1.3 二次函数的性质（第4课时） 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
1.3 二次函数的性质
第4课时 二次函数与一元二次方程的关系
数学（浙教版）
九年级 上册
第1章 二次函数
学习目标
1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；
2、会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；
3、通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.
　
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观察图片
提问：设该函数的解析式为y=ax2+bx+c，当y=0时，对应的x值是多少呢？
思考：二次函数与对应的一元二次方程是什么关系呢？
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知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
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（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程：20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.
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（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=1时，则1=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
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所以二次函数与一元二次方程的关系密切．
例如，已知二次函数y = －2x2＋5x的值为4，求自变量x的值，可以解一元二次方程－2x2＋5x=4（即2x2－5x+4=0）．
反过来，解方程2x2－5x+4=0 又可以看作已知二次函数 y = 2x2－5x+4 的值为0，求自变量x的值．
提示：二次函数与一元二次方程的关系，通过图象可以更加直观地发现；
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知识点二 利用二次函数深入研究一元二次方程根的情况
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
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1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点的个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
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二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
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典例精析
【例1】若抛物线y=ax2-2ax+c经过点(4,0)，则关于x的一元二次方程ax2-2ax+c=0的根是 ．
【详解】解：抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的交点横坐标即为对应方程ax2-2ax+c=0的解，
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过点(4,0)，
∴抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为：(-2,0)，
∴一元二次方程ax2-2ax+c=0的根为：x1=4,x2=-2，
故答案为：x1=4,x2=-2
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练一练
1．已知二次函数y=kx2-(k+1)x+1(k≠0).
(1)求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
(2)如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．
【详解】（1）证明：△=[-（k+1)]2-4k×1=(k-1)2≥0，
∴无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；
（2）解：当y=0时，kx2-(k+1)x+1=0，
∴x=，即x=，
解得：x1=，x2=1
∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，
∴k=±1．
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【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数与一元二次方程的关系．
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知识点三 利用二次函数求一元二次方程的近似根
例3：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x +2x-1=0 的根就是抛物线 y=x +2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
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解：画出函数 y=x +2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.
x
y
0
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先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4.
同理可得另一近似值为x2≈0.4.
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练一练
1．方程x2+2x-1=0的根可视为直线y=x+2与双曲线y=交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+5x-5=0的实根所在的范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
【详解】解：依题意，x3+5x-5=0的根可视为抛物线y=x2+3与双曲线y=交点的横坐标，
当x=1时，y1=4，y2=5，y1＜y2
当x=2时，y1=9，y2=2.5，y1＞y2，
∴方程x3+5x-5=0的实根x0所在的范围是1＜x0＜2，
故选：B．

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1．关于x的二次函数y=(a-1)x2-4x+1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．1或5
【详解】解：∵关于x的二次函数y=(a-1)x2-4x+1的图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程(a-1)x2-4x+1=0只有一个实数根，
∴△=(-4)2-4(a-1)=0，a-1≠0
解得a=5，
故选A．
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2．抛物线的顶点是C(2,，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，则S△ABC= ．
【详解】解：∵由方程x2-4x+3=0得：x1=1,x2=3，
∴A、B两点的横坐标分别为1或3，
∴AB=3-1=2，
∴S△ABC=，
故答案为：．
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3．已知二次函数y=2022x2+bx-c的图象与x轴交于点(-1,0)，(3,0)，则关于x的方程2022(x+3)2+bx+3b-c=0的解为_______．
【详解】由平移规律知，二次函数y=2022(x+3)2+bx+3b-c的图象是由二次函数y=2022x2+bx-c的图象向左平移3个单位得到的，
∵二次函数y=2022x2+bx-c的图象与x轴交于点(-1,0)，(3,0)，
∴二次函数y=2022(x+3)2+bx+3b-c的图象与x轴相交于(-4,0)，(0,0)，
∴关于x的方程2022(x+3)2+bx+3b-c=0的解为x1=-4,x2=0．
故答案为：x1=-4,x2=0．
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4．已知抛物线y=x2-6x+k的顶点在直线y=-2x-1上.
(1)求k的值；
(2)请判断抛物线与x轴交点的个数，并说明理由．
【详解】（1）解：∵y=x2-6x+k=(x-3)2+k-9，
∴顶点坐标为(3,k-9)，
∵抛物线y=x2-6x+k的顶点在直线y=-2x-1上，
∴k-9=-2×3-1，
解得k=2.
（2）解：当k=2时，y=x2-6x+2，
△=(-6)2-4×1×2=28＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
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5．已知抛物线的解析式为y=x2-2mx+m2-1．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
【详解】（1）证明：∵a=1，b=-2m，c=m2-1，
∴b2-4ac=4＞0，
∴方程x2-2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2-2mx+m2-1与x轴必有两个不同的交点.
（2）解：把x=0代入y=x2-2mx+m2-1中，得y=m2-1，
把x=0代入y=x-3m+3中，得y=-3m+3，
∵抛物线与直线的交点在y轴上，
∴m2-1=-3m+3，
解得m1=-4,m2=1.
当堂检测
6．已知二次函数y=x2-4x+3．
(1)直接写出它的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图像；
(2)自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？
(3)若关于x的方程x2-4x+3=m有两个不等实数根，求出常数m的取值范围．
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【详解】（1）解：二次函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1的顶点坐标为(2,-1)，
当y=0时，0=x2-4x+3，
解得：x1=1,x2=3，
则与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(3,0)，
当x=0时，y=3，
则与y轴的交点坐标为(0,3)，
函数的大致图象如图所示：
当堂检测
（2）解：由（1）中的函数图象知，当x＞2时，y随x的增大而增大．
（3）解：x2-4x+3=m化为x2-4x+3-m=0：
a=1，b=-4，c=3-m，
因为方程有两个不等实数根，
所以△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(3-m)＞0，
解得m＞-1.
课堂小结
谢 谢~