中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.8直角三角形全等的判定
【知识重点】
1、直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2、角平分线的性质定理的逆定理
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
3、“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样适用.
【经典例题】
【例1】如图，于点E，于点F．交于点M，求证：．
【答案】证明：
即
于点E，于点F，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
在和中，
，
．
【例2】如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】过点E作EG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠BEG=∠CFE，
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC，
∴EG=CE，
在Rt△BCE和Rt△BGE中
∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL）
∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF=EG，
在Rt△ABC中
，
∴AG=AB-BG=5-1=4，
设CF=x，则AE=3-x，
在Rt△AEG中
AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2，
解之：，
∴.
故答案为：C
【例4】如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D
【例5】如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ．
【答案】6或10
【解析】 ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10.
【例6】如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为
【答案】46°
【解析】过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G，如图：
∵平分，，
∴，
∵
∴
∵，
∴平分
∵，
∴
∴
∵，
∴平分
∴
∴．
故答案为：46°.
【基础训练】
1．如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
【答案】A
【解析】在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
3．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
【答案】C
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
5．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④.
故答案为：C.
6．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
【答案】35
【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣55°＝35°.
故答案为：35.
7．如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
【答案】10
【解析】如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论 ．
【答案】BC＝BD
【解析】在Rt△ACB和Rt△ADB中， ，
∴△ACB≌△ADB（HL），
∴BC＝BD，
故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．
9．如图，已知平分，于点E，于点F，且．求证：．
【答案】证明：∵平分，于，于，
∴，
在和中，
，
∴．
10．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
【答案】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DEC=∠DFB=90°，
在△BDF与△CDE中，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴DF=DE，
在Rt△AFD与Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL） ，
∴∠FAD＝∠EAD，
∴AD平分∠BAC.
11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．
【答案】解：，
为等腰直角三角形，
，
又，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
平分．
12．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【培优训练】
13．如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
14．如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为( )
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴∠CFD=90°，
∵∠ABD=∠DBC，
∴DE=DF；
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL）
∴BE=BF；
在Rt△ABD中
；
∵
∴，在Rt△BDE中，
∴.
故答案为：D
15．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解析】过点F作FG⊥AB于点G ，
， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
设 ，则 ， ， ，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：B.
16．如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【答案】D
【解析】如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α.
故答案为：D.
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
【答案】
【解析】过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
18．如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
【答案】
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形.
梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝ （7﹣3）＝2，
∴AE＝DF＝ ，
∴BD＝ ，
故答案为： .
19．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
【答案】65
【解析】如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
20．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
【答案】
【解析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AE平分∠BAG交BC于点E，
∴BE＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AH＝AB＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EH＝CE，
在Rt△EHG与Rt△ECG中，
，
∴Rt△EHG≌Rt△ECG（HL），
∴GH＝CG＝ ，
∴AG＝AH+GH＝8+ ＝ ，
故答案为： .
21．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【解析】如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
22．已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
23．如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、.
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若平分，，求的周长.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
∴A在的垂直平分线上，
又，
∴D在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（2）解：如图，过D作于M，
，
又是等边三角形，
同理可得
平分，
平分，
在与中
同理可得
.
24．综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：
过点P作，，垂足分别为E，F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：过点P作，垂足分别为，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】（1）∵是的平分线，，，
∴，
故答案为：；
25．
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【解析】（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
， . ，
，
.
26．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．
（1）求证：；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵BD是的平分线，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵BD是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AB的长为10．
27．如图1，分别以的两边，为边作和，使得，，.
（1）求证：；
（2）过点分别作于点，作，
①如图2，连接，请判断的形状，并说明理由；
②如图3，若与相交于点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵在三角形和中，
，
∴，
∴.
（2）解：①证明：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在三角形和中，
，
，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②，理由如下：
设，交于点，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴.
在上截取，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴.
∵在三角形和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴.
【直击中考】
28．如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则 ．
【答案】5
【解析】过D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵CD=DE，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6.
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4.
设CD=DE=x，则AD=8-x，
∵AD2=DE2+AE2，
∴(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴AD=AC-CD=8-3=5.
故答案为：5.
29．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
【答案】45
【解析】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD=AD，
即∠ABC=∠BAD=45°．
故答案为：45．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.8直角三角形全等的判定
【知识重点】
1、直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2、角平分线的性质定理的逆定理
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
3、“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样适用.
【经典例题】
【例1】如图，于点E，于点F．交于点M，求证：．
【例2】如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是( )
A．1 B．2 C． D．
【例4】如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例5】如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ．
【例6】如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为
【基础训练】
1．如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
3．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
5．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
6．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
7．如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论 ．
9．如图，已知平分，于点E，于点F，且．求证：．
10．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．
12．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【培优训练】
13．如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
14．如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为( )
A． B．2 C．3 D．
15．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
16．如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（ ）
A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
18．如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
19．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
20．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
21．如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
22．已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
23．如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、.
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若平分，，求的周长.
24．综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
25．
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
26．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．
（1）求证：；
（2）若，，求AB的长．
27．如图1，分别以的两边，为边作和，使得，，.
（1）求证：；
（2）过点分别作于点，作，
①如图2，连接，请判断的形状，并说明理由；
②如图3，若与相交于点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明.
【直击中考】
28．如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则 ．
29．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
