2022-2023学年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定定理 同步练习（含解析）

平行四边形及其性质同步练习
选择题
1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)
A．AB∥DC，AD＝BC
B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
2、如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是(　 　)
A．8 B．9 C．10 D．11
3、如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是(　 　)
A．①②都对 B．①②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
4、如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(　 　)
A．2 B．4 C．4 D．8
填空题
1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 ．
　　.
2、如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝ .
3、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为________
三、解答题
1．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
3、如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD.
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
4. 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
5．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1、A
【解析】A中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故选A.
2、C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，BD＝2OB.∵AB⊥AC, ∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝＝5，∴BD＝2OB＝10.故选C.
3、A
【解析】
由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∴∠B＝∠AMN，∴MN∥BC.故①正确；∵BC∥AD，∴MN∥AD，∵DN∥AM，∴四边形AMND是平行四边形．∴DN＝AM，∴MN＝AM.故②正确．故选A.
B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，DC∥AB，∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD.∵DG⊥AE，∴AG＝FG.∵F为边DC的中点，∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝＝，
∴AF＝2GF＝2.∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4.故选B.
二、填空题
1、AD＝BC(AB∥CD或∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD或AO＝CO或BO＝DO)
【解析】有四种添加方法：(1)添加AD＝BC，由“一组对边平行且相等”可得平行四边形；(2)添加AB∥CD，由“两组对边平行”可得平行四边形； (3)添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD，可得“两组对边平行”再得平行四边形；(4)添加AO＝CO或BO＝DO，由三角形全等，进一步得出“一组对边平行且相等”可得平行四边形．
2、2
【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3.∴∠DAF＝∠BFA.∵AE平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠BFA＝∠BAF.∴AB＝BF＝BC＋CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2.
3、 3:4
【解析】如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，
连接CH，PF，∵AP綊BE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE綊AB.∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF綊BD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC.
∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a.∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4.
三、解答题
1、【解】　∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC，∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形．
2. 延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
3. 【解】　(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.
又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.
∴∠B＝∠DAE.在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)．
(2)∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.
∴△ABE为等边三角形.
∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
4. 【解】　连结ME，NF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BM⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BMO＝∠DFO＝90°.
又∵∠BOM＝∠DOF，
∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.
同理可得OE＝ON，
∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
5、解：AD＝BC.理由如下：
延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.
∵AB＋BC＝CD＋DA，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，CE＝AF.
又∵BE＝BC，DF＝AD，
∴∠E＝∠BCE＝∠F＝∠DAF.
又∵CE＝AF，∴△AFD≌△CEB(ASA)．
∴AD＝BC.