中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.9 有理数的运算 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江台州·七年级期末）据台州市统计局言网显示，2021年1~3季度，我市对外贸易出口额达159000000000元，数据159000000000用科学记数法可表示为（ ）
A．159×109 B．1.59×1011 C．1.59×1012 D．1.5911
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：159000000000=1.59×1011．故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．（2022·山东滨州·七年级期末）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．－3与3 B．－3与 C．－3与－ D．－3与|－3|
【答案】C
【分析】根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【详解】A. -3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故A错误；
B. -3与-互为倒数，故B错误；
C. -3与互为倒数，故C正确；
D. ，与-3互为相反数，故D错误．故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）下列式子：①（﹣3）+5；②（﹣6）×2；③（﹣3）×（﹣2）；④（﹣3）÷（﹣6），计算结果是负数的是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】先计算各个小问的结果，即可得到哪个选项是正确的．
【详解】解：（-3）+5=2，故①不符合题意；
（-6）×2=-12，故②符合题意；
（-3）×（-2）=6，故③不符合题意；
（-3）÷（-6）=，故④不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2022·北京·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
【答案】B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
5．（2022·河北河北·七年级期末）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案．
【详解】解：由，，且满足，得
，．
的值为，故选：．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．
6．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（ ）
A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃
【答案】A
【分析】利用最高气温减去最低气温列式计算可求解．
【详解】解：由题意得5 （ 2）＝5＋2＝7（°C），
所以该天最高气温比最低气温高7°C．故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数的减法，掌握有理数减法法则是解题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
7．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知a＝﹣，b＝，c＝﹣，则下列各式结果最大的是( )
A．|a+b+c| B．|a+b﹣c| C．|a﹣b+c| D．|a﹣b﹣c|
【答案】C
【分析】根据有理数的加减法法以及绝对值的性质求出各个选项的值，再比较大小即可．
【详解】解：|a+b+c|==，
|a+b-c|==，
|a-b+c|==，
|a-b-c|==，
∵，
∴结果最大的是|a-b+c|．故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减法以及绝对值，掌握有理数的加减法法则是解答本题的关键．
8．（2022·四川省渠县中学二模）在算式(-3)○(-)的○中填上下列运算符号，使结果最大的运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【答案】D
【分析】利用有理数的运算法则，逐个选项代入求解，再对求出的值进行比较，即可求出答案．
【详解】解：A：○中填上加号时，；
B：○中填上减号时，；
C：○中填上乘号时，；
D：○中填上除号时，；
因为，故选D．
【点睛】本题考查有理数的运算、比较大小方法，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键．要牢记：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
9．（2022·山东滨州·七年级期末）已知a、b互为相反数，e的绝对值为，m与n互为倒数，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．无法确定
【答案】C
【分析】由a、b互为相反数，可得．由e的绝对值为，可得，所以．由m与n互为倒数，可得．所以．故选C．
【详解】解：由已知得：a、b互为相反数，，
e的绝对值为，，，
m与n互为倒数，，，故选C．
【点睛】本题主要考查知识点为：相反数的定义、倒数的定义、绝对值的性质，平方的性质．熟练掌握相反数的定义、倒数的定义、绝对值的性质，平方的性质，是解决此题的关键．
10．（2022·福建·二模）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033 614 625 035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界环境日（6月5日）是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
【答案】B
【分析】根据材料中的算法：密码中对应的第六个数字加上日期，其和除以7得余数，即可判定是星期几．
【详解】6月对应密码中的第六个数字4，4+5=9，9÷7=1…2 所以是星期二故选：B．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则运算，读懂题中材料是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江宁波·七年级期末）近几年宁波市常住人口总量持续增长，根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为万人，万精确到 位
【答案】百位
【分析】根据万等于，找出3所在的位置即可得．
【详解】解：万，因为3在百位，所以万精确到百位．
【点睛】本题考查了精确度，熟练掌握精确度的概念是解题关键．
加减法，掌握理解两种新运算的定义是解题关键．
12．（2022·浙江台州·七年级期末）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：）：，，，，．则收工时检修小组在A地______边______．
【答案】 西 5
【分析】将五次行驶的记录数据相加即可得到答案．
【详解】∵，∴在A地西边5千米处．故答案为：西；5．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，能够将实际问题和有理数的加减相结合，并且能够准确计算出结果是解决本题的关键．
13．（2022·湖南怀化·七年级期末）若|m﹣2|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：∵|m﹣2|+（n+2）2＝0，∴m﹣2＝0，n+2＝0，解得m＝2，n＝﹣2，
则m+2n＝2+2×（﹣2）＝2﹣4＝﹣2．故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了非负数的性质∶几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，掌握非负数的性质是解题的关键．
14．（2022·浙江·单元测试）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入的数是20，而结果不大于100时，应把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为________．
【答案】320．
【分析】把20代入程序中计算，判断结果与100大小，依此类推即可得到输出结果．
【详解】解：把20代入程序中得：，
把代入程序中得：，
把80代入程序中得：，
把代入程序中得：，
则最后输出的结果为320；故答案为：320．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022·北京四中七年级期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
【答案】36
【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可．
【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），
如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，
∵12<15，∴第二天休息，第三天选择高强度，
如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），
如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，
∵9>8，∴第四天和第五天选择低强度，
为保持最远距离，则第一天为高强度，
∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）故答案为36．
【点睛】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过______秒时线段PQ的长为8厘米．
【答案】3或13或1 或
【分析】分四种情况讨论：（1）点P、Q都向右运动时， （2）点P、Q都向左运动时， （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （4）点P向右运动，点Q向左运动时，再列式计算即可.
【详解】解： 厘米，点C在线段AB上，且厘米．
（厘米）
（1）点P、Q都向右运动时， （8-5）÷（2-1） =3÷1 =3（秒）
（2）点P、Q都向左运动时， （8+5）÷（2-1） =13÷1 =13（秒）
（3）点P向左运动，点Q向右运动时， （8-5）÷（2+1） =3÷3 = 1 （秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时， （8+5）÷（2+1） =13÷3 =（秒）
∴经过3、13、 1 或 秒时线段PQ的长为8厘米．
故答案为：3或13或1 或
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加减乘除混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式，清晰的分类讨论，都是解本题的关键.
17．（2021·广东惠州·七年级期末）观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第个式子的计算结果（为正整数）______．（写出最简计算结果即可）
【答案】
【分析】利用材料中的“拆项法”解答即可．
【详解】解：由题意可知，第n个式子为：
故答案为：．
【点睛】考查了规律型：数字的变化规律，有理数的混合运算．解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
18．（2022·浙江·七年级期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足，则的值为_______．
【答案】±4
【分析】根据个位数为1可大致确定出d＝±1或±3，再分别讨论d＝±1时，d＝±3时，c，b，a的可能值，由此即可求得答案．
【详解】解：∵整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足，
∴个位上的1一定是由产生的，
∵绝对值小于5的整数中，只有，，∴d＝±1或±3，
当d＝±1时，，，
∴此时个位上的2一定是由产生的，∴＝2或－8，
∵绝对值小于5的整数中，只有，∴c＝－2，
∴，即：，∴，
∴此时个位上的1一定是由产生的，
∵绝对值小于5的整数中，只有，∴b＝±1，
将b＝±1代入，得：a＝2，∴a＝2，b＝±1，c＝－2，d＝±1，
∴，∴；
当d＝±3时，，∴，即：，
∵绝对值小于5的整数中，只有，∴c＝4，∴，即：，
∵绝对值小于5的整数中，不存在某个数的平方的个位是3或7，∴d＝±3不符合题意，故舍去，
综上所述，的值为±4，故答案为：±4．
【点睛】本题考查了乘方的意义以及乘法法则，熟练掌握常见的整数的乘方以及学会运用分类讨论思想是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北保定·七年级期末）老师课下给同学们留了一个式子：3×□＋9－○，让同学自己出题，并写出答案．(1)嘉嘉提出问题：若□代表－1，○代表5，则计算：；(2)琪琪提出问题：若3×□＋9－○＝1，当□代表－3时，求○所代表的有理数；(3)嘉琪提出问题：在等式：3×□＋9－○＝1中，若□和○所代表的有理数互为相反数，求□所代表的有理数．
【答案】(1)1(2)(3)
【分析】（1）按照有理数混合运算法则计算即可．
（2）设○所代表的数为x，将算式转化为一元一次方程，解方程即可．
（3）设○所代表的数为y，则□代表的数为-y，将算式转化为一元一次方程，解方程即可．
(1)
(2)设 所代表的有理数为，
则
．
所以， 所代表的有理数为．
(3)设口所代表的有理数为，
则：
所以，口所代表的有理数为．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意并正确进行计算．
20．（2022·浙江·七年级专题练习）计算：
（1）（+16）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）； （2）﹣12﹣（1﹣0.5）÷；
（3）； （4）
【答案】（1）8；（2）4；（3）7；（4）﹣44．
【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；
(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；
(3)根据乘法分配律可以解答本题；
(4)根据乘法分配律可以解答本题．
【详解】解：(1)（+16）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）
＝16+（﹣11）+18+（﹣15）
＝（16+18）+[（﹣11）+（﹣15）]
＝34+（﹣26）
＝8；
(2)﹣12﹣（1﹣0.5）÷
＝﹣1﹣×5×（2﹣4）
＝﹣1﹣×5×（﹣2）
＝﹣1+5
＝4；
(3)
＝（﹣72）×﹣（﹣72）×+（﹣72）×﹣（﹣72）×
＝﹣32+27+（﹣11）+24
＝7；
(4)
＝[（﹣11）+19+6]×（﹣）
＝14×（﹣）
＝﹣44．
【点睛】本题主要考查的是含有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
21．（2022·浙江台州·七年级期末）食品厂为检测某袋装食品的质量是否符合标准，从袋装食品中抽出样品30袋，每袋以100克为标准质量，超过和不足100克的部分分别用正、负数表示，记录如下：
与标准质量的差值/克 -4 -2 0 1 2 3
袋数 3 4 6 8 6 3
(1)在抽测的样品中，任意挑选两袋，它们的质量最大相差多少克？
(2)食品袋中标有“净重克”，这批抽样食品中共有几袋质量合格？请你计算出这30袋食品的合格率；(3)这批样品的平均质量比每袋的标准质量多（或少）多少克？
【答案】(1)7克(2)(3)0.3克
【分析】（1）超过部分最多的与不足最少的差即是相差质量最大的；
（2）求出超过部分多于2克及不足部分少于2克的不合格品数，即可求得质量合格的袋数；根据合格数÷总数×100%，即可求得合格率；
（3）求出这批样品超过与不足部分的总质量，除以30即可得结果．
(1)与标准质量的差值最多的是3克，差值最少的是-4克，则相差的最大质量为：克．
(2)由表知：超过部分多于2克及不足部分少于2克的共有：3+3=6(袋)，30-6=24（袋）
即有24袋合格．合格率为： 答：合格率是．
(3)（克）． （克）
答：这批样品的平均质量比每袋的标准质量多0.3克．
【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，理解题意关键，注意用简便方法．
22．（2022·浙江·七年级专题练习）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？
【答案】（1）8；（2）14，22；（3）15岁
【分析】（1）根据图象可知3倍的AB长为30 6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了．
（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，115 （ 35）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【详解】解：解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30 6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）；
故答案为8．
（2）6＋8＝14，14＋8＝22．
所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为（岁），
所以妙妙现在的年龄为（岁）.
【点睛】本题考查了数轴，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．
23．（2022·福建·晋江市第一中学七年级期中）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和5关于1的“相对关系值”为__________．
(2)若a和2关于3的“相对关系值”为10，求a的值．
【答案】(1)8
(2)12或
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；
（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．
(1)
解：由题意得，|-3-1|+|5-1|=8．
故答案为8；
(2)
由题意得，|a-3|+|2-3|=10，
解得，a=12或．
【点睛】本题主要考查了新定义、有理数的加减运算和绝对值方程的应用，理解“相对关系值”的概念是解决此题目的关键．
24．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
(1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数；(2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数；(3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？
【答案】(1)-1 (2)1007 (3)琪琪的说法正确；理由见解析
【分析】（1）根据往右用加，往左用减，计算即可得出答案；（2）根据往右用加，往左用减，找出运动时，点的规律，即可得出答案；（3）点P在点A和点B之间，再分别求出PA和PB所表示的代数式，根据PB=3PA计算，即可得出答案．
(1)解：点P运动到第5次时，点P所对应的有理数为：．
(2)当点P运动到第2021次时，点P所对应的有理数为：
(3)设点P对应的有理数的值为x，
∵点P在点A和点B之间，∴PA=x-(-4)=x+4，PB=8-x，
∵PB=3PA，∴，解得：，∴琪琪的说法正确．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，数轴以及有理数的运算，综合性较强，难度系数较大．
25．（2022·重庆江北·七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为，所以1234叫做“进步数”．
(1)写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”；
(2)已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，求这个四位正整数m．
【答案】(1)最大的“进步数”是9999，最小的“进步数“是1111；
(2)1188或1278或1368或1458
【分析】（1）根据进步数的定义分别求出四位正整数中的最大“进步数”与最小“进步数”即可；
（2）设这个四位正整数百位和十位上的数字分别是b，c，根据能被9整除的数的各个数位上的数字之和能被9整除可得b+c＝9，求出符合条件的b，c即可．
(1)解：由进步数的定义可知四位正整数中最大的“进步数”是9999，最小的“进步数“是1111；
(2)设这个四位正整数百位和十位上的数字分别是b，c，
∵能被9整除的数的各个数位上的数字之和能被9整除，且1+8＝9，
∴b+c＝9，b≤c，
∴或或或，
∴这个四位正整数m为：1188或1278或1368或1458．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键．
26．（2022·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢 借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
【答案】（1）3；（2）；（3）
【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【解析】设塔的顶层共有盏灯，由题意得.
解得，顶层共有盏灯.
设,
,
即： . 即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n 1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和
由题意可知：为2的整数幂，只需将 2 n消去即可，
则①1+2+( 2 n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+( 2 n)=0,解得：n=5,总共有 满足，
③1+2+4+8+( 2 n)=0,解得：n=13,总共有 满足，
④1+2+4+8+16+( 2 n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，
∴
【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.9 有理数的运算 章末检测
全卷共26题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江台州·七年级期末）据台州市统计局言网显示，2021年1~3季度，我市对外贸易出口额达159000000000元，数据159000000000用科学记数法可表示为（ ）
A．159×109 B．1.59×1011 C．1.59×1012 D．1.5911
2．（2022·山东滨州·七年级期末）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．－3与3 B．－3与 C．－3与－ D．－3与|－3|
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）下列式子：①（﹣3）+5；②（﹣6）×2；③（﹣3）×（﹣2）；④（﹣3）÷（﹣6），计算结果是负数的是( )
A．① B．② C．③ D．④
4．（2022·北京·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab
5．（2022·河北河北·七年级期末）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图是湖州市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（ ）
A．7℃ B．﹣70℃ C．3℃ D．﹣3℃
7．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知a＝﹣，b＝，c＝﹣，则下列各式结果最大的是( )
A．|a+b+c| B．|a+b﹣c| C．|a﹣b+c| D．|a﹣b﹣c|
8．（2022·四川省渠县中学二模）在算式(-3)○(-)的○中填上下列运算符号，使结果最大的运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
9．（2022·山东滨州·七年级期末）已知a、b互为相反数，e的绝对值为，m与n互为倒数，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．无法确定
10．（2022·福建·二模）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033 614 625 035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界环境日（6月5日）是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江宁波·七年级期末）近几年宁波市常住人口总量持续增长，根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为万人，万精确到 位
12．（2022·浙江台州·七年级期末）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中五次行驶记录如下（单位：）：，，，，．则收工时检修小组在A地______边______．
13．（2022·湖南怀化·七年级期末）若|m﹣2|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为______．
14．（2022·浙江·单元测试）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入的数是20，而结果不大于100时，应把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为________．
15．（2022·北京四中七年级期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
16．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过______秒时线段PQ的长为8厘米．
17．（2021·广东惠州·七年级期末）观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第个式子的计算结果（为正整数）______．（写出最简计算结果即可）
18．（2022·浙江·七年级期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足，则的值为_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北保定·七年级期末）老师课下给同学们留了一个式子：3×□＋9－○，让同学自己出题，并写出答案．(1)嘉嘉提出问题：若□代表－1，○代表5，则计算：；(2)琪琪提出问题：若3×□＋9－○＝1，当□代表－3时，求○所代表的有理数；(3)嘉琪提出问题：在等式：3×□＋9－○＝1中，若□和○所代表的有理数互为相反数，求□所代表的有理数．
20．（2022·浙江·七年级专题练习）计算：
（1）（+16）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）； （2）﹣12﹣（1﹣0.5）÷；
（3）； （4）
21．（2022·浙江台州·七年级期末）食品厂为检测某袋装食品的质量是否符合标准，从袋装食品中抽出样品30袋，每袋以100克为标准质量，超过和不足100克的部分分别用正、负数表示，记录如下：
与标准质量的差值/克 -4 -2 0 1 2 3
袋数 3 4 6 8 6 3
(1)在抽测的样品中，任意挑选两袋，它们的质量最大相差多少克？
(2)食品袋中标有“净重克”，这批抽样食品中共有几袋质量合格？请你计算出这30袋食品的合格率；(3)这批样品的平均质量比每袋的标准质量多（或少）多少克？
22．（2022·浙江·七年级专题练习）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？
23．（2022·福建·晋江市第一中学七年级期中）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和5关于1的“相对关系值”为__________．
(2)若a和2关于3的“相对关系值”为10，求a的值．
24．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
(1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数；(2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数；(3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？
25．（2022·重庆江北·七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“进步数”，例如四位正整数1234：因为，所以1234叫做“进步数”．
(1)写出四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”；
(2)已知一个四位正整数m是“进步数”，m的千位、个位上的数字分别是1、8，且m能被9整除，求这个四位正整数m．
26．（2022·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢 借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
