圆的圆心的性质，可知AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线，得∠OAB＝∠OBA＝30°，解直角三角形可得结果.
新知讲解
解 如图 ， 设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠OAB＝∠OBA＝30°
∵OD⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴OD＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
新知讲解
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
分析：由切线长的性质可知AF=AE,BF=BD.CD=CE,推得AE=BC是周长的一半.
新知讲解
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆， E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
新知讲解
例3 已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E.求证：EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
分析：内切圆的圆心也叫三角形的内心，即三角形内角平分线的交点，由角平分线的性质，可得结果.
新知讲解
证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
新知讲解
注意
1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．
2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形.
巩固提升
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
B
分析：先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从而得出∠DOE.
巩固提升
2.如图， ⊙O是△ABC的内切圆，则点O 是 的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三角形平分线的交点
C. 三条中线的交点
D．三条高的交点
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B.
B
巩固提升
3.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
D
分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到2∠IBC=∠ABC，2∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
拓展提升
【分析】首先证明四边形CFOE是正方形，设⊙O的半径为r，根据平行证明△OED∽△ACD，列比例式代入即可求解
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
拓展提升
解：∵⊙O是Rt△ABC的内切囫，
∴OE 丄 BC，OF 丄 AC，
∴∠OFC=∠OEC=90°
∵∠ACB=90°,
∴四边形CFOE是矩形，
∵OE=OF,
∴矩形CFOE是正方形，
∴OF=EC，
拓展提升
设⊙O的半径为 r，则 DE=CD-CE=2-r，OE=r，
∵OE//AC,
∴△OED∽△ACD,
∴r=1.5,
故选B
2.3 三角形的内切圆
学习目标
1. 通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；2. 通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；3. 类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一 步理解三角形内心和外心所具有的性质.
新知导入
李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
√
新知讲解
1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，
三角形叫做圆的外切三角形
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内心的性质：
（1）. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
A
B
C
D
M
I
N
新知讲解
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.
分析：设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD. 由内切圆的圆心的性质，可知AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线，得∠OAB＝∠OBA＝30°，解直角三角形可得结果.
新知讲解
解 如图 ， 设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠OAB＝∠OBA＝30°
∵OD⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴OD＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
新知讲解
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
分析：由切线长的性质可知AF=AE,BF=BD.CD=CE,推得AE=BC是周长的一半.
新知讲解
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆， E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
新知讲解
例3 已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E.求证：EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
分析：内切圆的圆心也叫三角形的内心，即三角形内角平分线的交点，由角平分线的性质，可得结果.
新知讲解
证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
新知讲解
注意
1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．
2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形.
巩固提升
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
B
分析：先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从而得出∠DOE.
巩固提升
2.如图， ⊙O是△ABC的内切圆，则点O 是 的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三角形平分线的交点
C. 三条中线的交点
D．三条高的交点
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B.
B
巩固提升
3.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
D
分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到2∠IBC=∠ABC，2∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
拓展提升
【分析】首先证明四边形CFOE是正方形，设⊙O的半径为r，根据平行证明△OED∽△ACD，列比例式代入即可求解
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
拓展提升
解：∵⊙O是Rt△ABC的内切囫，
∴OE 丄 BC，OF 丄 AC，
∴∠OFC=∠OEC=90°
∵∠ACB=90°,
∴四边形CFOE是矩形，
∵OE=OF,
∴矩形CFOE是正方形，
∴OF=EC，
拓展提升
设⊙O的半径为 r，则 DE=CD-CE=2-r，OE=r，
∵OE//AC,
∴△OED∽△ACD,
∴r=1.5,
故选B