6.3 反比例函数的应用 课件(共39张PPT) 数学浙教版八年级下册

(共39张PPT)
6.3 反比例函数的应用
授课人：
班级：
浙教版 数学 八年级下
学习目标
1．体验由表格数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想
2．会综合运用反比例函数的表达式、函数图像以及性质解决实际问题
3．在实际问题中体验数形结合的思想
反比例函数图象有哪些性质
反 比 例 函 数 图 象 图象的 位置 图 象 的 对 称 性 增 减 性
（k > 0）
（k < 0）
x
y
0
y
x
y
0
在第一、
三象限内
在第二、
四象限内
两个分支
关于原点
成中心
对称
两个分支
关于原点
成中心
对称
当k>0时,函数值y
随自变量x的增大
而减小.
当k>0时,函数值y
随自变量x的增大
而增大.
注意：叙述反比例函数的增减性时，必须指明“在每个象限内”.
回顾思考
∵存在x和y都为正整数、且x和y的积为12
设一根火柴的长度为1，能否用若干根火柴收尾顺次连接摆出一个面积为12的矩形？面积为12的正方形呢？
设:摆的长为x,摆的宽为y(x、y为正整数).则
y为大于0的整数)
∴能摆出矩形.
若要摆出正方形，那么x和y的值就相等.
∵此时x=y=正整数
∴不能摆出正方形.
反比例函数.
x=1,y=12；
x=3,y=4.
问题探究
在现实世界里，成反比例的量广泛存在着.用反比例函数的表达式和图像表示问题情境中成反比例的量之间的关系，能帮助我们分析和判断问题情境中的有关过程和结果，确定变量在一定条件下的特殊值或特定的范围下，解变量的变化规律.
导入新课
例1：设 ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高AD为y(cm). ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点(3,4).
(1) 求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
设: ABC的面积为S(s为常数),
∴y=
∵函数图象过点(3，4)
∴所求函数的解析式为y=
ABC的面积为6cm .
解:
则 x y=S
∴4= 解得s=6
例题讲解
(2)画出函数的图象.并利用图象求当2当x=2时，y=6；
当x=8时，y=
∴ < y < 6
２
４
６
８
.
.
.
.
.
.
.
.
２
４
６
８
y
x
∵k=12＞0, x＞0
∴图形在第一象限
用描点法画出函数y= 的图象如图
解:
y=
例2：如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强.
⑴请根据表中的数据求出压强p(kPa)关于体积v(ml)的函数关系式；
将点(70,86).(80,75).(90,67).(100,60)的坐标一一验证:
选点(60,100),带入得100=
∴k=6000
∴p=
设它的函数解析式为p= (k≠0)
解:
≈86，67，60
可见P=(v>0)相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强的关系，也就是所求的函数关系式.
⑵当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到多少ml？
∴当压强P=72时，则
答：当压力表读出的压强为72kPa时，汽缸内气体的体积压缩到约83ml.
∵解析式为：p=
解:
72=
解得v= 83（mL）
(3)若压强80＜P＜90,请估计汽缸内气体体积的取值范围,并说明理由.
体积p （ml） 压强V
（kPa）
100 60
90 67
80 75
70 86
60 100
V（ml）
p（kPa）
100
100
90
80
70
60
90
80
70
60
根据表格画出函数图像如图：
p=
V（ml）
p（kPa）
100
100
90
80
70
60
90
80
70
60
p=
由图像可得:当80＜P＜90，y随x的增大而减小.
当P=80时,v最大=
当P=90时,v最小=
∴此时:
建立数学模型的过程：
由实验获得数据——用描点法画出图象——根据图象和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出函数关系式——应用函数关系式解决问题.
新课讲解
某一农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙,围成一个面积为12m2的园子现有可用的篱笆总长为11m.
(1)你能给出一种围法吗
解:
y
x
设：平行于墙方向的一边的长度为x(m),与之相邻的另一边为y(m).
∴xy=12
∵墙为7.9
∴xy=12(0∵园子面积预定为12m
其中一种围法：x=3,y=4.
∵篱笆总长为11m
∴x+2y≤11
小试牛刀
(2)若取园子的长,宽都是整数,共有几种围法
∵xy=12(0∴(0∵长宽都必须是整数
∴当长x取整数时，有1、2、3、4、5、6、7七种情况：
对应的y分别为：12、6、4、3、2、
∴满足条件的只有：x=3,y=4;x=4,y=3;x=6,y=2三种情况.
解：
且x+2y≤11
又∵x+2y≤11
(3)若要使11m长的篱笆恰好用完，应怎样围？
∵xy=12(0∴(0解：
∵11m的篱笆要恰好用完
∴
∴得到方程组：
(0解得：
或
（舍去）
∴长3m、宽4m的时候，11m的篱笆要恰好用完.
反比例函数在生活中的具体应用
1.在面积中的应用
2.在速度和工程中的应用
3.在电学中的应用
4.在光学中的应用
5.在排水中的应用
6.在经济预算中的应用
综合拓展
1.在面积中的应用
S△ABC=︱K︱
SABCD=2︱K︱
B
D
S= ︱ k︱
o
y
P(m,n)
x
A
B
C
D
C
o
x
y
A
综合拓展
y
B
A
x
o
1.如图，已知，A,B是双曲线(x>0)上的两点.
（1）若A(2,3)，求K的值
（2）在(1)的条件下,若点B的横坐标为3，连OA,OB,AB，求△OAB的面积。
C
D
E
(1)∵ A(2,3)
∴
解：
∵ A纵坐标=3,B横坐标=3
∴E(3,3)
(2)过A.B作y.X的垂线,垂足为D和C,两线交于E.
∴SOCED=3×3=9
又∵S△OAD=S△OCB=k|=3
∴S△OAB= SOCED-S△OAD-S△OCB=9-3-3=3.
曲直结合
A(2, 2)
O
y
x
2.⑴直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．
B
D
C
⑵△BDA的面积是多少？
∴B（-2,-2）
S矩形=2|k|=2×4=8
∵A、B为对称点
2.在速度和工程中的应用
3.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)这批货物的总量是多少吨？轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系
∵ 总量=时间×工作效率
∴
解：
∴总量=30×8=240（吨）
∵ 总量=卸货时间×工作效率
（2）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？
(3)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物
，且v=40
解：
=6
答：需要6天卸完.
（4）若工人每天卸货在40到48吨之间，那么卸货时间范围是多少？
解：
，且t<5
<5
答：每天至少要卸48吨货物.
解：
，当40=40时,t最大=6；
=48时,t最小=5；
答：卸货时间范围是5到6.
3.在电学中的应用
4.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
解：(1)设I＝
∵R＝5，I＝2
∴U =2×5＝10 ∴I＝．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
(2)当I＝0.5时，可得0.5＝
∴R＝＝20(欧姆)．
4.在光学中的应用
5.近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
解：（1）设y=
把x=0.25，y=400代入，得400=
解得k=400×0.25=100
∴所求的函数关系式为y=．
（2）当y=1000时，1000=，解得x=0.1m．
∴此时的焦距为0.1m.
5.在排水中的应用
6.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
答:此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
解:t与Q之间的函数关系式为:
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
解:当t=5h时,Q==9.6m3.
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
解:当Q=12(m3)时,t===4(h).
∴每时的排水量至少为9.6m3.
∴最少需5h可将满池水全部排空.
6.在经济预算中的应用
7.某地去年电价为0.8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：∵y与x－0.4成反比例
∴设y= (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入方程得0.8＝
解得k＝0.8×0.25=0.2，∴y＝
∴y与x之间的函数关系为y＝
解：∵新增电y与成本x的关系式为：y＝
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下今年电力部门的纯收人多少
当x=0.6时，新增度数y＝
又∵年用电量为1亿度
∴本年度电力部门的纯收入为：
(0.6－0.3)(1＋)＝0.3×＝0.4(亿元)
答：今年的纯收人为0.4亿元.
(1)弄清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题 (包括已学过的基本公式，尤其是物理公式)．
(2)分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围．
(3)熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．
用反比例函数解应用问题要明确三点：
A
y
O
B
x
M
N
1.已知：如图,反比例函数 与一次函数，y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.
（1）求这个一次函数的解析式
解：(1)点A在反比例上，且纵坐标为3
∴3=- ，解得x=-2,即A(-2,3)
将A(-2,3)带入y=kx+1，即
3=-2k+1，解得k=-1
∴解析式为： y=-x+1
巩固提升
A
y
O
B
x
M
N
（2）求△AOB的面积.
解：根据反比例函数的面积不变性：
S△ANO=S△BOM=k|
∴S△AOB= S△ANO+S△BOM k|=6
A1
B1
2.一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.
300
变小
(3)t与v之间的函数关系 ;
(1)甲乙两地相距 千米;
(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将 ;
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至少应是 .
路程=时间×速度.
t=v成反比例关系.
t=.
t.
t≤5,解得v≥60.
60千米/小时
3．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：=，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(0,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
解:(1)将(40,1)代入t=
即=解得k=40.
∴关系式=
∵B(m,0.5)
∴=m=8.
解:∵t≤60且t=
∴=≤60
解得v≥
∴汽车通过该路段最少需要.
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
4.某同学要用一根撬棒撬动一块大石头，已知阻力f和阻力臂l′不变，分别为1 000 N和0.4 m，当动力臂l为2 m时，撬动这块大石头需用多大的力？
根据杠杆平衡条件有Fl＝f l′
又f l′＝1 000×0.4＝400，所以 F
当l＝2 m时， F =200(N)
答：撬动这块大石头需用200 N的力．
解：
5.在某一电路中，保持电压U不变，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)成反比例,当电阻R＝5 Ω时，电流I＝2 A.
(1)写出I关于R的函数表达式；
(2)当电流为0.5 A时，求电阻R的值．
(1)设I关于R的函数表达式为I(R>0)．
将R＝5，I＝2代入，得2解得U＝5×2＝10.
故I关于R的函数表达式为I (R＞0)．
解：
(2)当I＝0.5 A时，0.5解得R＝20 Ω.
即当电流为0.5时，电阻R为20.
应用反比例函数解决问题时:
反比例函数的应用
①要注意自变量取值范围符合实际意义;
②确定反比例函数之前，一定要考察两个变量与定值之间的关系；若k未知时应首先由已知条件求出k值；
③求“至少,最多”时可根据函数性质得到.
课堂小结
作业布置
教材155页习题第1、3、5题。
感谢观看