中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7 数轴中的八类动态问题 专题讲练
模块1：专题前言
数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块2：知识储备
①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：；
②求A、B的中点：；
③数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
模块3：核心考点与典例
考点1.左右跳跃模型（动态规律模型）
【解题技巧】
例1．（2023·浙江七年级阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．159 B．-156 C．158 D．1
【答案】A
【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．
【详解】解：设向右为正，向左为负，则
表示的数为+1， 表示的数为+3， 表示的数为0， 表示的数为-4， 表示的数为+1……
由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以．
故在数轴上表示的数为159．故选A．
【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键．
例2．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
变式1．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
【答案】C
【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答．
【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4；
第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5；
第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…；
当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是，
当时，解得，n=（不符合题意，舍去）．
当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…，
第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键．
变式2．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期末）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
(1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位；
(2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m；(3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇．
【答案】(1)6(2)(3)4
【分析】（1）利用规则可知甲乙都对两人移动后两人的距离缩短2个单位，甲对乙错两人移动后两人的距离缩短2个单位，由此可得结论；（2）根据乙猜对n次，则甲猜对 次，利用平移规则即可推算出结果；（3）由题意可得开始时两人相距8个单位，根据情况推算3种情况缩小的距离即可得到结果．
【详解】（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴 和5的位置上，∴甲乙之间的距离为8，
∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，
∴移动后甲乙的距离缩小2个单位，∴移动后甲乙的距离为： 个单位)；
（2）解：由题意可得，乙猜对n次，则乙猜错 次，则有： ；
（3）解：由题意可得，
∵若甲乙都对，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，
∴移动后甲乙的距离缩小2个单位，
∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，
∴移动后甲乙的距离缩小2个单位，
∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位，
∴移动后甲乙的距离缩小2个单位，
∵甲乙之间的距离为8，∴甲、乙两人相遇要经过： （次）．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键．
考点2.点的常规运动模型
【解题技巧】
例1．（2023·江苏、·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．
【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；
（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；
（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.
【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：，
点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，
故答案为：－5, －11； 6．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t．
（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；
当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；
当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.
变式1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式2．（2022·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4
【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；
用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；
根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；
①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；
②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可．
【详解】如图，
之间的距离为，B，C两点间距离为；
两点之间的距离为；
①设点表示的数为，点表示的数为，令解得，
②间的为，令解得．
【点睛】本题考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．
考点3.中点与n等分点模型
【解题技巧】
例1．（2022·山东·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2-4+（8-2+1）=6，
故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
例2．（2022·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．
(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或(2)①2秒中后点P为线段的中点；②或
【分析】(1)分计算即可．
（2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为，
根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可．
②分两种情况计算求解即可．
【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，不符号题意，故或．
（2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为，
因为点P为线段的中点，所以，解得．
②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，所以，
当时，则，解得．
当时，则，解得．
当或时，点P为线段的三等分点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
变式1．（2022秋·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确 故选A
【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
变式2．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，．
【分析】（1）根据距离公式进行求解即可；（2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可；（3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为，
或，解得或．故答案为：或；
（2）解：∵圆的半径为，此圆的周长，当圆向左滚动时点表示的数是；
当圆向右滚动时点表示的数是．故答案为：或；
（3）解：∵，∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧．
①当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
②当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
③当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
综上所述，，或，或，．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
考点4.动态定值（无参型）模型
【解题技巧】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当计算结果中不含有未知数，则为定值。
例1．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足．
(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)4(2)或(3)正确的结论为①的值不变，其值为2
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出， ，再分别代入①和②求出其值即可．
【详解】（1）解：∵，∴，，
∴，∴．答：的长为4；
（2）∵，∴，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，
∵，∴，令，，∴或．
①当时，，；
②当时，，（舍去）；
③当时，，．
∴当点P表示的数为或时，；
（3）解：设P点所表示的数为n，∴，．
∵PA的中点为M，∴．
∵N为的四等分点且靠近于B点，∴B，
∴①=2（不变），②（随点P的变化而变化），
∴正确的结论为①，且．
【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．
例2．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC
【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC AC的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案为：3，5，8；
（2）2BC AC的值不会随着时间t的变化而改变．设运动时间为t秒，
则2BC AC＝2[6＋5t （1＋2t）] [6＋5t （ 2 t）]＝12＋10t 2 4t 8 6t＝2，
故2BC AC的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，BC＝5 5t（t＜1时）或BC＝5t 5（t≥1时），
AC＝8 4t（t≤2时）或AC＝4t 8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5 5t）＝8 4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t 5）＋（8 4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t 8）＝5t 5＝BC．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；
（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．
【答案】（1）线段AB的长为5；（2）存在，当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不变，为.
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点M在数轴上对应的数是m，由MA+MB＝BC+AB确定出M位置，即可做出判断；
（3）设N点所表示的数为n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根据条件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．
【详解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，
∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：线段AB的长为5；
（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．
设点M在数轴上对应的数是m，
∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，
令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．
①当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=9， m=﹣5；
②当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=9（舍去）；
③当m＞2时，m+3+m﹣2=9，m=4．
∴当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；
（3）设N点所表示的数为n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．
∵NA的中点为Q，∴NQ＝NA＝，
P为NB的三等分点且靠近于B点，∴BP＝NB＝（n﹣2），
∴×-×(n-2)=，故的值是不变的．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，去绝对值的运用，解答时灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
变式2.（2022·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴，
当，无解；
当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，为定值，即的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
考点5.折线数轴（双动点）模型
例1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或
【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；
（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上，
即时，M表示的数是，N表示的数是，
∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，
故答案为：，，；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴，即，∴或，
解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，
∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当，即M在从点O运动到点C时，，即，
∴或，解得或，
当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
变式1．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【答案】(1)2.5(2)15(3)
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3
【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；
（3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或；
④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论．
变式2．（2022·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或
【分析】（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可；
（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；
（3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可．
【详解】解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，
即点在数轴上表示的点是
点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12，
则、和谐距离是：个单位长度；
（2）如图示：
点运动到点位置时，用的时间是：秒，
当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒，
则，∴，设点，点在在上的运动时间是，
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，
依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；
当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，
依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；
综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒，
可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒，
①当点在，点在上运动时，依题意得：解得：，不合题意，舍去；
∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动，
②当点在，点在上运动时，依题意得：解得：；
③当点，点在上运动时，依题意得：解得：；
④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点，
当点在，点在上运动时，无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间；
⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得：
解得：，不合题意，舍去；
⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得：
解得：；
综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或；
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．
考点6.动点往返运动模型
例1．（2022秋·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可．
【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，，③错误；
当时，，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
当时，，由题意得，，解得，不符题意；
④正确 故选：D
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为 个单位长度．
（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？
（3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？
【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒.
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离；
（2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；
（3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可．
【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，
∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14．故答案为14；
（2）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．
答：经过5秒点M与点N相距54个单位；
（3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，
此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13．
设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等．
依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝，
设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等．
依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝．
答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
变式1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度
【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【详解】（1）∵，2的绝对值是2，
，的绝对值是2，∴点P对应的数是1．
（2）当P在之间，（不可能有）
当P在A的左侧，，得
当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则．
答：点P所经过的总路程是个单位长度．
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解．
变式2．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，∴，
∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，如图所示：
则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：
∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：
∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，∴，解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：
∴，，
∵PB=BQ，∴，解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．
考点7.线段和差且含参模型
例1．（2023春·广东深圳·七年级校考开学考试）如图，已知：数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，点B在点A左边且点A与点B的距离，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．
(1)写出数轴上点B表示的数 ；(2)经过多少秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的数是多少？(3)若点M为中点，N为中点，是否存在常数k使得的值为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)经过4秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是(3)存在，
【分析】分析：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：①相遇前P、Q两点的距离为6个单位长度；②相遇后P、Q两点的距离为6个单位长度；进行讨论即可求解；（3）设运动时间为秒，分别表示出所表示的数，进而表示出，用含的式子表示出的值，根据与的值无关，进行求解即可．
【详解】（1）解：（1）数轴上点B表示的数是．故答案为：；
（2）设经过x秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，依题意有：
①相遇前P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得，
则点P表示的数是；
②相遇后P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得．
则点P表示的数是．
答：经过4秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；
（3）解：存在；设运动时间为秒，则：点表示的数为：，点表示的数为：，
∵点M为中点，N为中点，
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，，∴，
∴当时，即，是定值：．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用以及整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，列出方程，是解题的关键．注意分类思想的应用．
例2．（2022春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；； (2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或
(3)存在常数，使得的值为定值，该定值为
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值；（2）当运动时间为秒时，点表示的数为．
根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数；（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为．
（1）解；，，，，．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
，故答案为：，，；
（2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为．
依题意得：，解得：，故点运动秒时追上点．
依题意得：，即或，解得：或．
当时，；当时，．
综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或；
（3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，，
．
的值为定值，，，
存在常数，使得的值为定值，该定值为．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，，的长度．
变式1．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．
(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合条件的k，k=6．
【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c；
（2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x；
（3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，∴，
又∵，∴．∴；
（2）解：由题意得：，∴，
当时，，当时，，综上：或；
（3）解：假设存在符合条件的k，经过t秒，点A表示的数为，点B表示的数为，且A，B都在点C右侧，∴，，
∴，
∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变，
∴，∴，∴存在符合条件的k，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|．
（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数，
①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________
②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA PB=50 若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；
③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390.
【分析】（1）利用绝对值的性质和数轴即可求出a，利用b2=400和数轴即可求出b，利用c的相反数即可求出c；（2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求出AC，再利用中点公式即可求出折痕所表示的数；
②设P表示的数为，根据P点不同的位置及数轴上两点的距离公式分类讨论即可；
③设运动时间为t，利用数轴上两点之间的距离公式，表示出CA、OB、OA，将它们代入3CA+2mOB-mOA并化简，再根据其为定值，即与t值无关，令t的系数为0即可.
【详解】解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30
解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30由数轴可知：a＞0，b＞0∴a＝10，b＝20，c＝﹣30
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式：AC=| a－c|=40；
若A、C两点重合，则折痕在数轴上所表示的点即为AC的中点，故折痕处在数轴上表示的数是；
②存在，求法如下 假设P点所表示的数为，
当P在C左侧时，即，如下图所示：
∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－
根据PC+PA PB=50，∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50解得：.
若P在C、A之间时，即，如下图所示：
∴PC=，PA=10－，PB=20－ 根据PC+PA PB=50
（）＋（10－）－（20－）=50 解得：，不符合前提，故舍去；
若P在A、B之间时，即，如下图所示：
∴PC=，PA=，PB=20－ 根据PC+PA PB=50
（）＋（）－（20－）=50 解得：；
若P在B右侧时，即，如下图所示：
∴PC=，PA=，PB= 根据PC+PA PB=50
（）＋（）－（）=50 解得：，不符合前提，故舍去；
综上所述：P点在数轴上所对应的数是：-90或.
③存在，理由如下：
设运动时间为t，此时C表示的数为：﹣30＋4t，A表示的数为：10＋7t，B表示的数为20＋3t.
∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：
原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t） =（9－m）t＋120＋30m
∵3CA+2mOB-mOA为定值，即与t值无关，令t 的系数为0即可，
∴9－m=0，解得：m=9，代入得： 定值=120＋30×9=390.
【点睛】此题考查的是（1）用绝对值的性质去绝对值，相反数的定义及平方的意义；（2）根据点的不同位置进行分类讨论及数轴上任意两点之间的距离；（3）长度与某个变量无关时令其系数为0.
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（2022秋·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．
(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．
【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒
【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为；
（3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得．
【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合
∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点，
∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3
（2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，
设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：；
②设点A表示的数为x，则点B表示的数为，
，∴，，故答案为：，6；
（3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为，
∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点，
∴点E与点F也恰好重合时，，∴．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009
【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数；
（2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数；
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合，
∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5．
（2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，
∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17．
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，
根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．
答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009．
【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键．
变式2．（2022·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；
（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；
（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．
【答案】（1）-4；（2）5；（3）或．
【分析】（1）根据对称，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到4的对称点；
（2）若数﹣1表示的点与数3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到-3的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；
（3）先得到A点与对称中心的距离，再进一步得到折线与数轴的交点表示的有理数
【详解】（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是．故答案为：或
【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系，注意：数轴上的点和数之间的对应关系，即左减右加
模块4：同步培优题库
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据数轴上两点之间的距离为丨a-b丨求解即可．
【详解】解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝丨2﹣（﹣3）丨＝5，
∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，∴P在A，B之间，
∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，共4个．故选：D．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上两点间距离的表示是解答的关键．
2．（2022·广东七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可．
【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，
∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故选C．
【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键．
3．（2022·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．
4．（2022·福建·厦门市七年级期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
【答案】C
【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知，，，然后分分类讨论：①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答.
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意可知：，，，，
①当动点P、Q在点O左侧运动时，
，
∵，∴；
②当动点P、Q运动到点O右侧时，
，
∵，∴，
综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的整数倍，故选：C.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用.
5．（2023·广西·七年级课时练习）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过______秒，点P、点Q分别与原点的距离相等．
【答案】20或2
【分析】分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可．
【详解】解：设运动的时间为t秒时，点P、点Q分别与原点的距离相等，
①当点P在原点的左侧时，有17-4t=3+3t，解得，t=2，
②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，
有4t=20+3t，解得，t=20，故答案为：20或2．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题关键．
6．（2022·浙江·七年级期中）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为____．
【答案】－5
【分析】设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x﹣13，则可得AB的中点的代数式，当点Q移动到线段AB的中点时，进而可求得答案．
【详解】解：设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x＋3﹣16＝x﹣13，
∵AB的中点可表示为（x＋3＋x﹣13）÷2＝x﹣5，
∴当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为x﹣5﹣x＝﹣5，故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了数轴，理解两点之间的距离是解题的关键．
7．（2022·江苏·苏州市七年级阶段练习）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 _____cm．
【答案】5
【分析】由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为5cm．
【详解】解：由数轴观察知三根木棒长是20-5＝15(cm)，则此木棒长为15÷3＝5(cm)，故答案为：5．
【点睛】本题考查了数轴，数形结合是解决本题的关键．
8．（2022·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
【答案】5或3.5
【分析】随着点B的运动，分别讨论点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【详解】解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5
【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
9．（2022·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
（1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合．（2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________．
（3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________．
【答案】（1）-5；（2）-7或3；（3）1009，-1011
【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数；（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可；（3）依据M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M、N所表示的数；
【详解】（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于-1对称，，
而，∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合；故答案为．
（2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，
∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示时，，，
当点A表示5时，，，∴B点表示的数是或3；故答案是：或3；
（3）∵M、N之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，
∴，，
∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1009，N点表示的数是；故答案是1009；；
【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，准确计算是解题的关键．
10．（2022·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位？．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁、表示乙蚂蚁）分别从，两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【答案】解：（1）-10.4；（2）2或5秒；（3）秒或秒或秒．
【分析】利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
【详解】解：（1）设秒后甲与乙相遇，则，解得，
，．故甲、乙在数轴上的相遇；
（2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，
点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为，故甲应为于或之间．
①之间时：解得；
②之间时：，解得．
（3）∵甲的速度变为原来的3倍，即甲的速度变为12个单位/秒，
①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，则依题意得：，解得，
②设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，则依题意得：，解得；
③设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，则依题意得：，解得，
综上所述，或或秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解是解题关键．
11．（2022·湖南·凤凰县七年级期末）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，O表示原点，且，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
(2)已知线段OA上有点C且|AC|=9，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．
(3)在（2）的条件下，点P第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度第四次向左移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请指出，第几次移动与哪一点重合？
【答案】(1)15(2)-1或7 (3)能，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合
【分析】（1）根据非负性求出a、b的值，进而得出A、B两点的距离；
（2）设P对应的数是x，根据条件PB=2PC，列出方程，求出P对应的数；
（3）分别针对第（2）问的两种结果，探究点P移动的位置，得出结论．
(1)解：由题可知a=10，b=-5，A、B位置如图所示：
AB=10-（-5）=15；
(2)解：∵点C在线段OA上，且|AC|=9，∴点C对应的数是：10-9=1，
设点P对应的数是x，则当P在点B左侧时，PB当P在线段BC上时，x-（-5）=2（1-x），x=-1，
当P在点C右侧时，x-（-5）=2（x-1），x=7，∴点P对应的数是-1或7；
(3)解：设点P第n次移动后表示的数为Pn,，
①当点P对应的数是-1时，则P1=-1+1=0，P2=0-3=-3，P3=-3+5=2，P4=2-7=-5，…，
∴n为奇数时，Pn=n-1，n为偶数时，Pn=-（n+1），
∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；
②当点P对应的数是7时，则P1=7+1=8，P2=8-3=5，P3=5+5=10，P4=10-7=3，…，
∴n为奇数时，Pn=n+7，n为偶数时，Pn=-（n-7），
∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合，
综上所述，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合．
【点睛】本题考查了非负数的性质，两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，以及数轴上的动点问题，解决本题的关键在于平方数和绝对值的非负性，求出a、b以及分类思想的应用．
12．（2022·吉林·四平市七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为，则_______．
（3）若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？
（4）若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动。设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）秒或秒；（4）不变化，值为．
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；（4）表示出，再相减即可解题．
【详解】解：（1）如图，
（2）故答案为：；
（3）①当点A在点C的左侧时：
②点A在点C的右侧时：所以，经过或秒后点A到点C的距离为3cm，
（4）BA=，CB=
的值不会随着的变化而变化，BA-CB =．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．（2022·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，，
∴，，
∵，∴，∴；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为，，∴
∵，∴，∴；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，∴
∵，∴，∴，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，∴，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，∴，解得，
∴综上所述，当，t=1或18．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．
14．（2022·广东七年级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的长；（2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
【答案】（1）3；（2）存在，或；（3）不变，值为．
【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB；（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答；
（3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值．
【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，
又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0，∴a＋2＝0，b﹣1＝0.∴a＝﹣2，b＝1.
∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，∴AB＝|﹣2﹣1|＝3答：AB的长为3；
（2）存在点P，使得PA＋PB＝PC．设点P对应的数为x，
当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2，∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，
PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|﹣x|＝﹣x．
∵PA＋PB＝PC，∴﹣2﹣x＋1﹣x＝﹣x．解得：x＝﹣．
当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1，
∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|﹣x|＝﹣x．
∴x＋2＋1﹣x＝﹣x．解得：x＝﹣．
当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意．
综上，点P对应的数为﹣或﹣；
（3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
由（1）知：AB＝3，由（2）知：BC＝﹣1＝，∴AB﹣BC＝．
∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动，∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3.
∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝（9﹣4）t＋（﹣1）＝5t＋．∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋）＝．
∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为．
【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键．
15．（2022·河北·景县七年级期中）自主学习：连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离．
[问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空：
①点与点的距离是2；②点与点的距离是________；③点与点的距离是________；
[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示）
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
[问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系．
①的中点表示的数是1；②的中点表示的数是________；③的中点表示的数是________；
[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示）
[应用]在数轴上，点表示的数为-6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是______．
【答案】[问题1]②2；③4；[发现1]；[问题2]②-2；③；[发现2]；[应用]或
【分析】问题1：②③直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；
发现1：直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；
问题2：②③利用数轴计算得出中点坐标即可；
发现2：利用数轴上两点间的中点坐标求解即可
应用：分点N在M的左边和右边，求得N点坐标，再利用中点坐标公式求得答案即可．
【详解】解：[问题1]②点与点的距离为；③点与点的距离为；
[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是（用含，的代数式表示）
[问题2]②的中点表示的数是；③的中点表示的数是；
[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是．
[应用]由题意得，解得：或，
线段中点表示的数为或，
【点睛】本题考查了数轴相关知识，解答此类题目可以采取“数形结合”的数学思想，注意分类思想的应用.
16．（2022·四川·成都市七年级阶段练习）如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3
【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可．
（2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可．
（3）由题可知：点表示的数为，点表示的数为，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类讨论，分别求出①当时，②当时，③当时对应的t的值．
【详解】（1）点在点左侧时，为：，
点在点右侧时，为：，综上所述，点对应的数为或2．
（2）①当对应的数为时，
：个单位，（秒），：，∴；
②当对应的数为2时，
：个单位，（秒），：，．
综上所述，，两点之间的距离为4或12．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知：点表示的数为，点表示的数为，∴，，
，，
分三种情况：
①当时，为中点或与重合，
若为中点，如图，
则，即，解得，
若与重合，如图，
则，即，解得．
②当时，为中点或，重合，
若为中点，如图，
则，即，解得，
若，重合，则（不合题意）
③当时，为中点或，重合，
若为中点，如图，
则，即，解得，
若，重合，则，即，解得．
综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键．
17．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇 (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；
（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
18．（2022·山东济南·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1、5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A点B分别以2个单位长度每分和1个单位长度每分的速度同时向右运动，点P以6个单位长度每分的速度向O点向左运动，当遇到A时，点P以原来的速度向右运动，并不停得往返于A与B之间，求当A遇到B重合时，P所经过的总路程．
【答案】（1）2；（2）存在x的值，当x=-2或4时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；（3）点P所经过的总路程是36个单位长度
【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、5，根据数轴即可确定点P对应的数；（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②当点P在B点右边时，分别求出x的值即可．（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=6+x．
【详解】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段AB的中点．
∵点A、B对应的数分别为﹣1、5，∴点P对应的数是2；故答案为：2；
（2）①当点P在A左边时，-1-x+5-x=8，解得：x=-2；
②点P在B点右边时，x-3+x-（-1）=6，解得：x=4，
即存在x的值，当x=-2或4时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x=6+x，解得x=6，则6x=36，
答：点P所经过的总路程是36个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．（2022·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
【答案】（1）点对应的数为30；AC=120；（2）①；②的值为5或20；③相遇2次；点在数轴上对应的数为－15或．
【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出AC的距离；(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-A中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7 数轴中的八类动态问题 专题讲练
模块1：专题前言
数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块2：知识储备
①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：；
②求A、B的中点：；
③数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
模块3：核心考点与典例
考点1.左右跳跃模型（动态规律模型）
【解题技巧】
例1．（2023·浙江七年级阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．159 B．-156 C．158 D．1
例2．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
变式1．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
变式2．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期末）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
(1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位；
(2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m；
(3)经过_________次移动游戏，甲、乙两人相遇．
考点2.点的常规运动模型
【解题技巧】
例1．（2023·江苏、·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
变式1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？
考点3.中点与n等分点模型
【解题技巧】
例1．（2022·山东·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
例2．（2022·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．
(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022秋·成都市·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
变式2．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
考点4.动态定值（无参型）模型
【解题技巧】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当计算结果中不含有未知数，则为定值。
例1．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足．
(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．
例2．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．
变式2.（2022·福建·厦门市七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
考点5.折线数轴（双动点）模型
例1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
变式1．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
变式2．（2022·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
考点6.动点往返运动模型
例1．（2022秋·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度．（1）求A、B两点的距离为 个单位长度．
（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？
（3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？
变式1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
变式2．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．
考点7.线段和差且含参模型
例1．（2023春·广东深圳·七年级校考开学考试）如图，已知：数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，点B在点A左边且点A与点B的距离，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．
(1)写出数轴上点B表示的数 ；(2)经过多少秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的数是多少？(3)若点M为中点，N为中点，是否存在常数k使得的值为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
例2．（2022春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．
(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|．
（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数，
①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________
②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA PB=50 若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；
③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由.
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（2022秋·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．
(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
变式2．（2022·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；
（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；
（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；
（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．
模块4：同步培优题库
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·广东七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2022·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
4．（2022·福建·厦门市七年级期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
5．（2023·广西·七年级课时练习）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过______秒，点P、点Q分别与原点的距离相等．
6．（2022·浙江·七年级期中）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为____．
7．（2022·江苏·苏州市七年级阶段练习）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）则木棒MN长为 _____cm．
8．（2022·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
9．（2022·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
（1）则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合．（2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是_________．
（3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，N点表示的数是________．
10．（2022·四川·宜宾八中七年级阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）问多少秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位？．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用表示甲蚂蚁、表示乙蚂蚁）分别从，两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
11．（2022·湖南·凤凰县七年级期末）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，O表示原点，且，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
(2)已知线段OA上有点C且|AC|=9，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．
(3)在（2）的条件下，点P第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度第四次向左移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请指出，第几次移动与哪一点重合？
12．（2022·吉林·四平市七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向右移动到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为，则_______．
（3）若点A沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为？
（4）若点A以每秒的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒、的速度匀速向右移动。设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
13．（2022·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
14．（2022·广东七年级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的长；（2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
15．（2022·河北·景县七年级期中）自主学习：连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离．
[问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空：
①点与点的距离是2；②点与点的距离是________；③点与点的距离是________；
[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示）
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
[问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系．
①的中点表示的数是1；②的中点表示的数是________；③的中点表示的数是________；
[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示）
[应用]在数轴上，点表示的数为-6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是______．
16．（2022·四川·成都市七年级阶段练习）如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
17．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇 (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
18．（2022·山东济南·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1、5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A点B分别以2个单位长度每分和1个单位长度每分的速度同时向右运动，点P以6个单位长度每分的速度向O点向左运动，当遇到A时，点P以原来的速度向右运动，并不停得往返于A与B之间，求当A遇到B重合时，P所经过的总路程．
19．（2022·山东·梁山县水泊街道初级中学七年级期中）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
20．（2023·陕西·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
21．（2023·广东广州·七年级校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
22．（2022秋·重庆·七年级校考期中）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等．
(1)则a=______，b=_______．
(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段O处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中AO、OC、CB代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中：
①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少．
②是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：
(1)则m = _________ ，n = _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度；
②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢 聪明的你能帮小阳求出来吗 (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关 若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由．
24．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
25．（2022·四川·成都市七年级阶段练习）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且．（1）线段的长为 ；（2）点在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在线段上是否存在点使得 若存在，请求出点在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；（3）在(2)的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求的值．
26．（2022·北京西城·七年级校考期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是的奇点．
例如，点A表示的数为，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点是的奇点；又如，表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的奇点，但点D是的奇点．
（1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是的奇点；数_______所表示的点是的奇点；
（2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，．现有一动点H从点M出发向右运动，当H点运动到数轴上的什么位置时，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)