5.1矩形 教案 （表格式）2022-2023学年浙教版数学八年级下册

5.1 矩形（2）教案
教学 目标 1．经历矩形的判定定理的发现过程． 2．掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形． 3．掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”．
重点 矩形的判定
难点 判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
课前回顾 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质： 边：矩形的对边平行且相等． 角：矩形的四个角都是直角． 对角线：矩形的 两条对角线相等且互相平分． 回顾矩形的定义和性质． 为本节课矩形的学习做好铺垫．
导入新课 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有事外出，两徒弟就自己练习。他们各用一块四边形的废料做了一扇矩形式的门，做成之后，两人都说对方做的门不是矩形，而自己做的是矩形。 大徒弟说：“我用角尺量我做的门的任意三个角，发现他们都是直角，所以我做的这个门一定是矩形。”二徒弟说：“我用直尺量我做的门的两组对边和两条对角线，发现它们的长度相等，所以我做的门一定是矩形”． 根据它们的对话，你能肯定他们做的门一定是矩形吗？ 讨论并动手操作解答问题。 通过实际问题的探讨达到梳理已学过知识的目的，同时也为本节课的顺利进行做好铺垫工作，让学生与学生展开对话。
讲授新课 大徒弟做的门是矩形吗？ 已知：在四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C=90° 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°， ∴ ∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°， ∴AD∥BC， AB∥DC 。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言： ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 二徒弟做的门是矩形吗？ 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC=BD，AD=BC，DC=CD， ∴△ADC≌△BCD(SSS)． ∴∠ADC=∠BCD， 又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： ∵在□ABCD中， AC=BD， ∴□ABCD是矩形。 针对练习： 判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。 （2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。 （3）对角线相等的四边形是矩形。 （4）内角都相等的四边形是矩形。 例1 已知：如图，M为 ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证： ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD． ∵AM=DM，MB=MC， ∴△ABM≌△DCM． ∴∠A=∠D． ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°． ∴ ABCD是矩形． 例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图，它的两条对角线互相垂直。若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎么剪？ 解：分别取AB、BC、CD、AD的中点E、F、G、H，依次连结EF，FG，GH，HE，沿四边形EFGH的各边剪，就能剪出符合要求的矩形. 证明:∵EF是△ABC的一条中位线. ∴EF ∥AC(三角形的中位线平行于第三边) ∵AC⊥BD ∴EF⊥BD ∵EH是△ABD的一条中位线 ∴EH∥BD(三角形的中位线平行于第三边) ∴EF⊥EH，即∠HEF=Rt ∠. 同理，∠EHG=Rt ∠， ∠HGF=Rt ∠ ∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 典例解析： 例 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵△AOB是等边三角形， ∴AO=BO， ∴AC=BD， ∴□ABCD是矩形， 在Rt△ABC中， ∵AB=4，AC=8， 学生画图的方法，引出从角的角度探究“最少有几个直角的四边形是矩形”。 通过小组讨论交流，发现问题，得出猜想。 让学生独立完成例2的证明。 教师强调：证明文字命题的的基本格式，目的在于让学生养成规范证明的习惯，认识到数学基本功要靠平时锻炼。一定要重视 “数学基本功”。 从对角线的角度出发，运用矩形的前两个判定方法判定“对角线相等的平行四边形是矩形”。让学生通过证明，理解掌握矩形的第三种判定方法。 通过例题的证明进一步规范解题步骤。
巩固提升 1、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC 2、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 3、已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业： 对于两人的作业，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 4、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线垂直 C、对角线互相平分且相等 D、对角线垂直且相等 5、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是_________cm． 6、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线， AE=CG=BF=DH. 求证：四边形EFGH是矩形 证明：在矩形ABCD中， AC=BD ， AO=CO=BO=DO ∵AE=CG=BF=DH ∴AO-AE=CO-CG=BO-BF=DO-DH 即OE=OG=OF=OH, EG=FH ∴四边形EFGH是平行四边 ∴四边形EFGH是矩形 7、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD． （1）求证；四边形OBFE是平行四边形； （2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又∵点E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴OE∥BF． ∵EF∥BD，即EF∥OB， ∴四边形OBFE是平行四边形． （2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形， 又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上， ∴FC⊥BD， ∴∠OBF=90°， ∴四边形OBFE是矩形． 学生按要求进行讨论，教师巡回检查指导，发现问题及时纠正。 本环节放手让学生之间合作学习，互相交流，交换观点，自主构建知识体系，给学生自主学习交流提供空间。同时，通过交流让学生用自己的语言清楚表达解决问题的过程，可以培养学生语言表达能力和积极发言的胆略。体现开放性原则、过程性原则性教学原则。
课堂小结 矩形的判定方法： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义） 有三个角是直角的四边形是矩形 （矩形的判定定理1） 对角线相等的平行四边形是矩形 （矩形的判定定理2） 学生对所学知识归纳 梳理矩形的三种判定方法，意在让学生理解掌握它们逻辑严密的推理过程。并能灵活运用每一种判定方法，解决实际问题。