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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.1图形的轴对称
【知识重点】
一、轴对称概念：
1、轴对称图形，如图1，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与D是对称点，B与C是对称点.轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.
2、轴对称，如图2，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与是对称点，B与是对称点，C与是对称点；轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的.轴对称是两个图形关于某直线对称.
二、轴对称的性质：
（1）关于某直线对称的两个图形是全等图形；
（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（3）对应线段相等，对应角相等；
（4）对应线段相交或其延长线相交交点一定在对称轴上.
三、轴对称的判定：
1. 如果两个图形的任何一对对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
四、轴对称作用：
1.可以通过对称轴的一边从而画出另一边；
2.可以通过画对称轴得出的两个图形全等.
【经典例题】
【例1】下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【例3】为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型.已知该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若AB＝30cm，AC＝22cm，则AD＝ cm.
【例4】如图，在中，点P为和垂直平分线的交点，点Q与点P关于对称，连接，，.若中有一个角是50°，则 度.
【例5】如图，△ABC是正方形网格上的格点三角形（顶点A、B、C在正方形网格的格点上）
⑴画出△ABC关于直线l的对称图形；
⑵画出以P为顶点且与△ABC全等的格点三角形．（规定：点P与点B对应）
【基础训练】
1． 2022年卡塔尔世界杯是自1930年以来举办的第22届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化.下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（ ）
A．全等 B．不一定全等
C．面积不一样大 D．周长不一样
4．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．两个全等三角形一定能关于基本条直线对称
D．角是关于它的平分线所在直线对称的图形
5．图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
6．如图，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，若∠1﹣∠2＝70°，则∠B的度数是 °．
7．如图，中，D是上一点，，，与关于对称，则的度数为 ．
8．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ．
9．在下图给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴．请你画出这个图案的右半部分，使它组成一个完整的图案．
10．在一平直的河岸同侧有两村，村位于河流/正南村位于村东南处，现要在河岸边建一水厂为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道长度.
【培优训练】
11．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与成轴对称.
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，和关于直线l对称，下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C．l垂直平分
D．直线BC和的交点不在直线l上
13．如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、若，则的大小为 度．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12平方厘米，BC的长是8cm，则AE+EF的最小值是 ．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝ °．
16．如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ．
17．如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
18．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形．
19．如图，在边长为单位1的正方形网格中有ABC.
（ 1 ）在图中画出ABC关于直线MN成轴对称的图形A1B1C1；
（ 2 ）求ABC的面积：
（ 3 ）在直线MN上有一点P使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置.
20．如图，所给方格图中每个小正方形的边长均为1.
（1）在图①中画出关于直线MN对称的；
（2）如图②，AC是直线MN同侧固定的两个点：
(i)请直接写出线段AC的长度；
(ii)请在直线MN上画一点B，使的值最小
21．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数.
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数.
22．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N.
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数.
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 .
【直击中考】
23．美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
24．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
25．如图①、图②、图③都是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A， ，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与 重合的线段 ，使 与 关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与 重合的线段 ，使 与 关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个 ，使 与 关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.1图形的轴对称
【知识重点】
一、轴对称概念：
1、轴对称图形，如图1，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与D是对称点，B与C是对称点.轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.
2、轴对称，如图2，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图1，A与是对称点，B与是对称点，C与是对称点；轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的.轴对称是两个图形关于某直线对称.
二、轴对称的性质：
（1）关于某直线对称的两个图形是全等图形；
（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（3）对应线段相等，对应角相等；
（4）对应线段相交或其延长线相交交点一定在对称轴上.
三、轴对称的判定：
1. 如果两个图形的任何一对对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
四、轴对称作用：
1.可以通过对称轴的一边从而画出另一边；
2.可以通过画对称轴得出的两个图形全等.
【经典例题】
【例1】下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、正三角形有3条对称轴，故此选项符合题意；
B、正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故此选项不符合题意；
D、正六边形有6条对称轴，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【例2】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【解析】如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形.
故答案为：C.
【例3】为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型.已知该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若AB＝30cm，AC＝22cm，则AD＝ cm.
【答案】30
【解析】因为该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若AB＝30cm，AC＝22cm，
所以AD＝AB＝30cm.
故答案为：30.
【例4】如图，在中，点P为和垂直平分线的交点，点Q与点P关于对称，连接，，.若中有一个角是50°，则 度.
【答案】50或65
【解析】连接AP、BP，如图：
∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，
∵点Q与点P关于AC对称，
∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，
∴∠CPQ＝∠CQP，
①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，
∴∠PCA＝40°，
∴∠PAC＝40°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，
∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，
∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，
②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，
∴∠PAC＝25°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，
∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，
∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，
综上所述，∠ABC为50°或65°.
故答案为：50或65.
【例5】如图，△ABC是正方形网格上的格点三角形（顶点A、B、C在正方形网格的格点上）
⑴画出△ABC关于直线l的对称图形；
⑵画出以P为顶点且与△ABC全等的格点三角形．（规定：点P与点B对应）
【答案】解：⑴如图所示，△A′B′C′即为所求；
⑵如图所示，△FPE即为与△ABC全等的格点三角形．
【基础训练】
1． 2022年卡塔尔世界杯是自1930年以来举办的第22届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化.下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D.
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、此图形是轴对称图形，故A符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A
3．已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（ ）
A．全等 B．不一定全等
C．面积不一样大 D．周长不一样
【答案】A
【解析】把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，由此可以得到：两个图形成轴对称，则这两个图形全等.
故答案为：A.
4．下列说法错误的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．轴对称图形至少有一条对称轴
C．两个全等三角形一定能关于基本条直线对称
D．角是关于它的平分线所在直线对称的图形
【答案】C
【解析】A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等，不符合题意；
B．轴对称图形至少有一条对称轴，不符合题意；
C．两个全等三角形不一定能关于一条直线对称，符合题意；
D．角是关于它的平分线所在直线对称的图形，不符合题意；
故答案为：C．
5．图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 ．
【答案】2个
【解析】图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形是标号“2”和“4”，共有2个，
故答案为：2个．
6．如图，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，若∠1﹣∠2＝70°，则∠B的度数是 °．
【答案】35
【解析】如图，
由折叠的性质得：∠F=∠B，
根据三角形的外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠2=∠3-∠F=∠3-∠B，
∴∠1-∠2=∠3+∠B-（∠3-∠B）=2∠B=70°，
则∠B=35°．
故答案为：35.
7．如图，中，D是上一点，，，与关于对称，则的度数为 ．
【答案】20°
【解析】∵，，
∴，
∴，，
∵与关于对称，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ．
【答案】50°
【解析】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠1=65°，
由折叠的性质得∠DEF=∠DEF=65°，
∴∠AEG=180°-2×65°=50°.
故答案为：50°.
9．在下图给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴．请你画出这个图案的右半部分，使它组成一个完整的图案．
【答案】解：根据轴对称图形的定义，画图如下（右边的实线部分）：
10．在一平直的河岸同侧有两村，村位于河流/正南村位于村东南处，现要在河岸边建一水厂为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道长度.
【答案】解：①第一个图中距离=
②第二个图中距离=
综上所述， 最短距离为千米.
【培优训练】
11．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与成轴对称.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.
故答案为：A.
12．如图，和关于直线l对称，下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C．l垂直平分
D．直线BC和的交点不在直线l上
【答案】D
【解析】A、因为和关于直线l对称，所以，故本选项正确，不符合题意；
B、因为和关于直线l对称，
所以
∴，故本选项正确，不符合题意；
C、因为和关于直线l对称，l垂直平分，故本选项正确，不符合题意；
D、因为和关于直线l对称，直线BC和的交点一定在直线l上，故本选项错误，符合题意；
故答案为：D.
13．如图，点是内一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、若，则的大小为 度．
【答案】80
【解析】连接PC、PM、PD、PN
点P关于直线OA的对称点为点C、关于直线OB的对称点为点D，
，，，
，
．
∵OC=OP，，OM=OM
∴△OCM≌△OPM，
∴∠OCM=∠OPM，同理∠ODN=∠OPN
．
故答案为：80．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12平方厘米，BC的长是8cm，则AE+EF的最小值是 ．
【答案】3
【解析】作E关于BD的对称点G，连接FG，过点A作AH⊥BC于H，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴G必在BC上，
∵E、G关于BD对称，
，
，
点到直线垂线段最短，
最小值为AH的长，
的面积是，BC的长是，
，
，
的最小值是.
故答案为：3.
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝ °．
【答案】（1）121
（2）118
【解析】（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣121°＝59°，
∴∠MAN＝∠C＝59°，
∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣59°＝121°，
故答案为121．
（2）如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则AM= A′M，AN= A″N，
∴AM+AN+MN= A′M+ A″N+MN≥A′A″，
即A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH，
∵∠DAB＝121°，
∴∠HAA′＝59°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，
∵AM= A′M，AN= A″N，
∴∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
∵∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．
故答案为：118．
16．如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ．
【答案】6
【解析】【解答】∵点关于，的对称点分别是，
∴，
∴的周长
故答案为：6．
17．如图，点P在四边形ABCD中，，，PA平分，设，，则与满足的数量关系是 .
【答案】
【解析】 连接BP，
∵PA平分∠BAD，
∴∠PAB＝∠PAD，
在△PAB和△PAD中，
AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，AP＝AP，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴∠ABP＝∠ADP，
在△ABP和△CBP中，
AB＝CB，PB＝PB ，PA＝PC，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠ABC＝2∠ABP，
∴α＝2β．
故答案为：α＝2β．
18．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形．
【答案】解：如图，
【解析】【分析】利用轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，按要求画出符合题意的轴对称图形.
19．如图，在边长为单位1的正方形网格中有ABC.
（ 1 ）在图中画出ABC关于直线MN成轴对称的图形A1B1C1；
（ 2 ）求ABC的面积：
（ 3 ）在直线MN上有一点P使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置.
【答案】（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）的面积；
（3）如图，点P即为所作.
20．如图，所给方格图中每个小正方形的边长均为1.
（1）在图①中画出关于直线MN对称的；
（2）如图②，AC是直线MN同侧固定的两个点：
(i)请直接写出线段AC的长度；
(ii)请在直线MN上画一点B，使的值最小
【答案】（1）解：根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点连线作图如图所示，
；
（2）解：（i）根据勾股定理可得， ；
（ii）如图所示，先找到C点对称点，连接与交于一点即为B点，
.
21．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数.
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数.
【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，
∴∠DAE＝∠BAC＝100°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EAF＝70°÷2＝35°
（2）解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，
又∵AE平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，
∵∠BFE+∠C＝81°，
∴∠D+∠DAC＝81°，
∴∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，
∵∠C＝∠E，
∴3∠EAF＝99°，
∴∠EAF＝33°.
22．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N.
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数.
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 .
【答案】（1）解：①120°
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α.
（2）4
【解析】（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°.
故答案为：120°.
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4.
故答案为：4.
【直击中考】
23．美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念可得：山属于轴对称图形.
故答案为：D.
24．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B.
25．如图①、图②、图③都是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A， ，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与 重合的线段 ，使 与 关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与 重合的线段 ，使 与 关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个 ，使 与 关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【答案】（1）解：如图①， 的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接 即为所求；
（2）解：如图②，同理（1）可得， 即为所求；
（3）解：如图③，同理（1）可得， 即为所求．
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