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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.2等腰三角形
【知识重点】
一、定义
1、等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形，如图1为等腰三角形；
2、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图2为等边三角形，AB=BC=CA.
二、对称性
1、等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；
2、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
三、考点
等腰三角形的定义以及与等腰三角形有关的边角计算.
【经典例题】
【例1】在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
【答案】C
【解析】如图，设底边长为x，腰长为AB=AC=2a，
当a+x=12，2a+a=15时，a=5，x=7，三边为10，10，7，三角形存在，
故BC=7；
当a+x=15，2a+a=12时，a=4，x=11，三边为8，8，11，三角形存在，
故BC=11；
故答案为：C．
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形
【答案】B
【解析】A．如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故本选项符合题意；
C．等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称，故本选项不合题意；
D．一条线段是关于经过该线段中点且和线段垂直的直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；
故答案为：B．
【例3】底与腰不等的等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴．请你在图中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴．
【答案】一；三
【解析】等腰三角形的对称轴为等腰三角形底边的垂直平分线，
等边三角形三边的垂直平分线均为对称轴，如图：
．
【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
【答案】71°或19°
【解析】分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【基础训练】
1．下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D不符合题意
故答案选C.
2．若一个等腰三角形的两边长分别为2、3，则这个等腰三角形的周长为( )．
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
【答案】D
【解析】设这个等腰三角形的第三边边长为a
则，即
因此，由等腰三角形的定义可知，或
（1）当时
这个等腰三角形的周长为
（2）当时
这个等腰三角形的周长为
综上，这个等腰三角形的周长为7或8
故答案为：D．
3．等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【解析】若3为腰长，6为底边长，
∵，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长为：，故C符合题意．
故答案为：C．
4．等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【答案】B
【解析】∵ 等腰三角形的底角等于50°，
∴ 等腰三角形的顶角度数=180°-50°×2=80°.
故答案为：B.
5．已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（ ）
A．30° B．70° C．140° D．125°
【答案】B
【解析】（180-40）÷2
=140÷2
=70
故答案为：B.
6．等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
【答案】A
【解析】当这个等腰三角形的底角为80°时，底角为80°；
当这个等腰三角形的顶角为80°时，底角的度数为（180°-80°）=50°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为80°或50°.
故答案为：A
7．已知等腰，的相邻外角为，则这个三角形的顶角为 .
【答案】50或80
【解析】∵的相邻外角是，
∴，
当为顶角时，则顶角为，
当为底角时，则顶角为，
故答案为：50或80.
8．已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为 .
【答案】120°
【解析】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得：
x+x+4x=180
解得：x=30.
当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°.
故答案为120°.
9．在一个等腰三角形中，一条边是3a+2b，另一条边是2a-2，那么这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①当3a+2b为腰时，2a-2为底边
此三角形的周长是（3a+2b）+（3a+2b）+（2a-2）=；
②当2a-2为腰时，3a+2b为底边
此三角形的周长是（2a-2）+（2a-2）+（3a+2b）=
10．已知等腰△ABC的周长为20，求腰长的取值范围．
【答案】解：设等腰△ABC的腰长为x，则底边长为20﹣2x，依题意有
，
解得5＜x＜10．
故腰长的取值范围是5＜x＜10．
11．用一条长18cm的铁丝围成一个等腰三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，求x，y的值。
【答案】解：①当x=4时，y=18－8=10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；
②当y=4时，x=18－8=10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；
③当x=y时，x=y= ×14=7，符合题意，∴x=y=7．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分类讨论即可得到答案，根据题目给出的线段的长度，其可能为底也可能为腰，进行讨论即可得到答案。
12．在等腰中，，，，求m的值．
【答案】解：解：当时，得，因为，故此三角形不存在；
当时，得，
解得：，
综上，m的值为9．
【培优训练】
13．等腰中，，周长为，则的长为（ ）
A．15 B．12
C．15或12 D．以上都不正确
【答案】B
【解析】当时，，则；
当时，，但，故构不成三角形.
故答案为：B.
14．如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
15．若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为( )
A．11 B．13 C．16 D．11或16
【答案】C
【解析】∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
16．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
【答案】D
【解析】如图，是等边三角形，
，
，即，
.
故答案为：D.
17．如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
是等边三角形，
，
．
又，
．
故答案为：C
18．如图，△ABC 中，AB＝AC，△DEF 为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
为等边三角形
故答案为：B
19．等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
【答案】30或110
【解析】分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
20．若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高线与另一腰的夹角是 .（用的代数式表示）
【答案】90°-a或a-90°
【解析】顶角为a，则底角为.
当a为锐角时，腰上的高线与另一腰的夹角是： .
当a为钝角时，腰上的高线与另一腰的夹角是：90-(180-a)= .
当a为直角时，腰上的高线与另一腰的夹角是：0°，上式均满足此度数.
故答案为： 90°-a或a-90°.
21．等腰中，，平分，若，则 ．
【答案】100°
【解析】如图所示，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，
∴∠C＝2∠1，
∵∠2+∠C＝180°-∠BDC，且∠BDC＝120°，
∴3∠1＝60°，即∠1＝∠2＝20°，
又∵∠BDC＝∠A+∠1，
∴∠A＝∠BDC-∠1＝120°-20°＝100°．
故答案为：100°．
22．如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以 为高的等腰三角形
【答案】解：由题意得所作的满足条件的等腰△ABC如下：
23．图①、图②是 的正方形网格， 、 两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以 为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等.
图① 图②
【答案】解：如图，△ABC即为所求作三角形，
说明：由于后两个图中三角形全等，故不能同时画最后两个图.
24．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（ 1 ）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．
（ 2 ）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．
【答案】解：如图，
【直击中考】
25．如图， ， ， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，
∴∠DCA＝∠CAD＝65°，
∴∠2＝180° 65° 65°＝50°.
故答案为：A.
26．若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角的周长为（ ）
A．13 B．17 C．10 或 13 D．13 或 17
【答案】B
【解析】(1)若3为腰长，7为底边长，
由于3+3<7，则三角形不存在；
( 2 )若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为7+7+3=17.
故答案为：B.
27．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】15
【解析】当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.2等腰三角形
【知识重点】
一、定义
1、等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形，如图1为等腰三角形；
2、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图2为等边三角形，AB=BC=CA.
二、对称性
1、等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；
2、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
三、考点
等腰三角形的定义以及与等腰三角形有关的边角计算.
【经典例题】
【例1】在中，AB=AC，中线BD将的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形
【例3底与腰不等的等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴．请你在图中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴．
【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
【基础训练】
1．下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．若一个等腰三角形的两边长分别为2、3，则这个等腰三角形的周长为( )．
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
3．等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
4．等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
5．已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（ ）
A．30° B．70° C．140° D．125°
6．等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
7．已知等腰，的相邻外角为，则这个三角形的顶角为 .
8．已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为 .
9．在一个等腰三角形中，一条边是3a+2b，另一条边是2a-2，那么这个等腰三角形的周长是多少？
10．已知等腰△ABC的周长为20，求腰长的取值范围．
用一条长18cm的铁丝围成一个等腰三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，求x，y的值。
12．在等腰中，，，，求m的值．
【培优训练】
13．等腰中，，周长为，则的长为（ ）
A．15 B．12
C．15或12 D．以上都不正确
14．如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为( )
A．11 B．13 C．16 D．11或16
16．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220° B．180° C．270° D．240°
17．如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，△ABC 中，AB＝AC，△DEF 为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）
A． B． C． D．
19．等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
20．若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高线与另一腰的夹角是 .（用的代数式表示）
21．等腰中，，平分，若，则 ．
22．如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以 为高的等腰三角形
23．图①、图②是 的正方形网格， 、 两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以 为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等.
图① 图②
24．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（ 1 ）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．
（ 2 ）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．
【直击中考】
25．如图， ， ， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
26．若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角的周长为（ ）
A．13 B．17 C．10 或 13 D．13 或 17
27．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
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