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专题2.11 特殊三角形 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·八年级期中）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D选项正确，
不一定成立，故B选项错误，所以，不一定正确的是B．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
3．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
4．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由是等边三角形，可得∠B=60°，由是边上的中线，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】解：∵是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故选择：B．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
5．（2022·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．
【点睛】此题考查等边三角形性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
6．（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
【答案】C
【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．
【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，
∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，
在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
7．（2022·广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过作交于，，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，，，，，，，
在和中，，，
，，，，，故选：C．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
8．（2022·重庆八年级期末）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．
【解析】解：∵ ∴ ∴
又∵ ∴ ∴
∵在等腰直角三角形中∴
∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2022·江苏西附初中八年级月考）8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于与的和；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【答案】A
【分析】根据角平分线与平行线易得∠DBF=∠DFB，从而可得BD=DF，同理可得EF=CE，由此可判断①②③正确，无法判断BF与CF的大小关系．
【解析】①∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF∴，都是等腰三角形∴①正确；
②∵，都是等腰三角形∴DF=DB，FE=EC∴∴②正确；
③的周长 ∴③正确；
④∵不是等腰三角形∴∠ABC≠∠ACB∴∠FBC≠∠FCB∴BF=CF是错误的，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，掌握角平分线加平行线，得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
10．（2022·湖南八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案．
【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，，
，，故正确；
，，
在和中，，
≌，故正确；，，
，是直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，，，故正确；
在上截取，连接，如图所示：在和中，，
≌，，当时，是等边三角形，
则，此时，故不正确；故选：．
【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·杭州初二期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【答案】673
【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解析】解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
12．（2022·江苏九年级模拟）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形个数有6个．故答案：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
13．（2022·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值．
【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则，
观察图形可得：，
即，
∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
14．（2022·浙江初二期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
【答案】100
【分析】如图：连接BO，CO，根据角平分线性质和中垂线性质可得∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；再证△ABO≌△ACO，进而求得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
【解析】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=25°，
∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=25°，∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=40°，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×40°=100°．故答案是100．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质以及翻折变换的性质，正确作出辅助线、构造出等腰三角形是解答本题的关键．
15．（2022·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
【答案】22019
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵、是等边三角形，
同理可得：∴，∴，，
，…，则的边长为．故答案为：22019．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．（2022·四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．
【答案】150 135
【分析】根据长方形纸条的对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出图b中∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得图c中∠CFE的度数．
【解析】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，∴EH∥GF，∴∠1＝∠EFG，
根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°，∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，
又∵∠DEF＝15°，∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．
在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，
根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．故答案为：150；135．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．
17．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
【答案】45°
【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到∠EAC=∠ABD，由∠BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到∠BGE=60°，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180°，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG=60°和利用方程的数学思想．
18．（2022·陕西交大附中分校九年级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
【答案】9
【分析】将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，证明是等边三角形，得，再根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】解：将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，
连接，如图，
由翻折知，，， ，，
∵∠CED＝120°，∴ ∴
∴ ∴
∴是等边三角形，∴ 由两点之间线段最短得，
当在同一条直线时，取最大值为：3+3+3=9，故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明是等边三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·八年级专题练习）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
【答案】（1）①画图见解析，②画图见解析，③；（2）画图见解析
【分析】（1）①根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'； ②连接交直线l于点P，即可使得△APC的周长最小；③利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可；
（2）把向右边平移两个单位，再向下平移3个单位，得 再把沿直线DE对折得到，从而可得答案．
【详解】解：（1）①：如图，△A'B'C'即为所求；
②如图，点P即为所求；
③△ABC的面积=．
（2）如图，是所作的三角形，
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，三角形的面积的计算，全等三角形的概念，利用平移与轴对称的性质作图是解本题的关键．
20．（2022·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
【答案】（1）2.5米；（2）2.7米
【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度，
（2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案.
【详解】（1）在中，∵，米，米，
∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米
（2）在中，∵，米，，
∴，∴．
∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
21．（2022 浙江八年级月考）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．
(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．
(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析
【分析】（1）利用平分可得，根据得到，进而得到，即可证得；（2）延长到，使，连接，即可证明，于是得到， ，根据平分可得，等量代换即得 ，即可证明.
【解析】(1)证明：∵平分，∴
∵∴
∴，
∴，∴．
(2)证明：如图，延长到，使，连接，
，，，
，，，
平分，，
，．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等边对等角，解答本题的关键是添加辅助线证明．
22．（2022·浙江八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：
如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；
长方形DEFG中，由勾股定理有：；
都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．
（2）解：答案如图所示．
（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
23．（2023四川广元八年级期末）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．
(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=BF．
（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，∵∠BDC=90°，∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，，∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，∴∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AB=CB，∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵△FBD≌△ACD，∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE=，∴CE=BF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
24．（2022·江苏八年级期末）(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°(2)①90°；②AE＝BE+2CM，理由见解析
【分析】（1）先判断出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判断出DM＝CM，即可得出结论．
【解析】(1)解：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△CD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
(2)①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，
∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，∴DM＝CM，
∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE时解本题的关键
25．（2022江西景德镇八年级期中）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．
(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；
（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；
（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．
（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，
∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，
∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，
∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；
（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，
∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，
∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；
（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．
∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，
∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，
∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，
∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．
26．（2022·浙江八年级期末）已知在中，，点 在的外部，且．
（1）如图 1，若，设，求；
（2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点；
（3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）由题意可知：，则，进而求得，由等腰三角形的性质可得，最后求得；
（2）过点作，，由题意可知和都为等腰直角三角形，又因为，,可得到点和点分别是和的中点，进而得出结论；
（3）过点作，，由中心对称可知，，可证≌，可得,，由证得≌，得到，由证得≌，可得，即可求得结论．
【解析】解：（1），，
，，，
，，，
，，
，，
．
答：的大小为．
（2）如图所示，连接，过点作，，
，且为的中点，
，且和都为等腰直角三角形，
又，，
点和点分别是和的中点，
和分别是和的中垂线，
故三边的垂直平分线交于点．
（3）如图所示，过点作，，
线段的垂直平分线交的延长线于点，，
点正好和点关于线段的中点对称，
，，且，
≌，，，
，，，且，
，且，，
≌，，且，
≌，，
，，，
，，
，即，为直角三角形．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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专题2.11 特殊三角形 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·八年级期中）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
4．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
5．（2022·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
7．（2022·广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2022·重庆八年级期末）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏西附初中八年级月考）8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于与的和；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
10．（2022·湖南八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·杭州初二期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
12．（2022·江苏九年级模拟）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
13．（2022·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
14．（2022·浙江初二期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
15．（2022·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
16．（2022·四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．
17．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
18．（2022·陕西交大附中分校九年级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·八年级专题练习）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
20．（2022·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
21．（2022 浙江八年级月考）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．
(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．
(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．
22．（2022·浙江八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（2023四川广元八年级期末）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．
(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．
24．（2022·江苏八年级期末）(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
25．（2022江西景德镇八年级期中）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．
(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．
26．（2022·浙江八年级期末）已知在中，，点 在的外部，且．
（1）如图 1，若，设，求；
（2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点；
（3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形．
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