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2023-2024学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022秋·浙江湖州·九年级校联考期中）下列四个函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离直线的距离最远，在直线上，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令或即可．
4．（本题3分）（2019秋·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度所得的抛物线解析式为，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟记二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．
5．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，请根据所给的数据，则支柱的长度为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为5，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度m，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
6．（本题3分）（2023·浙江·一模）已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
【答案】A
【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，
∴当时，的最小值为，
∴，解得；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴，解得，
综上所述，的值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
7．（本题3分）（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点，
当时，，
当时，，
所以，点，
由勾股定理得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
8．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】解：A、中，，则当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故本选项不成立；
B、∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大，
∴当时，当时，必有，
此时，故本选项不成立；
C、∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减少，
∴当时，当时，必有，
此时，故本选项成立；
D、∵中，，
∴y随x的增大而增大，即当时，必有，
此时，故本选项不成立；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．
9．（本题3分）（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
10．（本题3分）（2022秋·浙江湖州·九年级校联考期中）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点且．下列四个结论：
①；
②若，则
③若点，在抛物线上，，且，则
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是______（填写序号）．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据对称轴在y轴的右侧，可判断①；求得，得到，可判断②；由题意，抛物线的对称轴直线，，由点，在抛物线上，且，推出点M到对称轴的距离点N到对称轴的距离，推出，可判断③；证明判别式＞0即可判断④．
【详解】解：∵对称轴，
∴对称轴在y轴右侧，
∴，
∵a＜0，
∴，故①正确；
当时，对称轴，
∴，
当时，，
∴，
∴，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
∵点，在抛物线上，，且，
∴点M到对称轴的距离点N到对称轴的距离，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
∵，，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【答案】 3 -5 1
【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
12．（本题3分）（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据“，抛物线的开口向下”，再列不等式即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“，抛物线的开口向上，，抛物线的开口向下”是解本题的关键．
13．（本题3分）（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是 ．
【答案】5
【分析】先求出平移后的顶点，结合平移前的顶点，求出这两点间的距离即为所求．
【详解】解：平移后的抛物线的解析式为，
平移后的顶点，
平移前抛物线的顶点，
点移动的最短路程．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
14．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】或/0或
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次函数图像和x轴交点坐标的关系，解题关键是熟记：一元二次方程有两个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有两个交点；一元二次方程有一个根，说明二次函数图像和x轴的横坐标有一个交点；一元二次方程（在实数范围）无解，说明二次函数图像和x轴的横坐标没有交点．
15．（本题3分）（2022·浙江·九年级专题练习）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为 m．
【答案】8
【分析】由目前桥下水面宽4m，求得对应y的值，再由水位下降1.5m，得到此时y的值，代入解析式即可求得x的值，即可求出水面的宽．
【详解】解：目前桥下水面宽4m，
即x=2时，
当水位下降1.5m，即
此时水面的宽为8m
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（本题3分）（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 ，n的值为
【答案】
【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
与直线联立方程，得：
，
整理得：,
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴
解得，；
帮答案为：；．
【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．
17．（本题3分）（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝x2+x+1
【分析】根据题意，可得出抛物线过（1，3），（﹣1，1）两点，将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
【详解】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：
，
解得 ；
故此函数的解析式为y＝x2+x+1．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数的解析式的方法是解题的关键．
19．（本题8分）（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②最小值为
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
【详解】（1）抛物线与x轴相交于点
解得
；
（2）①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（本题8分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)，（1，4）；
(2)（4，0）或或
【分析】（1）把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，设D（m，0），根据勾股定理可得，，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点C的坐标为（1，4）；
（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，
设D（m，0），
∵A（-1，0），C（1，4），
∴EA=2，EC=4，DE=m-1， ，
∴，，
当AD=CD时，，
解得：m=4；
当AC=CD时，，
解得：m=3（舍去）或m=-1（舍去），
当AC=AD时，，
解得：或
综上所述，点D的坐标为（4，0）或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
21．（本题8分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．
【答案】(1)y＝ x2 2x＋3
(2)y＝ x＋1
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）根据（2）的结论，设Q（x， x＋1），则P（x， x2 2x＋3），过点作轴，交于点，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线y＝ x2＋bx＋c过点A（1，0），C（ 2，3），得
，
解得，
故抛物线为y＝ x2 2x＋3；
（2）设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（ 2，3），则
，
解得，
故直线AC为y＝ x＋1；
（3）如图，过点作轴，交于点，
∵直线AC为y＝ x＋1；
设Q（x， x＋1），则P（x， x2 2x＋3），
∴PQ＝（ x2 2x＋3） （ x＋1）＝ x2 x＋2，
∴S△APC＝
＝
＝，
∴△APC面积的最大值为
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（本题9分）（2022·浙江温州·九年级专题练习）一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
【答案】（1）y=-x2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L有最大值，最大值为14
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点F和点M即可求得该抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度，便可判断该车辆能安全通过．
（3）射出H的坐标，用n表示出L，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）由题意得M（0，4），F（4，0）
可设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将F（4，0）代入y=ax2+4中，得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4；
（2）当x=3，y=，
+2-=3.253.2，∴能安全通过；
（3）由GH=n，可设H（），
∴GH+GA+BH=n+（）×2+2×2=，
∴L=，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当n=-=4时，L有最大值，最大值为14．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义．
23．（本题10分）（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和!
【答案】任务：花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；任务：花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；任务：方案：花生垄，木薯垄，总产量为；，，．
【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由，，可知有3种方案，即可得到答案．
【详解】解：任务1：设，把、、代入得，
，解得，
花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，，
解得，，
要使，需满足，
，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，
，
，
，，
共3种方案：
方案一：花生6垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案二：花生5垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案三：花生6垄，木薯5垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
故答案为：5，6，200．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解．
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注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022秋·浙江湖州·九年级校联考期中）下列四个函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（2019秋·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，请根据所给的数据，则支柱的长度为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
6．（本题3分）（2023·浙江·一模）已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
7．（本题3分）（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
8．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
10．（本题3分）（2022秋·浙江湖州·九年级校联考期中）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点且．下列四个结论：
①；
②若，则
③若点，在抛物线上，，且，则
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是______（填写序号）．（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
12．（本题3分）（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
13．（本题3分）（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是 ．
14．（本题3分）（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
15．（本题3分）（2022·浙江·九年级专题练习）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为 m．
16．（本题3分）（2023·浙江温州·校考二模）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 ，n的值为
17．（本题3分）（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．
19．（本题8分）（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
20．（本题8分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标．
21．（本题8分）（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．
22．（本题9分）（2022·浙江温州·九年级专题练习）一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
23．（本题10分）（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：______； 木薯垄个数：______； 产量之和：______． 评价标准 优秀方案：； 良好方案：； 合格方案：． 注意：Q（）为产量之和!
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2023-2024学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》易错题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B．是二次函数，符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
D．是三次函数，不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义；熟知形如的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
2．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
4．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（ ）
A． B．3 C．0 D．9
【答案】C
【分析】由对称轴是直线，且经过点，可知抛物线与轴的另一个交点是，代入抛物线即可．
【详解】解：因为抛物线对称轴是且经过点，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
将代入抛物线解析式中，得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出抛物线与轴的另一个交点，难度不大．
5．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级统考期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，令y=0得：
，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
6．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线上有三点则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴与对称轴的距离越近点越低，越远点越高，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
7．（本题3分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知，且，令，则函数S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出与的关系式，然后将二次函数化成顶点式，根据二次函数的最值即可解答．
【详解】解：，
，
当时，有最小值，等于，
，
当时，有最大值，等于1，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的最值，求出与的关系式，并将二次函数化成顶点式是解题的关键．
8．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标，可得出点的坐标，点的坐标，继而确定点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式．
【详解】∵抛物线与直线交于点，，
将代入，
∴，
∴，
∴，
将将代入，
，
∴，
∴
∵直线的解析式为：，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
将点代入得，
，
∴，之间的关系式是，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．
9．（本题3分）（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动．若，点B的横坐标的最大值为，则点A的横坐标最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据图象可分析出点横坐标最大值，根据此时顶点的坐标，进而可知点横坐标的最大值，当运动到点时，点横坐标有最小值，进而可求出结果．
【详解】解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的顶点，二次函数与坐标轴的交点，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．（本题3分）（2023秋·浙江温州·九年级期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（ ）．
A． B．或或
C． D．或
【答案】D
【分析】由可得线段端点坐标为，，然后通过数形结合求解．
【详解】解：把代入得，
把代入得，
∴抛物线，
如图，
把代入得，
∴，
把代入得，
解得，
当时，抛物线经过满足题意，
∴，
解得或（舍），
∴．
如图，
令，整理得，
∴，
解得，
∴或．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法，通过分类讨论，根据抛物线与线段只有1个交点和抛物线与直线相切两种情况求解．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）关于x的函数是二次函数，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】由题意根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2-2=2，进行分析即可求出.
【详解】解：∵关于x的函数是二次函数，
∴m+2≠0且m2-2=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查解不等式以及解一元二次方程和二次函数的定义，能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2-2=2是解答此题的关键．
12．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次函数的性质得出m的取值范围．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
13．（本题3分）（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握配方法把二次函数解析式的一般形式化为顶点式，是解题的关键．
14．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出、的坐标，可求答案．
【详解】解：为14，
令，
解得，
，，，，
．
故答案为：9．
【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．
15．（本题3分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程的解为 ．
【答案】
【分析】利用时，；时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
【详解】解：对于二次函数，
∵时，；时，，
即方程一元二次方程的两根为，
把一元二次方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．
16．（本题3分）（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
【答案】 /
【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得段和段抛物线的解析式，求得点M的横坐标，进一步计算即可求解．
【详解】解：步长（米）；
设点A为原点，所在直线为x轴，则，，，
设段抛物线的解析式为，
将代入得，
∴，
∴段抛物线的解析式为，
∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为
∴设段抛物线的解析式为，
将代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
解方程，
，
即点M的横坐标为162，
由对称性知点N的横坐标为，
∴（步），
（米），
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得段和段抛物线的解析式是解题的关键．
17．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
【答案】或/或
【分析】利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论．
【详解】解：由题意，直线与函数的图象恒相交，
当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，
，
，
解得：；
当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值3
(1)求二次函数的表达式；
(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设二次函数解析式为，把代入求解即；
（2）令，得，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数当时，函数有最大值3，
∴设二次函数解析式为，
把代入得
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解 ∶令，得，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与x轴交点，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象与x轴交点方法是解题的关键．
19．（本题8分）（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】(1)喷出的水流最高处距离地面4米；
(2)喷出的水流不会落在池外．理由见解析
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令，则可以求得最大水平距离．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，y最大，
最大值为，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：令，则，
整理得，即，
解得或（舍去），
∵，
∴喷出的水流不会落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．
20．（本题8分）（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图1，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，羊圈总面积为．
(1)请问能否围成总面积为的羊圈，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
(2)如果两个矩形羊圈各开一个宽的门（如图2），在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围，求出羊圈总面积最大值．
【答案】(1)不能围成总面积为的羊圈，理由见解析
(2)羊圈总面积最大值
【分析】（1）根据题意列出方程，根据根的判别式，即可得到结论；
（2）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，，
整理，得，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不能围成总面积为的羊圈；
（2）解：∵墙长为，
∴，
∴，
解得：，
根据题意，得，
即所求的函数解析式为：．
∵，在对称轴直线x＝右侧y随x 增大而减小，
∴时，y的最大值为85．
答：羊圈总面积最大值．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意表示长方形的长BC，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（本题8分）（2023春·浙江杭州·九年级统考期中）已知二次函数是常数，且的图象过点．
(1)试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由．
(2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求该函数的表达式．
(3)已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围．
【答案】(1)点不在抛物线图象上，见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）把点代入解析式，可得，则可得函数解析式，把点代入得到的函数解析式中，根据求得的函数值与纵坐标比较，即可作出判断；
（2）二次函数的图象与轴只有一个交点，由即可求得a的值，从而求得函数表达式；
（3）先确定抛物线的对称轴，再分与两种情况考虑即可．
【详解】（1）解：将点代入解析式，得，
∴，
，
将点代入，得，
点不在抛物线图象上；
（2）解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
或，
或；
（3）解：抛物线对称轴为直线，
当，时，；
当，时，舍去；
当满足所求；
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点情况，熟悉二次函数的图象与性质是关键．
22．（本题9分）（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
【答案】任务1：；任务2：
【分析】（1），先建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2），由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
【详解】解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为.
令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（2）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
，即喷水口距离地面高度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
23．（本题10分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有，
当取最大值时，三角形面积为最大值．证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
即抛物线解析式为：，
当时，有，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图：
∵，
∴，，
∴，
当取最大值时，三角形面积为最大值．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将、代入，
得：，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，
∴ 面积的最大值：，
即面积最大值为：；
（3）存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为
分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为
②当为平行四边形的对角线时，如图，
方法同①可得，，
∴，
∴点M的坐标为；
③当AC为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴线段的中点H的坐标为，即H，
∴，解得，，
∴，
∴点M的坐标为，
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
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2023-2024学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》易错题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（ ）
A． B．3 C．0 D．9
5．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级统考期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
6．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线上有三点则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知，且，令，则函数S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，．以，为边构造矩形，设点的坐标为，则，之间的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（本题3分）（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动．若，点B的横坐标的最大值为，则点A的横坐标最小值为（ ）
A． B． C． D．0
10．（本题3分）（2023秋·浙江温州·九年级期末）二次函数图象与一次函数只有一交点，则的值为（ ）．
A． B．或或
C． D．或
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）关于x的函数是二次函数，则m的值是 ．
12．（本题3分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
13．（本题3分）（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数的顶点坐标为 ．
14．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径为 ．
15．（本题3分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 7 …
则一元二次方程的解为 ．
16．（本题3分）（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
17．（本题3分）（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值3
(1)求二次函数的表达式；
(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．（本题8分）（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
20．（本题8分）（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图1，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，羊圈总面积为．
(1)请问能否围成总面积为的羊圈，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
(2)如果两个矩形羊圈各开一个宽的门（如图2），在不浪费围栏的情况下，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围，求出羊圈总面积最大值．
21．（本题8分）（2023春·浙江杭州·九年级统考期中）已知二次函数是常数，且的图象过点．
(1)试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由．
(2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求该函数的表达式．
(3)已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围．
22．（本题9分）（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
23．（本题10分）（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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