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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.7探索勾股定理（2）
【知识重点】
1、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形.
2、勾股定理的应用：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较短的平方和与较长边的平方作比较；若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形.
（2）定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，这时b为斜边.
（3）描述勾股定理的逆定理时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.
3、勾股数：
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中， a，b，c为正整数，则a，b，c为一组勾股数；
②记住常见的勾股数可以提高解题的速度，3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等；
③用含字母的代数式表示几组勾股数：
；(n≥2，n为正整数)；
(n为正整数)；
(m>n,m、n均为正整数).
【经典例题】
【例1】下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】一块三角形木板，测得，，，则三角形木板ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．65 D．45
【例3】已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为 .
【例4】如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为 .
【例5】在△ABC中，AB=5，BC=a，AC=b，如果a，b满足（a+5）(a-5)-b2=0，那么△ABC的形状是 ．
【例6】如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为 ．
【例7】如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC= .
【例8】如图，在中，，为的高，求的长.
【例9】已知某开发区有一块四边形空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？
【例10】如图所示，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
【基础训练】
1．下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
3．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
4．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
5．如图折叠直角三角形纸片，使直角边落在斜边上折痕为，点落到点处，已知，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
8．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则 ．
9．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
10．在中，D是BC上一点，AC=10，CD=6，AD=8，AB=17，求BC的长．
【培优训练】
11．如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
12．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 ，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．任意直角三角形
13．如图， 中， ， ， ， 是 边上的中线，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
14．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若 是 的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
15．如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
17．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为 .
18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点， 于点E， ， ， ， ，则四边形ABCD的面积为 .
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14 ；④AB＝ ；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝ AB，其中正确的有 .
20．如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：
21．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图1中确定一点D，连接，使与全等但不成轴对称；
（3）在图2中确定一点D，连接，使与成轴对称；
（4）在图3中边上找一个点D，使得它与点与点构成的三角形为等腰三角形．
22．已知，，为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形.
23．如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
【直击中考】
24．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
25．如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
26．一个三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的面积为
27．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD的面积为
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.7探索勾股定理（2）
【知识重点】
1、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形.
2、勾股定理的应用：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较短的平方和与较长边的平方作比较；若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形.
（2）定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，这时b为斜边.
（3）描述勾股定理的逆定理时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.
3、勾股数：
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中， a，b，c为正整数，则a，b，c为一组勾股数；
②记住常见的勾股数可以提高解题的速度，3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等；
③用含字母的代数式表示几组勾股数：
；(n≥2，n为正整数)；
(n为正整数)；
(m>n,m、n均为正整数).
【经典例题】
【例1】下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、32+42=52，故能组成直角三角形，不符合题意；
B、62+82=102，故能组成直角三角形，不符合题意；
C、32+52=34，72=49，34≠49，故不能组成直角三角形，符合题意；
D、52+122=132，故能组成直角三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【例2】一块三角形木板，测得，，，则三角形木板ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．65 D．45
【答案】B
【解析】∵AB=13，BC=5，AC=12，∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
∴S△ABC=AC·BC=×5×12=30.
故答案为：B.
【例3】已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为 .
【答案】
【解析】，，
，
为直角三角形，，
设，
是等腰三角形，
，
，
解得，，
故答案为：.
【例4】如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为 .
【答案】
【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，并连接BE，
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠BDE
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5，
∵AE＝4，AB＝3
∴△AEB 中，AE2＋AB2＝BE2
∴△AEB是直角三角形，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝32＋22＝13
∴.
∴BC=2BD=.
故答案为：.
【例5】在△ABC中，AB=5，BC=a，AC=b，如果a，b满足（a+5）(a-5)-b2=0，那么△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】∵ （a+5）(a-5)-b2=0 ，
∴a2-25-b2=0，即a2=25+b2，
又 在△ABC中，AB=5，BC=a，AC=b，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【例6】如图，有一块农家菜地的平面图，其中，则这块菜地的面积为 ．
【答案】
【解析】连接，
在中，，
根据勾股定理得：，
在中，，
，
为直角三角形，
∴这块菜地的面积为
．
故答案为∶24
【例7】如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC= .
【答案】
【解析】如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠ABC＝60°，BP＝BP′，AP′＝PC＝10，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P＋S△APP'=.
故答案为：.
【例8】如图，在中，，为的高，求的长.
【答案】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且
∵为的高，
∴，
∴.
【例9】已知某开发区有一块四边形空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？
【答案】解：连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
而 ，
即 ，
，
，
．
所以需费用 （元）．
【例10】如图所示，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
【答案】解：∵122+162=202，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，
设AD=xcm，则AB=AC=（x+12）cm，
∵∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴x2+162=(x+12)2，
解得：x=，
∴AB=AC=cm，
则△ABC的周长=++20=cm.
【基础训练】
1．下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．9，12，15 D．，，
【答案】C
【解析】A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；
C、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；
D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；
故答案为：C.
2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【解析】A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
3．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
【答案】C
【解析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
4．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
【答案】B
【解析】由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形.
故答案为：B.
5．如图折叠直角三角形纸片，使直角边落在斜边上折痕为，点落到点处，已知，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】，，，
由勾股定理逆定理得：．
由折叠的性质知，，，．
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：．
.
故答案为：C.
6．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由观察可知，A选项中的三角形是直角三角形；
B选项中的三角形三边长分别为，符合，
因此B选项中的三角形是直角三角形；
C选项中的三角形三边长分别为，不满足有两边的平方和等于第三边的平方，
因此C选项中的三角形不是直角三角形；
D选项中的三角形三边长分别为，符合，
因此D选项中的三角形是直角三角形；
故答案为：C．
7．如图，点D在内，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】∵在Rt△BDC中
，
∵，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴S阴影部分=.
故答案为：
8．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则 ．
【答案】45°
【解析】连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
9．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，
求证：△ACD是直角三角形.
【答案】证明：
∴△ACD是直角三角形.
10．在中，D是BC上一点，AC=10，CD=6，AD=8，AB=17，求BC的长．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【培优训练】
11．如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
【答案】D
【解析】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD,使BE=BD,连接AE.
又BA=BC,则⊿ABE≌ΔCBD(SAS),得:AE=CD=3;∠BDC=∠BEA.
∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°,则⊿DBE为等边三角形,得∠BED=60°,且DE=DB=4.
AE +DE =9+16=25=AD ,则∠AED=90°.
所以,∠BDC=∠BEA=150°.
故答案为：D.
12．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 ，则该三角形的形状是（ ）
A．任意等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．任意直角三角形
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵已知 的三边长为 ，
∴ ，
∴ =0，或 ，即 ，或 ，
∴ 的形状为等腰三角形或直角三角形，
故答案为：C.
13．如图， 中， ， ， ， 是 边上的中线，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°，
∵ 是 边上的中线，
∴BD= ，
∴ ．
故答案为：D
14．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若 是 的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题意可得：
∵
∴△ABC是直角三角形
又∵ 是 的高
∴ ，
，解得：
故答案为：D.
15．如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ，
，
，
△ABC为直角三角形，
∠ACB=90°，
， ，
∠GCF=180°-∠EFC=44°，
∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，
又 ，
，
∠CBD= ∠BCG= 46°，
故答案为：B.
16．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
17．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为 .
【答案】
【解析】，，，
，
∴∠ABC＝90°，
∵点D为AC的中点，
∴BD为AC边上的中线，
∴BD＝AC，
故答案为：.
18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点， 于点E， ， ， ， ，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】
【解析】连接BD，
∵点E为AB的中点， 于点E， ， ，
∴EB＝ AB＝3，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ，
故答案为： .
19．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝2，以下五个结论：①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14 ；④AB＝ ；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝ AB，其中正确的有 .
【答案】②④⑤
【解析】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，
∴△APC≌△AHB，∠HAP＝60°，
∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，
∴△AHP是等边三角形，
∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°，
∵HP2＝16，BH2＋BP2＝16，
∴HP2＝BH2＋BP2，
∴∠HBP＝90°，
∵HB= HP，
∴∠HPB＝30°，
∴∠BHP＝60°，∠APB＝∠HPB＋∠APH＝90°，
∴∠AHB＝∠AHP＋∠BHP＝120°＝∠APC，
∴∠BPC＝360° ∠APB ∠APC＝150°，
故①不符合题意，②符合题意，
∵∠APB＝90°，
∴AB＝ ，
∴S△ABC＝ ，
故③不合题意，④符合题意，
如图，
∵S△ABC＝ AB×PG＋ AC×PF＋ BC×PE＝7 ，
∴ × ×（PG＋PF＋PE）＝7
∴PG＋PF＋PE＝ = AB，
故⑤符合题意，
故答案为：②④⑤.
20．如图，边长为的正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：
【答案】解：设NC=a，
∵BN= BC，
∴BN=3a，BC=4a，
∵在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=DC=4a，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=2a，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2=（4a）2+（3a）2=25 ，
在Rt△ADM中，根据勾股定理，得AM2=（4a）2+（2a）2=20 ，
在Rt△NCM中，根据勾股定理，得MN2=（2a）2+ =5 ，
∴AN2=AM2+MN2，
∴∠AMN=90°，
∴AM⊥MN；
21．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图1中确定一点D，连接，使与全等但不成轴对称；
（3）在图2中确定一点D，连接，使与成轴对称；
（4）在图3中边上找一个点D，使得它与点与点构成的三角形为等腰三角形．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D，连接 BD、CD ，
根据勾股定理得 ， ，
， ，
∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，
∴ ，且△ABC与△DCB不是轴对称图形，
∴点D是所求点的位置；
（3）解：如图，作点A关于BC的对称点D，连接BD、CD ，
根据勾股定理得 ， ，
， ，
∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，
∴ ，且△ABC与△DCB是关于BC成轴对称的图形，
∴点D是所求点的位置；
（4）解：如图所示，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D'，连接 BD'、CD'、AD' ，交BC于点D ，则D即为所求．
根据勾股定理得 ， ， ，
∴AC=BD'，D'A=CB，又AB=BA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
∴AB=CD'，D'A=CB，又AC=CA，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴点D是所求点的位置．
【解析】（1）根据勾股定理：AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=52=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°；
故答案为：直角三角形；
22．已知，，为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形.
【答案】证明：证法1：将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，
即.
，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
23．如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
在和中，，
∴
（2）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且.
∴.
【直击中考】
24．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
25．如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC=2CE= ，
∵AB=2，AC=1，
∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A= = ，
∴∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．
26．一个三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的面积为
【答案】
【解析】∵三角形的三边长分别为
，
，
，
∴（
）2+（
）2=8=（
）2，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形的面积=
×
×
=
.
故答案为：
.
27．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正方形ABCD的面积为
【答案】
【解析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP=BM= ，∠PBM=90°，
∴PM= PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2 ，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2 +1，
∴AB2=AH2+BH2=（2 +1）2+12=14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
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