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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.7探索勾股定理（1）
【知识重点】
1、勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则有.
2、勾股定理的应用：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，这三边之间的数量关系也体现了数形结合的思想.勾股定理有三种表达形式： =，=，=（其中a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长），其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边；
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边（列方程）；
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.
3、注意：勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边.不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.
【经典例题】
【例1】下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
【答案】C
【解析】A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；
C、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；
D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；
故答案为：C.
【例2】如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【解析】∵，AD是角平分线，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵点E为中点，
∴，
故答案为：A.
【例3】数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理.2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a和b，且；最长的那条边叫做斜边，边长为c）围成一个边长为c的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形．
（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴．
化简等号右边的式子可得∴ ．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
【答案】（1）a2+b2
（2）解：如图4，
∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，
大的正方形的面积又可以表示为c2+4×ab，
∴c2+2ab=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=c2．
【解析】（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×ab+（b-a）2，
∴c2=4×ab+（b-a）2．
化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2；
【例4】如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.
【答案】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，
在Rt△ABC中，，
即，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米.
【基础训练】
1．如图，在中，，，，则该三角形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5.
过A作AD⊥BC于点D，则BD=BC=4.
∵AB2=BD2+AD2，
∴52=42+AD2，
∴AD=3，
∴S△ABC=BC·AD=×8×3=14.
故答案为：A.
2．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（ ）
A．2， B．1， C．2，1 D．2，
【答案】C
【解析】设短直角边长为a，长直角边长为b，
∵大正方形的面积为5，
∴a2+b2=5.
∵小正方形和大正方形的面积分别是1和5，
∴4×ab=5-1=4，
联立可得a=2，b=1.
故答案为：C.
3．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 （ ）
A．13m B．17m C．18m D．25m
【答案】B
【解析】由勾股定理可得另一条直角边为：=12，
∴地毯长度=5+12=17；
故答案为：B.
4．一个直角三角形的两条边分别为a=，b=，那么这个直角三角形的面积是 （ ）
A． B．2 C．或 D．2或2
【答案】C
【解析】分两种情况：
当为斜边时，另一条直角边为：，
则S =；
当为直角边时，
则S =；
即这个直角三角形的面积是：或.
故答案为：C.
5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 ．
【答案】 海里
【解析】由题意得，∠APB=180°-60°-30°=90°，∠B=30°，PA=30海里，
∴AB=2PA=60海里，
在Rt△ABP中，由勾股定理得(海里).
故答案为： 海里.
6．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米．
【答案】8
【解析】如图，
由题意，得AB=3米，AC=4米，∠BAC=90°，
∴米，
∴ 树折断之前的高度为：AB+BC=3+5=8米.
故答案为：8.
7．在中，，则的长是 ．
【答案】
【解析】∵Rt△ABC中，BC=1，AC=3，∠B=90°，
∴AB=.
故答案为：.
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 .
【答案】5
【解析】∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴斜边长为.
∵大正方形的面积为13，
∴a2+b2=13.
∵(a+b)2=21，
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=8，
∴小正方形的面积=(a-b)2=a2+b2-2ab=13-8=5.
故答案为：5.
9．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是 ．
【答案】
【解析】由题意得AB=AD，
∵，
∴，
在△ADE中，由勾股定理得，
∴AB=6，
∴AC=3，
在△ABC中，由勾股定理得，
故答案为：
10．已知某开发区有一块四边形空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？
【答案】解：连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
而 ，
即 ，
，
，
．
所以需费用 （元）．
11．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】解： ， ， ，
，
，
又 ， ， ，
，
是直角三角形，
四边形 的面积为：
．
12．如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．
【答案】解：在 中， ， ， ，
由折叠性质可知，
， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【培优训练】
13．如图，等边内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】以点B为旋转中心把顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：B．
14．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF=AB；②△DEF始终为等腰直角三角形；③S四边形CEDF=AB2；④AE2+CE2=2DF2．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
【答案】A
【解析】如图所示，连接CD，
∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝AB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ADE＋∠EDC＝90°，
∵∠EDC＋∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，
∠A＝∠DCF，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，
∴AC AE＝BC CF，
∴CE＝BF．
∵AC＝AE＋CE，
∴AC＝AE＋BF．
∵AC2＋BC2＝AB2，AC＝BC，
∴AC＝
∴ AE+BF=AB ，故①正确；
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故②正确；
∵S四边形CEDF＝S△EDC＋S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△EDC＋S△ADE＝S△ABC，
又∵S△ABC＝AC2＝（AB）2=AB2
∴S四边形CEDF＝S△ABC＝×AB2＝AB2，故③正确；
∵CE2＋CF2＝EF2，DE2＋DF2＝EF2，
∴CE2＋AE2＝EF2＝DE2＋DF2，
又∵DE＝DF，
∴AE2＋CE2＝2DF2，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：A.
15．如图，中∠ACB是直角，分别以的三边向外作正方形，G为边EF的中点，若要求出图中阴影的面积，只需要知道线段（ ）
A．AB的长度 B．AC的长度 C．BC的长度 D．BG的长度
【答案】C
【解析】解法①代数法
如图，连结GC并延长交AB于点H，
设，，．易证
∴
∵G为EF的中点所以即
∴
∵，∴，∴，即
在中，
∴
在中由勾股定理可得
∴，
所以答案选C
解法②几何法如图连结AM，CD
由①得所以
易证
∵，
∴，
故答案为：C
16．如图，E，D分别在△ABC的边AC，BC上，AD⊥BE，垂足为点F，AF=3DF，BF=3EF，AE=2，BD=4，则AB=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设DF=m，EF=n，
∵AF=3DF，BF=3EF，∴AF=3m，BF=3n，
∵AD⊥BE，∴∠AFE=∠BFD=∠AFB=90°，∴AF2+EF2=AE2，BF2+DF2=BD2，
∵AE=2，BD=4，
∴（3m）2+n2=(2)2，（3n）2+m2=42，
∴9m2+n2=24，9n2+m2=16，
∴10m2+10n2=40，
∴m2+n2=4，
∴AB2=AF2+BF2=（3m）2+（3n）2=9（m2+n2）=9×4=36，
∵AB=6(负值已舍)，
故答案为：C．
17．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，若，，则的面积是 ．
【答案】6
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=9，∠A=90°.
由折叠可得∠EBD=∠CBD，
∵∠ADB=∠CBD，
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF.
设AF=x，则BF=DF=9-x.
∵AB2=BF2-AF2，
∴32=(9-x)2-x2
∴x=4，
∴AF=4，
∴S△ABF=AB·AF=×3×4=6.
故答案为：6.
18．如图，把形如的纸沿直线折叠，若直角边，斜边，则
（1）BC= ；
（2）不重叠部分（阴影部分所示的三个小三角形）的周长为 ．
【答案】（1）8
（2）24
【解析】 解：(1)在Rt△ABC中
∵AC=6，AB=10
∴根据勾股定理得：BC===8
(2)由折叠的性质可得：
AD'=AD、C'E=CE、AC=A'C'=A'F+FG+GC'
∴不重叠部分（阴影部分所示的三个小三角形）的周长为：
A'D+DF+AF+C'E+CG+EG+BF+FG+BG
=AB+BC+AC
=10+8+6
=24
故正确答案是： 第1空：8 ； 第2空：24
19．如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则 ．
【答案】
【解析】过点D作DH⊥AB于点H，DF⊥CA延长线于点F，连接BD，如图，
∵∠C=90°，DE⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE=DF，
∵AD平分∠BAF，
∴DH=DF=CE，
∵，，
∴BC=，
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE=BC=2，
∴DH=2，
∵DH=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴AF=AH，
设AF=a，则AH=AF=a，CF=DE=3+a，BH=5-a，
∵BD2=BE2+DE2，BD2=DH2+BH2，
∴BE2+DE2=DH2+BH2，
∴22+（3+a）2=22+（5-a）2，
解得a=1，即AF=1，
∴，
故答案为：.
20．如图，在中，，，，点在边上，，点关于直线的对称点为点，连接、，则的长为 ．
【答案】
【解析】 点B与点E关于直线 对称，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
解得： ，
即 ，
∴在 中， ，
故答案为： .
21．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
【答案】解：⑴将前面、右面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
⑵将前面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
⑶将左面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
所以最短路径长为 cm．
22．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
【答案】解：如图，
设旗杆高度为x米，则，，而，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17m．
23．
（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒，若点P在的平分线上，求此时t的值．
【答案】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：过A作 的角平分线交 于点P，过P作 交 于点D，
， ， ，
，
，
平分 ， ， ，
，
，
，
，
，
点走过的路径为 ，
24．综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．
【答案】（1）解：，且，
即，
则．
（2）解：，
设，依题意有
，
解得，．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，
由图得出，
∴，
∴，
∴．
25．有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形A1B1C1D1和正方形A2B2C2D2．
（1）正方形A1B1C1D1的边长为 ．
（2）请你用两种不同的方法表示正方形A2B2C2D2面积，并写出a2，b2，c2之间的数量关系．
（3）若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形A3B3C3D3．若正方形A1B1C1D1的面积为49，正方形A3B3C3D3的面积为289，求正方形A2B2C2D2的面积．
【答案】（1）b a
（2）解：正方形 A2B2C2D2面积为c2；
正方形 A2B2C2D2面积为4×ab+（b-a）2=a2＋b2；
∴c2=a2+b2.
∴ a2，b2，c2之间的数量关系为a2＋b2＝c2.
（3）解：∵正方形A3B3C3D3的边长为a+b，面积为289，
∴（a+b）2=289，
∴a+b=17（取正值）；
∵ 正方形A1B1C1D1的面积为49，
∴（b-a）2=49，
解之：b-a=7（取正值）
∴
解之：
∴ 正方形A2B2C2D2的面积为a2+b2=122+52=169.
【解析】（1）∵有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为a，b，c，且a＜b＜c，
∴A2A1=D1D2=a，A1D2=b，
∴A1D1=A1D2-D1D2=b-a.
∴正方形A1B1C1D1的边长为b-a.
故答案为：b-a.
26．阅读下列材料，并完成相应任务．
运用“双求法”证明勾股定理勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，是数学定理中证明方法最多的定理之一．勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”证明勾股定理的一种思路： 如图1，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中，，，．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F，容易得出，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的证明．
（1）任务一：请你根据上述材料中的思路证明勾股定理；
（2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题；
如图2，中，，CD是AB边上的高，若，，则 ．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵BC=AE=a，AC=DE=b，AB=AD=c，，
∴，且，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形；
∵，，，
∴，
∴四边形CFDE是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【解析】任务二：
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∵AC=12，BC=5，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴△ABC的面积表示为，
又∵在Rt△ABC中，
∴△ABC的面积表示为，
∴，即，
∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
故答案为：．
【直击中考】
27．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形.若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，，，
，，
，
，
故答案为：A.
28．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
在中，.
故答案为：D.
29．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
【答案】3
【解析】∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD.
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC.
∵AC=8，
∴AE=CE=4.
∵CE=4，CD=5，CE2+DE2=CD2，
∴DE==3.
故答案为：3.
30．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 。
【答案】
【解析】由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
31．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF.
证明： ∵正△ABC中，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，又∠2=∠3
∴∠ABD=∠BCE，
又∵∠1=∠2，
∴△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）△DEF是正三角形.
证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形.
（3）解：作AG⊥BD，交BD延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）
∴在Rt△ADG中，DG=b，AG=b.
∴在Rt△ABG中，c2=+，
∴c2=a2+ab+b2
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.7探索勾股定理（1）
【知识重点】
1、勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则有.
2、勾股定理的应用：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，这三边之间的数量关系也体现了数形结合的思想.勾股定理有三种表达形式： = ，= ，= （其中a、b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长），其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边；
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边（列方程）；
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.
3、注意：勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边.不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.
【经典例题】
【例1】下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
【例2】如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【例3】数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理.2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a和b，且；最长的那条边叫做斜边，边长为c）围成一个边长为c的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形．
（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴．
化简等号右边的式子可得∴ ．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
【例4】如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.
【基础训练】
1．如图，在中，，，，则该三角形的面积为( )
A． B． C． D．
2．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（ ）
A．2， B．1， C．2，1 D．2，
3．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是 （ ）
A．13m B．17m C．18m D．25m
4．一个直角三角形的两条边分别为a=，b=，那么这个直角三角形的面积是 （ ）
A． B．2 C．或 D．2或2
5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 ．
6．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米．
7．在中，，则的长是 ．
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 .
9．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是 ．
10．已知某开发区有一块四边形空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？
11．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
12．如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．
【培优训练】
13．如图，等边内有一点E， ，，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
14．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF=AB；②△DEF始终为等腰直角三角形；③S四边形CEDF=AB2；④AE2+CE2=2DF2．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
15．如图，中∠ACB是直角，分别以的三边向外作正方形，G为边EF的中点，若要求出图中阴影的面积，只需要知道线段（ ）
A．AB的长度 B．AC的长度 C．BC的长度 D．BG的长度
16．如图，E，D分别在△ABC的边AC，BC上，AD⊥BE，垂足为点F，AF=3DF，BF=3EF，AE=2，BD=4，则AB=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
17．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，若，，则的面积是 ．
18．如图，把形如的纸沿直线折叠，若直角边，斜边，则
（1）BC= ；
（2）不重叠部分（阴影部分所示的三个小三角形）的周长为 ．
19．如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则 ．
20．如图，在中，，，，点在边上，，点关于直线的对称点为点，连接、，则的长为 ．
21．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
22．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
23．
（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒，若点P在的平分线上，求此时t的值．
24．综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．
25．有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形A1B1C1D1和正方形A2B2C2D2．
（1）正方形A1B1C1D1的边长为 ．
（2）请你用两种不同的方法表示正方形A2B2C2D2面积，并写出a2，b2，c2之间的数量关系．
（3）若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形A3B3C3D3．若正方形A1B1C1D1的面积为49，正方形A3B3C3D3的面积为289，求正方形A2B2C2D2的面积．
26．阅读下列材料，并完成相应任务．
运用“双求法”证明勾股定理勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，是数学定理中证明方法最多的定理之一．勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”证明勾股定理的一种思路： 如图1，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中，，，．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F，容易得出，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的证明．
（1）任务一：请你根据上述材料中的思路证明勾股定理；
（2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题；
如图2，中，，CD是AB边上的高，若，，则 ．（直接写出答案）
【直击中考】
27．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形.若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
28．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
29．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若，，则DE= ．
30．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 。
31．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
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