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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第2章特殊三角形（解析版）
2.4等腰三角形的判定定理
【知识重点】
1．等腰三角形的判定：
（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）等腰三角形的判定定理：有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）.
2．等边三角形的判定：
（1）定义：有三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
（4）推论：有两个角都是60°的三角形是等边三角形.
【经典例题】
【例1】如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形.
【答案】证明：平分，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形.
【例2】如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【例3】如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【答案】证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
【基础训练】
1．下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【解析】A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
2．一个角是 的等腰三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
【答案】B
【解析】∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
3．一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（ ）
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
【答案】A
【解析】A、一个角的平分线是对边的中线或高线，能判定该三角形是等腰三角形，不能判断该三角形是等边三角形；
B、两边相等，有一个内角是60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定该三角形是等边三角形；
C、两角相等，且两角的和是第三个角的2倍 ，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形；
D、三个内角都相等，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形.
故答案为：A.
4．如图， 中， ， ，BD平分 交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵BD平分 交AC于D，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：B．
5．在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【解析】∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
【答案】等边三角形
【解析】∵ ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是等边三角形.
故答案是：等边三角形.
7．将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【解析】根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．
8．在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．
【答案】4
【解析】如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F，AB = 18cm，AC = 12cm，则△AEF的周长为 ．
【答案】30cm
【解析】，
，，
又、分别是和的角平分线，
，，
，，
的周长
故答案为：30cm.
10．如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°，∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形.
11．如图，在中，，，垂足分别为点D，E，与相交于点F．若点F在的平分线上，判断的形状，并说明理由．
【答案】解：为等腰三角形．
∵，，点F在的平分线上，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
即
∴为等腰三角形
12．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
【答案】解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
13．已知：如图，点D在△ABC的外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O.∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD.求证：△ACE是等腰三角形.
证明：∵∠1＝∠3（ ），
∴∠1+∠CAD＝∠3+∠CAD，
即∠BAC＝∠_▲_.
∵∠1＝∠2，
∠▲_＝∠COD，
∴180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣∠2﹣∠COD，
即∠B＝∠D.
又∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（ ），
∴AC＝AE（ ），
∴△ACE是等腰三角形（ ）.
【答案】证明：∵∠1＝∠3（已知），
∴∠1+∠CAD＝∠3+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE.
∵∠1＝∠2，
∠AOB＝∠COD，
∴180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣∠2﹣∠COD，
即∠B＝∠D.
又∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE（全等三角形的对应边相等），
∴△ACE是等腰三角形（有两条边相等的三角形是等腰三角形）.
故答案为：已知；DAE；AOB；ASA；全等三角形的对应边相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形.
【培优训练】
14．如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
即，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，故③符合题意；
∴平分，故④符合题意；
故答案为：C．
15．如图，DE=11，FG=3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．
则BD+CE=（ ）
A．3 B．11 C．7 D．8
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EGC=∠BCG，
∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECG=∠BCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∴BD+CE=DF+GE=DE-FG=11-3=8.
故答案为：D.
16．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】如图，分是三种情况，
当AP=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1、P2，
当CA=CP时，以C为圆心， CA长为半径画圆，交直线l于点P3、 P4.
当PA=PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点(与AB的交点除外)与A B构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故答案为：C．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴CD=DF，EF=EC，
∴BD=CD=DF，
∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠FAE=∠AFE，
∴EF=AE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴图中所有的等腰三角形的个数为4．
故答案为：D．
18．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
【答案】15
【解析】∵于点D，，
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：15.
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF与AD相交于点G，与BE相交于点H．在下面给出的四个结论中，正确的是 (填序号)
①△ABE的面积等于△BCE的面积
②∠AFG=∠AGF
③∠FAG=2∠ACF
④BH=CH．
【答案】①②③
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴ △ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠ABC=∠DAC，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠DAB，
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，即 ∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能找出∠HBC=∠HCB，∴也就是推不出BH=CH，故④错误.
故答案为：①②③.
20．如图，垂直平分，垂足为D，，于E，交于F，，则的长为 ．
【答案】4
【解析】∵垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：4.
21．如图所示，点 是等边 内一点， ， ，以 为一边作等边三角形 ，连接 ．
（1）当 时， 的形状是 ；
（2）当 时， 是等腰三角形．
【答案】（1）直角三角形
（2）125°或110°或140°
【解析】（1）∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB ∠ACO＝∠DCO ∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝ ＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150° 60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）解：∵∠COB＝∠CDA＝ ，∠AOD＝190° α，∠ADO＝ 60°，∠OAD＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190° α＝ 60°，
∴ ＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴ 60°＝50°，
∴ ＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴190° α＝50°，
∴ ＝140°．
所以，当 为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．
故答案为：125°或110°或140°．
22．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 .
【答案】3cm
【解析】∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.
故答案为：3cm.
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
【答案】①②③④
【解析】∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ACB＝45°，∠ADC=90°，
∴△ADC为等腰直角三角形，∠BAD=30°，
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM＝30°，
又∵∠BAM＝30°
∴△AMB为等腰三角形.
由题意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°
∴△BNC为等腰三角形.
∠PMN＝∠MNP＝60°
∴△MNP为等边三角形，故①正确；
∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，
∴∠BEA＝75°，
∴△ABE为等腰三角形；
∴除了△PMN外，还有4个等腰三角形，故②正确；
∵AD，CF分别是BC，AB边上的高，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，
∴∠BAD＝∠DCP，
∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正确；
在直角三角形BDM中，
∵MD＝2，∠MBD＝30°，
∴BM＝4，
在等腰三角形AMB中，BM＝AM，
∴AD＝AM+MD＝6，
在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，
∴DC＝6，故④正确；
故答案为：①②③④.
24．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
25．如图，点 在 的 边的延长线上， 点在 边上， 交 于点 ， ， .求证： 是等腰三角形.
【答案】证明：过点 作 于点 ，
（两直线平行，内错角相等），
在 和 中
又
，
，
是等腰三角形.
26．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴EDC＝∠B＝60°，∠CED=∠A＝60°，
∴∠EDC＝∠DEC＝60°，
∴∠DCE=60°，
又∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形.
（2）解：由（1）可知∠EDC＝∠DEC＝∠DCE＝60°，
∴CE＝CD，
∵CD=6，
∴CE=6，
又∵CE＝CF，
∴CF＝6，
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12．
27．如图， 在中，，点分别在边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时， 求的度数；
（3）若，判断是何种三角形．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
即，
，
，
；
；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
由（2）知，
又，
，
，
，
又，
是等边三角形．
28．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB ∠ACO＝∠DCO ∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△BOC≌△ADC(SAS)；
（2）解：△ADO是直角三角形．
理由如下：
∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150° 60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200° α，∠ADO＝α 60°，∠OAD＝40°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴200° α＝α 60°，
∴α＝130°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α 60°＝40°，
∴α＝100°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴200° α＝40°，
∴α＝160°．
所以，当α为130°，100°，160°时，△AOD是等腰三角形．
【直击中考】
29．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
【答案】3
【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
30．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
31．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．
【答案】证明：∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，
在△AED和△ACD中，
∵
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C=∠E，
又∵∠E=∠B．
∴∠C=∠B，
∴AB=AC
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2.4等腰三角形的判定定理
【知识重点】
1．等腰三角形的判定：
（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）等腰三角形的判定定理：有两内角相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对等边）.
2．等边三角形的判定：
（1）定义：有三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
（4）推论：有两个角都是60°的三角形是等边三角形.
【经典例题】
【例1】如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形.
【例2】如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【例3】如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【基础训练】
1．下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形 B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形 D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
2．一个角是 的等腰三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
3．一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（ ）
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
4．如图， 中， ， ，BD平分 交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
7．将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
8．在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F，AB = 18cm，AC = 12cm，则△AEF的周长为 ．
10．如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
11．如图，在中，，，垂足分别为点D，E，与相交于点F．若点F在的平分线上，判断的形状，并说明理由．
12．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
13．已知：如图，点D在△ABC的外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O.∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD.求证：△ACE是等腰三角形.
证明：∵∠1＝∠3（ ），
∴∠1+∠CAD＝∠3+∠CAD，
即∠BAC＝∠_▲_.
∵∠1＝∠2，
∠▲_＝∠COD，
∴180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣∠2﹣∠COD，
即∠B＝∠D.
又∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（ ），
∴AC＝AE（ ），
∴△ACE是等腰三角形（ ）.
【培优训练】
14．如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
15．如图，DE=11，FG=3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．
则BD+CE=（ ）
A．3 B．11 C．7 D．8
16．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
17．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上.若的周长为30，则的长为 .
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF与AD相交于点G，与BE相交于点H．在下面给出的四个结论中，正确的是 (填序号)
①△ABE的面积等于△BCE的面积
②∠AFG=∠AGF
③∠FAG=2∠ACF
④BH=CH．
20．如图，垂直平分，垂足为D，，于E，交于F，，则的长为 ．
21．如图所示，点 是等边 内一点， ， ，以 为一边作等边三角形 ，连接 ．
（1）当 时， 的形状是 ；
（2）当 时， 是等腰三角形．
22．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 .
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分别是BC、AB边上的高且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于M、N.以下四个结论：①△PMN等边三角形；②除了△PMN外，还有4个等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④当DM＝2时，则DC＝6.其中正确的结论是： （填序号）.
24．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
25．如图，点 在 的 边的延长线上， 点在 边上， 交 于点 ， ， .求证： 是等腰三角形.
26．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
27．如图， 在中，，点分别在边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时， 求的度数；
（3）若，判断是何种三角形．
28．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【直击中考】
29．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
30．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
31．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．
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