第1章 二次函数单元测试题（含解析）
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浙教版2023年九年级上册 第1章 二次函数 同步检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下关于自变量x的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k≠0） B．y＝kx（k≠0）
C．y＝（k≠0） D．y＝ax2+bx+c（a≠0）
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝x2﹣m与一次函数y＝﹣x+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C． D．
7．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
8．小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3.25＜x＜3.26 B．3.24＜x＜3.25
C．3.23＜x＜3.24 D．3＜x＜3.23
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24m B．20m C．18m D．16m
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 ．
13．二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h＝9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ ）．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
18．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
19．（8分）如图抛物线y＝x +bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件：当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（9分）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，作直线AC．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是x轴正半轴上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
浙教版2023年九年级上册 第1章 二次函数 同步检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下关于自变量x的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k≠0） B．y＝kx（k≠0）
C．y＝（k≠0） D．y＝ax2+bx+c（a≠0）
【分析】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
【解答】解：A、该函数一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式y＝﹣x2﹣3，
故选：B．
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝x2﹣m与一次函数y＝﹣x+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线中a＝1＞0，抛物线开口向上，排除A；再根据当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，排除B和D．
【解答】解：∵抛物线中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故A不合题意；
当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，故B和D不合题意，C符合题意；
故选：C．
6．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C． D．
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，
∴y1＝（m﹣1）2，
y2＝m2，
∵y1＜y2，
∴（m﹣1）2＜m2，
∴（m﹣1）2﹣m2＜0，
即﹣2m+1＜0，
∴m＞，
故选：D．
7．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【分析】根据判别式Δ＞0，得出结论．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
8．小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3.25＜x＜3.26 B．3.24＜x＜3.25
C．3.23＜x＜3.24 D．3＜x＜3.23
【分析】由表格可发现ax2+bx+c的值在﹣0.03与0.03之间最接近0，再看对应的x的值即可．
【解答】解：由表格可发现ax2+bx+c的值在﹣0.02与0.03之间最接近0，
即抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点在函数值在﹣0.02与0.03之间，
∴ax2+bx+c＝0时，对应的x就是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴3.24＜x＜3.25．
故选：B．
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24m B．20m C．18m D．16m
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+12，然后根据题意可以得到点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可得到抛物线解析式，再将y＝9代入，即可得到相应的x的值，然后即可求得这两盏灯的水平距离EF的长．
【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，
由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），
∴0＝a×（﹣24）2+12，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+12，
当y＝9时，
9＝﹣x2+12，
解得x1＝12，x2＝﹣12，
∴点E（﹣12，9），点F（12，9），
∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；把x＝﹣1代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0．故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0．故①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0．故③错误；
根据抛物线的对称性知，当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ﹣ ．
【分析】根据二次函数的定义可得m2﹣1＝2及开口向下时m+1＜0即可解答．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案是：y＝（x﹣2）2+1．
13．二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得k≤1，
又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
故答案为：k≤1且k≠0．
14．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 x＜﹣1 ．
【分析】首先求出二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴x＝﹣1，然后再根据数的性质可得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：，
又∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜﹣1．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h＝9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 1s ．
【分析】知道小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式，令h＝4.9，解得t即可．
【解答】解：由题意知，
小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：
h＝9.8t﹣4.9t2．
令h＝4.9，
解得t＝1s，
故答案为：1s．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ 55， ）．
【分析】根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y＝x+1，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y＝x+1中，可求纵坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55，
∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
【分析】（1）Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣1）2≥0，即可求解；
（2）由y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2），所以当x＝0时，y＝4，当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，即可求得定点坐标．
【解答】（1）证明：令y＝0，即mx2﹣2（m+1）x+4＝0，
b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4m×4＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2）．
因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当x＝0时，y＝4，
当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，
所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）．
18．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
【分析】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m中求解m即可；
（2）先求得点B坐标，再将B、C坐标代入y＝ax2+b（a≠0）中求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m过顶点C，C（0，﹣3），
∴m＝﹣3；
（2）由m＝﹣3得直线解析式为y＝x﹣3，
当y＝0时，x＝3，则B（3，0），
将B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+b（a≠0）中，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
19．（8分）如图抛物线y＝x +bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝3×1时，
解得m＝1±2，
当m＝1+2＝3时，m2﹣2m﹣3＝0，
当m＝1﹣2＝﹣1时，m2﹣2m﹣3＝0，
综上，P点坐标为（3，0）或（﹣1，0）．
20．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件：当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝360，
解得：x1＝13，x2＝24（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y＝﹣5x+150；（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
21．（9分）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx中求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，则y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，再求出点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），则|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通过解方程m2+3m＝2和二次函数的性质得到m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，通过解方程m2+3m＝﹣2和二次函数的性质得到得m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1．
【解答】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x；
（2）∵点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴当m＝时，y1+y2有最小值，最小值为；
（3）∵抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），
∵点B的坐标为（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示点A′与点B的距离，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1，
综上所述．m的取值范围为m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，作直线AC．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是x轴正半轴上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可求点A、B、C的坐标；
（2）先求出△ABC的面积，可求△PAB的面积为1，从而可以求出P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出P的坐标；
（3）过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，先证明△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，再求出直线CD的函数解析式，令y＝0即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得：
﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得：
y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴点A、B、C的坐标分别为：A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．
（2）＝3，
∴＝1，
设点P的纵坐标为h，则有：
，
∴h＝±1，
当h＝1时，
﹣x2+4x﹣3＝1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，1），
当h＝﹣1时，
﹣x2+4x﹣3＝﹣1，
解得：，，
∴P（，﹣1）或（，﹣1），
∴点P的坐标为：（2，1）或（，﹣1）或（，﹣1）．
（3）如图，点Q在x轴正半轴上，且∠ACQ＝45°，
过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，CE＝DF，
∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF＝CE，EF＝OC＝3，
设DE＝AF＝n，
∵OA＝1，
∴CE＝DF＝OF＝n+1，
∵DF＝3﹣n，
∴n+1＝3﹣n，
解得n＝1，
∴DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝OF＝2，
∴D（2，﹣2），
设直线CD的函数解析式为y＝kx﹣3，
则有：2k﹣3＝﹣2，
解得：，
∴y＝﹣3，
由，得x＝6，
∴Q点的坐标为（6，0）．
浙教版2023年九年级上册 第1章 二次函数 同步检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下关于自变量x的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k≠0） B．y＝kx（k≠0）
C．y＝（k≠0） D．y＝ax2+bx+c（a≠0）
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝x2﹣m与一次函数y＝﹣x+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C． D．
7．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
8．小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3.25＜x＜3.26 B．3.24＜x＜3.25
C．3.23＜x＜3.24 D．3＜x＜3.23
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24m B．20m C．18m D．16m
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 ．
13．二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
14．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h＝9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ ）．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
18．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
19．（8分）如图抛物线y＝x +bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件：当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（9分）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，作直线AC．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是x轴正半轴上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
浙教版2023年九年级上册 第1章 二次函数 同步检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下关于自变量x的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k≠0） B．y＝kx（k≠0）
C．y＝（k≠0） D．y＝ax2+bx+c（a≠0）
【分析】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
【解答】解：A、该函数一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式y＝﹣x2﹣3，
故选：B．
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝x2﹣m与一次函数y＝﹣x+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线中a＝1＞0，抛物线开口向上，排除A；再根据当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，排除B和D．
【解答】解：∵抛物线中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故A不合题意；
当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，故B和D不合题意，C符合题意；
故选：C．
6．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C． D．
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，
∴y1＝（m﹣1）2，
y2＝m2，
∵y1＜y2，
∴（m﹣1）2＜m2，
∴（m﹣1）2﹣m2＜0，
即﹣2m+1＜0，
∴m＞，
故选：D．
7．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
【分析】根据判别式Δ＞0，得出结论．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，
∵c＞0，
∴9+8c＞0，
∴Δ＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
8．小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3.25＜x＜3.26 B．3.24＜x＜3.25
C．3.23＜x＜3.24 D．3＜x＜3.23
【分析】由表格可发现ax2+bx+c的值在﹣0.03与0.03之间最接近0，再看对应的x的值即可．
【解答】解：由表格可发现ax2+bx+c的值在﹣0.02与0.03之间最接近0，
即抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点在函数值在﹣0.02与0.03之间，
∴ax2+bx+c＝0时，对应的x就是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴3.24＜x＜3.25．
故选：B．
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24m B．20m C．18m D．16m
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+12，然后根据题意可以得到点A的坐标，然后代入抛物线解析式，即可得到抛物线解析式，再将y＝9代入，即可得到相应的x的值，然后即可求得这两盏灯的水平距离EF的长．
【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，
由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），
∴0＝a×（﹣24）2+12，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+12，
当y＝9时，
9＝﹣x2+12，
解得x1＝12，x2＝﹣12，
∴点E（﹣12，9），点F（12，9），
∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④3a+c＝0；其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；把x＝﹣1代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0．故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0．故①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0．故③错误；
根据抛物线的对称性知，当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ﹣ ．
【分析】根据二次函数的定义可得m2﹣1＝2及开口向下时m+1＜0即可解答．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案是：y＝（x﹣2）2+1．
13．二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得k≤1，
又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
故答案为：k≤1且k≠0．
14．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 x＜﹣1 ．
【分析】首先求出二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴x＝﹣1，然后再根据数的性质可得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：，
又∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜﹣1．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h＝9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 1s ．
【分析】知道小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式，令h＝4.9，解得t即可．
【解答】解：由题意知，
小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：
h＝9.8t﹣4.9t2．
令h＝4.9，
解得t＝1s，
故答案为：1s．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（ 55， ）．
【分析】根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y＝x+1，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y＝x+1中，可求纵坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55，
∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．（6分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
【分析】（1）Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣1）2≥0，即可求解；
（2）由y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2），所以当x＝0时，y＝4，当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，即可求得定点坐标．
【解答】（1）证明：令y＝0，即mx2﹣2（m+1）x+4＝0，
b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4m×4＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2）．
因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当x＝0时，y＝4，
当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，
所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）．
18．（6分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式．
【分析】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m中求解m即可；
（2）先求得点B坐标，再将B、C坐标代入y＝ax2+b（a≠0）中求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m过顶点C，C（0，﹣3），
∴m＝﹣3；
（2）由m＝﹣3得直线解析式为y＝x﹣3，
当y＝0时，x＝3，则B（3，0），
将B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+b（a≠0）中，得，解得，
∴抛物线的解析式为．
19．（8分）如图抛物线y＝x +bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝3×1时，
解得m＝1±2，
当m＝1+2＝3时，m2﹣2m﹣3＝0，
当m＝1﹣2＝﹣1时，m2﹣2m﹣3＝0，
综上，P点坐标为（3，0）或（﹣1，0）．
20．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件：当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝360，
解得：x1＝13，x2＝24（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y＝﹣5x+150；（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
21．（9分）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx中求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，则y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，再求出点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），则|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通过解方程m2+3m＝2和二次函数的性质得到m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，通过解方程m2+3m＝﹣2和二次函数的性质得到得m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1．
【解答】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x；
（2）∵点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴当m＝时，y1+y2有最小值，最小值为；
（3）∵抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），
∵点B的坐标为（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示点A′与点B的距离，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1，
综上所述．m的取值范围为m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，作直线AC．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是x轴正半轴上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可求点A、B、C的坐标；
（2）先求出△ABC的面积，可求△PAB的面积为1，从而可以求出P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出P的坐标；
（3）过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，先证明△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，再求出直线CD的函数解析式，令y＝0即可求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得：
﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得：
y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴点A、B、C的坐标分别为：A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．
（2）＝3，
∴＝1，
设点P的纵坐标为h，则有：
，
∴h＝±1，
当h＝1时，
﹣x2+4x﹣3＝1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，1），
当h＝﹣1时，
﹣x2+4x﹣3＝﹣1，
解得：，，
∴P（，﹣1）或（，﹣1），
∴点P的坐标为：（2，1）或（，﹣1）或（，﹣1）．
（3）如图，点Q在x轴正半轴上，且∠ACQ＝45°，
过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，CE＝DF，
∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF＝CE，EF＝OC＝3，
设DE＝AF＝n，
∵OA＝1，
∴CE＝DF＝OF＝n+1，
∵DF＝3﹣n，
∴n+1＝3﹣n，
解得n＝1，
∴DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝OF＝2，
∴D（2，﹣2），
设直线CD的函数解析式为y＝kx﹣3，
则有：2k﹣3＝﹣2，
解得：，
∴y＝﹣3，
由，得x＝6，
∴Q点的坐标为（6，0）．
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