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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.6直角三角形（1）
【知识重点】
1、定义
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
2、性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质.
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【经典例题】
【例1】直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【解析】∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【例2】如图，AB⊥BD，DE⊥BD，垂足分别为B、D，如果∠A=25°，BC=CD，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．∠E=25° B．∠ABC=90° C．∠ACB=25° D．∠CDE=90°
【答案】C
【解析】∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，故B、D不符合题意，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠A=25°，故A不符合题意，
∵∠ACB=90°-∠A=65°，故C符合题意，
故答案为：C．
【例3】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【例4】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD、CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是（ ）
A．AD =AB B．S△CEB = S△ACE
C．AC、BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
【答案】D
【解析】∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CE是△ABC的中线，
∴AE=CE=BE，
∴AC、BC的垂直平分线都经过E，故选项C正确；
∴△AEC为等边三角形，∵CD⊥AB，∴AD=DE=AE=AB，故选项A正确；
∵CE是△ABC的中线，∴S△CEB = S△ACE，故选项正确；
图中等腰三角形有△AEC和△BCE，故选项D错误.
故答案为：D.
【例5】已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
【答案】5
【解析】∵ 直角三角形斜边上的中线是2.5cm ，
∴该直角三角形斜边的长为5cm，
又∵该直角三角形斜边上的高是2cm，
∴该直角三角形的面积为： ×5×2=5cm2.
故答案为：5.
【例6】如图，已知，且为的中点，连结，，当，则的度数为 .
【答案】16°
【解析】设 ，
，
，
，且 为 的中点，
∴DE=BE，CE=AE ， ，
， ，
，
，
，
，
，
的度数为16°.
故答案为：16°.
【例7】如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
【答案】证明：∵CD、BE分别是△ABC的高，
∴△BDC和△BEC均为直角三角形，
又∵M、N分别是线段BC、DE的中点，
∴DM=BC，EM=BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE.
【例8】已知：如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 .求证： .
【答案】证明：∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.
∴∠A=∠FCD=45°，
在△ADE和△CFD中， ，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF.
【基础训练】
1．在三角形ABC中，，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E.若，求（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【解析】∵DE垂直平分斜边AB
∴AE=BE，即ABE为等腰三角形
∴EAB=B
∵CAB=B+30°
∴CAE=CAB-B=30°
∴EAB=B=30°
在AEB中
AEB=180°-（EAB+B）=120°
故答案为：A.
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=AB.
∵∠A=20°，
∴∠ACD=∠A=20°.
故答案为：B.
3．如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取∠2，
∵∠2=90°-45°=45°，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：B.
4．如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图，连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
∵EF=EC，
∴EF=EC=AE=AC=4.
故答案为：B.
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC＝ °．
【答案】70
【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝35°，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°.
故答案为：70.
6．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 ， ，则它的面积是 .
【答案】48
【解析】∵直角三角形斜边上的中线长是
∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm
∵直角三角形斜边上的高是6cm
∴该直角三角形的面积为：
×16×6=48cm2
故答案为：48.
7．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 .
【答案】14
【解析】∵△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴∠ADC=90°，CD=BD=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△ADC的中线，
∴DE=CE=AC=5
∴△CDE的周长为CE+DE+CD=5+5+4=14.
故答案为：14.
8．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为 .
【答案】45°或30°
【解析】①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”= ×90°=45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
所以，“特征角”是30°，
综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°.
故答案为：45°或30°.
9．如图，在中，，，垂足为D，平分.已知，，求的度数.
【答案】解：
平分
10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠C、∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝60°
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－80°－60°＝40°
∵AD⊥BC
∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°
11．如图，在 中， ， ，AD平分 ， 交直线BC的延长线于点E，求 的度数.
【答案】解：∵在 中，∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°－85°－35°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝ ＝30°，
∴在 中，∠ACB＝85°，∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝180°－85°－30°＝65°，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 中，∠ADC＝65°，
∴∠E＝90°－65°＝25°.
12．如图，△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：BD=2AC；
（2）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？
【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∴BD＝2AC；
（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，
由勾股定理得，AB＝12，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．
【培优训练】
13．如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，不能推出的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A和B、如图所示，为斜边的垂直平分线，
∴，．
A项、B项不符合题意．
C、∵点为斜边上的中点，
∴．
C项不符合题意．
D、∵在中，为斜边，
∴．
∴．
D项符合题意．
故答案为：D．
14．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】∵， 点是的中点，，
∴BD=2CP=8，
∵，，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∵平分，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=8，
故答案为：B.
15．如图，在一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（ ）
A．3α＋2β＝600° B．3α－2β＝90°
C．2α－β＝90° D．2α＋β＝360°
【答案】C
【解析】∵△ABC是含45°的三角板，∠ABC= 90°，BA = BC，
∵BE⊥AC，
∴AE = СЕ，
∵∠ADC=90°，
∴AE=EС=ED，
∴∠ ECD =∠EDC，∠EAF=∠ADE，
∵∠BFD=α=∠EAF+ ∠AEF=∠EAF+ 90°，
∴∠EAF=α-90 °，
∴∠BED=β=∠BEC+∠CED
= 90°+ 2∠EAF
= 90°+2（α- 90°）
= 2α– 90°，
∴2α- β= 90°，
故答案为：C．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】D
【解析】过点E作EH⊥CD于点H，
∵∠ACB=90°， 点D是斜边AB的中点
∴CD=AD=BD=2，
∴∠A=∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∴点F为BC的中点，
∴；
∵CE=DE
∴DH=CD=1=AC，
∴△EHD≌△ACB（ASA），
∴DE=BA=4，
∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.
故答案为：D.
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠B＝20°
∴∠ECB＝∠B＝20°，
∵AD＝BD，∠B＝20°，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，
∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°.
故答案为：D.
18．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为 ．
【答案】30°
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，
∵AD＝BE，
∴BD＝CE，
∵在△ACE和△CBD中
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF＝90°，
∴∠FAG＝90° 60°＝30°．
故答案为30°．
19．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，连接AC、BD.M是AC的中点，连接BM、DM.若AC＝10，则△BMD的面积为 .
【答案】
【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，M是AC的中点，AC＝10，
∴∠BAD＝45 ，BM=DM=AM=CM=AC=5，
∴∠MAB=∠MBA，∠MAD=∠MDA，
∵∠BMC=∠MAB+∠MBA=2∠MAB，∠DMC=∠MAD+∠MDA=2∠MAD，
∴∠BMC+∠DMC=2∠MAB+2∠MAD=2∠BAD＝90 ，
∴三角形BMD是等腰直角三角形，
∴△BMD的面积为=.
故答案为：.
20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE= 度．
【答案】75
【解析】∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴CO=BO=AO= AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，
∴AC=OC=CE，
∴∠COE=∠CEO= ×（180°-30°）=75°.
故答案为：75.
21．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B=40°，则∠EPF= ．
【答案】100°
【解析】∵CE⊥BA，∠B=40°，
∴∠C=50°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF=AC=PC，PE=AC=PC，
∴∠PFC=∠PCF，∠PEC=∠PCE，
∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠C=100°.
故答案为：100°.
22．小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E.
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F.
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.
【答案】证明：方法1：如图，∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD，
又∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴△BCD中，
∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；
方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠ABC=2∠CBE，
∴∠ABC=2∠ACD；
方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，
∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，
∴∠A=∠BCF，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∴∠ACF=2∠ACD，
又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ABC =∠ACF，
∴∠ABC =2∠ACD.
23．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
【解析】（3）解：；理由如下：
连接，，如图所示：
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴
，
∴
，
.
24．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.
（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系，并说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断.
【答案】（1）解：CF＝DF且CF⊥DF.
∵∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
又
∵∠BCE＝90°，点F是BE的中点，
∴CF＝DF＝BE＝BF，
∴∠EBC＝∠FCB，∠ABE＝∠BDF，
∴∠EFC＝∠EBC+∠FCB＝2∠EBC，∠DFE＝ABE+∠BDF＝2∠ABE，
∴∠CFD＝∠EFC+∠EFD＝2（∠EBC+∠ABE）＝2∠ABC，
又
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CFD＝90°，
∴CF＝DF且CF⊥DF.
（2）解：（1）中的结论仍然成立.理由如下：
如图：延长DF交BC于点G，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GBF，
∠EDF＝∠BGF，
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF，
∴△BFG≌△EFD（AAS），
∴DF＝GF，BG＝ED，
∵AD＝DE，
∴AD＝BG，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AD＝BC﹣GB，
∴DC＝GC，
∵∠ACB＝90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
又∵F是DG的中点，
∴CF⊥DF且CF＝DF.
【直击中考】
25．在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∵把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置
∴BD＝ED，∠B＝∠CED，
∴CD＝BD＝AD＝ED，
∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，
∴∠EDC＝180° ∠DCE ∠CED＝180° α α＝180° 2α，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠EDC＝180° 2α，
∵ED＝AD，
∴∠EAD＝∠AED＝180° 2α，
∵∠B＝α，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝90° α，
∴∠EAC＝∠EAD ∠CAD＝180° 2α （90° α）＝90° α.
故答案为：B.
26．如图，在 中， ， ，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
A．120° B．108° C．72° D．36°
【答案】B
【解析】∵在 中， ， ，
∴ ．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
27．如图，在Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 .
【答案】4
【解析】如图，
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，
∴CD AB，
∵CD＝2，
∴AB＝4，
故答案为4.
28．如图，在四边形 中， ，连接 ， ．若 ， ， ，则 ．
【答案】105
【解析】作 于 ， 于 ，如图所示：
则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ；
故答案为： .
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.6直角三角形（1）
【知识重点】
1、定义
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
2、性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质.
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【经典例题】
【例1】直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【例2】如图，AB⊥BD，DE⊥BD，垂足分别为B、D，如果∠A=25°，BC=CD，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．∠E=25° B．∠ABC=90° C．∠ACB=25° D．∠CDE=90°
【例3】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD、CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是（ ）
A．AD =AB B．S△CEB = S△ACE
C．AC、BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
【例5】已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm，斜边上的高是2cm，则这个直角三角形的面积是 cm2．
【例6】如图，已知，且为的中点，连结，，当，则的度数为 .
【例7】如图，△ABC中，CD、BE分别是高，M、N分别是线段BC、DE的中点．求证：MN⊥DE.
【例8】已知：如图，在 中， ， ，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且 .求证： .
【基础训练】
1．在三角形ABC中，，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E.若，求（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠ACD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC＝ °．
6．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 ， ，则它的面积是 .
7．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 .
8．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为 .
9．如图，在中，，，垂足为D，平分.已知，，求的度数.
10．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠C、∠DAE的度数．
11．如图，在 中， ， ，AD平分 ， 交直线BC的延长线于点E，求 的度数.
12．如图，△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：BD=2AC；
（2）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？
【培优训练】
13．如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，不能推出的结论是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
15．如图，在一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（ ）
A．3α＋2β＝600° B．3α－2β＝90°
C．2α－β＝90° D．2α＋β＝360°
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
18．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为 ．
19．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，连接AC、BD.M是AC的中点，连接BM、DM.若AC＝10，则△BMD的面积为 .
20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE= 度．
21．如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B=40°，则∠EPF= ．
22．小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E.
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F.
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.
23．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
24．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.
（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系，并说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断.
【直击中考】
25．在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在 中， ， ，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
A．120° B．108° C．72° D．36°
27．如图，在Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 .
28．如图，在四边形 中， ，连接 ， ．若 ， ， ，则 ．
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