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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.5逆命题和逆定理
【知识重点】
1、逆命题：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题.
2、逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.此时，这两个定理叫互逆定理.
3、线段垂直平分线性质定理逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
4、说明：
(1)任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
(2)把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
(3)原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然.
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题
C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题
【答案】B
【解析】A、每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意；
B、每个命题都有逆命题，此说法正确，符合题意；
C、假命题也有逆命题，此选项说法错误，不符合题意；
D、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意
故答案为：B.
【例2】在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
【答案】A
【解析】A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确，符合题意；
B、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
C、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
D、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【例3】关于原命题“如果，那么”和它的逆命题“如果，那么”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题是真命题，逆命题是假命题
B．原命题、逆命题都是真命题
C．原命题是假命题，逆命题是真命题
D．原命题，逆命题都是假命题
【答案】A
【解析】如果，那么，所以原命题是真命题；
命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，不一定成立，是假命题；
故原命题是真命题，逆命题是假命题
故答案为：A．
【例4】命题“等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）．
【答案】等角对等边；真命题
【解析】 “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题．
故答案为：等角对等边，真命题．
【例5】命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是 .
【答案】如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【解析】因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”.
【例6】把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ；该命题是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假
【解析】命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等，
该命题是假命题，
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假.
【例7】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
（1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；
（2）是真命题；
（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，
求证：AB∥CD．
【例8】写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
逆命题： 。
已知： 。
求证： 。
证明：
【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线 ；△ABC是等腰三角形。；∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ADC和△ADB中， ， ∴△ADC≌△ADB（AAS）， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形.
【解析】【解答】逆命题：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形。
已知：如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线。
求证△ABC是等腰三角形。
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADC和△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【基础训练】
1．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】若 ，则 的逆命题是：若 ，则 ，如a=3，b=-3，满足a2=b2，但不满足a=b，故逆命题不正确，不符合题意；
若 ，则 的逆命题是：若 ，则 ，如a=-1，b=0，满足a2＞b2，但不满足a＞b，故逆命题不正确，不符合题意；
若 ，则 的逆命题是：若 ，则 ，如a=0，b=-1，满足a2＜b2，但不满足a＜b，故逆命题不正确，不符合题意；
若 ，则 的逆命题是：若 ，则 ，逆命题正确，符合题意.
故答案为：D.
2．下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；③等腰三角形的两个底角相等．其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①全等三角形的对应角相等，其逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，逆命题是假命题；
②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，逆命题是真命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题.
故答案为：C．
3．命题“锐角小于90°的逆命题是（ ）.
A．如果这个角是锐角，那么这个角小于90°
B．不是锐角的角不小于90°
C．不小于90 ° 的角不是锐角
D．小于90° 的角是锐角
【答案】D
【解析】 因为命题“锐角小于90的题设是锐角，结论是小于90°，所以该命题的的逆命题是 ： 小于90的角是锐角.
故答案为：D.
4．请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题： ．
【答案】如果同位角相等，那么两直线平行
【解析】原命题是：两直线平行，同位角相等．
改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．
∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，
故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．
5．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】【解答】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
6．命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是 ，此命题是 （选填“真“或“假”）命题.
【答案】如果a2＝b2，那么|a|＝|b|；真
【解析】根据题意得：命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的条件是如果|a|＝|b|，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么|a|＝|b|，该命题是真命题.
故答案为：如果a2＝b2，那么|a|＝|b|；真.
7．命题“线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点距离相等”的逆命题是 ．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【解析】由题意，得逆命题为
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
8．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
【答案】（1）解：“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； 是同一个命题，不是互逆命题；
（2）解：“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， 是互逆命题；
（3）解：“同位角相等，两直线平行” 的互逆命题是两直线平行，同位角相等，所以 “同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” 不是互逆命题.
9．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等．
【答案】（1）解：逆命题：同位角相等，两直线平行；
它是是真命题；
（2）解：逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．；
它是假命题
10．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．
（1）如果a>0，那么a 2 > 0 ；
（2）锐角与钝角之和等于平角；
（3）平行于同一条直线的两直线平行；
（4）两直线平行，同位角的角平分线也互相平行．
【答案】（1）解：根据一个正数的任何次幂是一个正数可知：如果 a>0，那么a2 > 0 ，
故此命题正确，是真命题；其逆命题是：如果a2 > 0 ，那么 a>0. 此逆命题是假命题，反例：取a=-1，则a2 > 0，但是a＜0；
（2）解：锐角与钝角之和等于平角，此原命题是假命题，反例：取∠1=50°，∠2=110°，则∠1是锐角，∠2是钝角，但是它们的和不是平角；此项原命题的逆命题是：如果两角之和是平角，那么这两角中一个是锐角，另一个是钝角，此逆命题是假命题，反例：取∠1=∠2=90°，则它们的和为平角，但是∠1与∠2种没有锐角和钝角；
（3）解：根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，是正确的，故此原命题是真命题；其逆命题是：如果两直线平行，那么这两条直线分别平行于第三条直线. 此逆命题正确，故其也是真命题；
（4）解：根据平行线的性质和判定定理可知 ：两直线平行，同位角的角平分线也互相平行 是正确的，故原命题是真命题；其逆命题为： 如果同位角的角平分线互相平行，那么这两条直线平行 ，也是正确的，故逆命题也是真命题.
【培优训练】
11．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ）
⑴全等三角形的对应边相等； ⑵对顶角相等；
⑶等角对等边； ⑷全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】（1）逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，符合题意；
（2）逆命题是：相等的角是对顶角，不符合题意；
（3）逆命题是：等边对等角，符合题意；
（4）逆命题是：面积相等，两三角形全等，不符合题意．
故答案为：B．
12．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
【答案】B
【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”.
故答案为：B.
13．下列说法中，正确的是
A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误.
故答案为：A.
14．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．两直线平行，内错角相等
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．若，则
【答案】D
【解析】A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为若，则，∵若，则，∴错误，是假命题，符合题意.
故答案为：D.
15．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．相等的两个角是对顶角
【答案】B
【解析】【解答】A选项的逆命题是“三个内角都等于的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；
B选项的逆命题是“如果两个三角形的对应角都相等，那么这两个三角形全等”，可知这两个三角形不一定全等，是假命题，所以符合题意；
C选项的逆命题是“如果两个三角形的对应边都相等，那么这两个三角形全等”，根据“”可知两个三角形全等，是真命题，所以符合题意；
D选项的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，所以不符合题意．
故答案为：B．
16．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到 的点，在这个角的平分线上．
【答案】角两边的距离相等
【解析】【解答】根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．
故答案为：角两边的距离相等
17．“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（真、假）
【答案】一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形；真
【解析】等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，这个逆命题是命题.
故答案为：一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，真.
18．
（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；
（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例.
【答案】（1）解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；是真命题
（2）解：已知:如图△ABC中AD⊥BC，BD=DC
求证:△ABC是等腰三角形
证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵BD=DC ，AD=AD
∴△ACP≌△BCE．
∴AB=AC即△ABC是等腰三角形
19．写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若r =a，则r叫a的平方根；
（4）如果a≥0，那么 =a．
【答案】（1）解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
（2）解：到角的两边的距离相等的点在角平分线上
（3）解：若r是a的平方根，那么r =a
（4）解：如果. =a，那么a≥0
【直击中考】
20．已知下列命题：
①若 ＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】∵当b＜0时，如果 ＞1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
21．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【解析】【解答】逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
22．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
【答案】“如果m是有理数，那么它是整数”
【解析】命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．
故答案为“如果m是有理数，那么它是整数”．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形
2.5逆命题和逆定理
【知识重点】
1、逆命题：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题.
2、逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.此时，这两个定理叫互逆定理.
3、线段垂直平分线性质定理逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
4、说明：
(1)任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
(2)把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
(3)原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然.
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题
C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题
【例2】在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
【例3】关于原命题“如果，那么”和它的逆命题“如果，那么”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题是真命题，逆命题是假命题
B．原命题、逆命题都是真命题
C．原命题是假命题，逆命题是真命题
D．原命题，逆命题都是假命题
【例4】命题“等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）．
【例5】命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是 .
【例6】把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ；该命题是 命题（填“真”或“假”）.
【例7】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
（1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
【例8】写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
逆命题： 。
已知： 。
求证： 。
证明：
【基础训练】
1．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；③等腰三角形的两个底角相等．其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．命题“锐角小于90°的逆命题是（ ）.
A．如果这个角是锐角，那么这个角小于90°
B．不是锐角的角不小于90°
C．不小于90 ° 的角不是锐角
D．小于90° 的角是锐角
4．请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题： ．
5．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ．
6．命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是 ，此命题是 （选填“真“或“假”）命题.
7．命题“线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点距离相等”的逆命题是 ．
8．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
9．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等．
10．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．
（1）如果a>0，那么a 2 > 0 ；
（2）锐角与钝角之和等于平角；
（3）平行于同一条直线的两直线平行；
（4）两直线平行，同位角的角平分线也互相平行．
【培优训练】
11．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ）
⑴全等三角形的对应边相等； ⑵对顶角相等；
⑶等角对等边； ⑷全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．“对顶角相等”的逆命题是（ ）
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
13．下列说法中，正确的是
A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
14．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．两直线平行，内错角相等
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．若，则
15．下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．相等的两个角是对顶角
16．角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到 的点，在这个角的平分线上．
17．“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（真、假）
18．
（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；
（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例.
19．写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若r =a，则r叫a的平方根；
（4）如果a≥0，那么 =a．
【直击中考】
20．已知下列命题：
①若 ＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
22．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
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