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专题2.9 三角形中的最值问题（将军饮马模型）
模块1：专题前言
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模块2：知识储备
【解题技巧】
将军饮马模型 图形
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点
模块3：核心考点与典例
考点1: 求两条线段和最小值
例1．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．
例2．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．
【答案】
【分析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根据勾股定理求出ED，即可得出答案．
【解析】作A关于OB的对称点D，连接ED交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，
∵点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，
∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，
∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，
即PA+PC的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键．
变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
【答案】6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，，∴，
∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
变式3．（2022·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP＋CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称 最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
考点2: 求两条线段和最小值（含平移）
例1．（2022·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
【答案】16．
【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．
变式1．（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形 ∴AP＝A'Q
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝ ∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小
∵B'（0，1），A'（2，0） ∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1
∴x＝﹣x+1，即x＝ ∴Q点坐标（，） 故选：A．
变式2．（2022·广东·深圳市八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
考点3: 求两条线段差最大值
例1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点M，，的周长是，若点在直线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件垂直平分，可知，即可将的周长转换为AB+BC，即可求出，再通过作辅助线（见详解），可得到，则中，当共线时（）有最大值即可得到最大值，得到答案．
【详解】解：
∵垂直平分 ∴ 又∵∴
在上取点1∵垂直平分
连接、、∴ ∴ 在中
当运动位置时，即共线时（）有最大值，此时.
即最大值是8cm,故答案选B.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边中，，P是的中线上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE，
∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，∴，，，
在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则， ∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，即，∴，故选A．
【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形三边关系．
变式3．（2022·山东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．
【详解】解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴，
在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
考点4: 求多条线段和的最小值（周长）（双动点问题）
【解题技巧】
要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小
操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出
要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小
操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
例1．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．
变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
变式2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，
DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴ AB CD= AB AC，∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
变式3．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ
∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称，
∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵轴，B、关于AG对称，∴,，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，
∴，同理可得,即．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
模块4：同步培优题库
1．（云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，
即EF+BE的最小值为6．故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
2．（2022·山东山东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】作点关于的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，
∴，，
∴，，
是的中点，
∴，
∵是点关于的对称点，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
3．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知为底边上的高线，根据面积关系即可求得的长，根据垂直平分线的性质可知点和点关于直线EF对称，所以当与重合时，的值最小，根据和的长度即可求得周长的最小值．
【详解】如图
∵的面积为12，∴，，解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出点的位置．
4.（2022 芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4 CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
5．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC，．由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，
∴PA=PC，．
∵,∴．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，∴此时最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为的平分线，∴．
∵，即，∴．
故选C．
【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．
【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，
此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，
根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
∴AG=AH=GH=2，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=60°，
∴∠FAB=∠GAH=30°，故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
7．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴ AB CD= AB AC，∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ
∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称，
∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵轴，B、关于AG对称，∴,，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，
∴，同理可得,即．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
9．（2022·四川眉山·初二期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】C
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解析】如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
10．（2022·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.（2022·河南八年级期末）如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，边上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】在上取点，使，连接，过点作，垂足为．利用角的对称性，可知，则EC＋EF的最小值即为点C到AB的垂线段CH的长度，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作，垂足为．
平分，根据对称可知．
，．
，
当点、、共线，且点与点重合时，的值最小，最小值为CH=，故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称-线段和最小值问题，添加辅助线，把两条线段的和的最小值化为点到直线的距离问题，是解题的关键．
12．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
【答案】6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6．故答案为6．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．
13．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
【答案】20．
【分析】根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【详解】由沿AD对称得到，则E与C关于直线AD对称，
，∴，如图,连接，
由题意得，∴，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴周长为，最小值为．故答案为:20．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
14．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．（1）________；（2）________．
【答案】
【分析】作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA PB|，故当点P运动到P点时|PA PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
【详解】解：如图，
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，则点P即为所求点．
过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，
∴AB＝，即PA＋PB的最小值是a＝．如图，
延长AB交MN于点P，∵PA PB＝AB，AB＞|PA PB|，∴当点P运动到P点时，|PA PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC BD＝8 5＝3，
∴AB＝＝5．∴|PA PB|＝5为最大，即b＝5，∴a2 b2＝185 25＝160．故答案为：160．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
15．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．
16．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．
【答案】10
【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A F'C'|的值最大，即|FA FC|的值最大，最大值为线段AC'的长．
【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．
∵△CFE的面积为8，即EC FH=8，CE=8，∴FH=2，
过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A F'C'|的值最大，即|FA FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，
∵AE=10，∴AK=AE EK=10 4=6，∴AC'=，
∴|FA FC|的最大值为10．故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称 最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】
作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA1交BC1于点E，C、A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10．
【详解】解：连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
∵△ABC是等边三角形，∴是等边三角形，AB=A1B=5
∵A、B、三点在一条直线上，∴ △ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10，故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（2022·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________．
【答案】6
【分析】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，得．连接、、，，得，当点，，三点在一条直线，距离最短．过点作交于点，得，得，，，为中点时值最小．又根据，即可求出的面积．
【详解】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，连接、、
∴，
又∵，∴
∴∴
由图可知，当点，，在一条直线上，距离最短
过点作交于点∴∴
又∵，
∴∴
∴∴故答案为：6．
【点睛】本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．
20．（2022·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
【答案】18
【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵，，
∴，即：，∴，解得：AB=14，
∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．
【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
21．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）在中，，，
点是斜边的中点，，是等边三角形；
（2）如图，连接，
和都是等边三角形，，，
，垂直平分，，
同理可得：垂直平分，，，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
22．（2022·浙江·八年级课时练习）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
【答案】（1）80；（2）是等边三角形；（3）．
【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；
（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；
（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明，从而可知，再根据30°直角三角形性质可知即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①结论：是等边三角形．
证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等边三角形．
②结论：．
证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；
∴，
∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，
如解图2，P、E、三点在一条直线上，
由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵点D、点是关于直线AF的对称点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将转化为三角形三边关系找到P的位置，并证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形．
23．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】（1）；（2），图和理由见解析
【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，
∵是的中点，∴BE=BA=，
∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，
∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案为：；
（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，
∴CM+MN的最小值为C′N==．
【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
24．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值．
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质求解D'E的长是解题的关键．
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专题2.9 三角形中的最值问题（将军饮马模型）
模块1：专题前言
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模块2：知识储备
【解题技巧】
将军饮马模型 图形
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点
模块3：核心考点与典例
考点1: 求两条线段和最小值
例1．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
例2．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．
变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
变式2．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______．
变式3．（2022·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
考点2: 求两条线段和最小值（含平移）
例1．（2022·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
变式1．（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
变式2．（2022·广东·深圳市八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
考点3: 求两条线段差最大值
例1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点M，，的周长是，若点在直线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
变式2．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
变式3．（2022·山东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
考点4: 求多条线段和的最小值（周长）（双动点问题）
【解题技巧】
要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小
操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出
要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小
操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
例1．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
变式2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
变式3．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
模块4：同步培优题库
1．（云南省红河哈尼族彝族自治州建水县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·山东山东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
3．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
4.（2022 芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
8．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2022·四川眉山·初二期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
10．（2022·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
11.（2022·河南八年级期末）如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，边上的动点，则的最小值为__________．
12．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
13．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
14．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．（1）________；（2）________．
15．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
16．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．
17．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
18．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．
19．（2022·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________．
20．（2022·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
21．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
22．（2022·浙江·八年级课时练习）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当时，则_______°；（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
23．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
24．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
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