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4.4 两个三角形相似的判定（1）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、如图， D为△ABC的AB边上一点，过点D作DE//AC交 BC于点E．已知BE∶CE=2∶1，AC=6cm，求DE的长．21世纪教育网版权所有
2、如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形…………………………………………（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
3、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AC·BC=AE·CD．21教育网
4、4、4、44444(02吉林省)将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成 ( http: / / www.21cnjy.com )如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内. 请找出图中的相似(不包括全等)三角形，并证明其中的一对．
5、如图所示，一圆桌正上方3米处有一灯泡（ ( http: / / www.21cnjy.com )视为一点），圆桌高1米，圆桌面直径为1米，请你求出圆桌面在水平地面上的投影面积.（图中阴影部分）（圆桌面与地面平行）（π取3.14，答案精确到0.1平方米）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
6、九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度．【来源：21cnj*y.co*m】
第二部分
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=…………（ ）
A．9 B．10 C． 11 D．12
2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）
A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等
3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
4. 如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为…（ ）
A. B. 7 C. D.
5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
答案：∠D=∠B或∠E=∠C
6.如图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC= ．
7. 要测量河两岸相对的两点A，B间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.21·世纪*教育网
8. (02呼和浩特市)如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6， AB=8，BD=7，求DC的长． 21*cnjy*com
9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.
10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．21·cn·jy·com
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )【解】建立平面图如图. OA=3，AC=1，AB=.
∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCB ∴，∴CD=.
∴S=π·CD2=3.14×≈1.4 (m2). 答：圆桌面在地面上的投影面积为1.4 m2.
6、九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度．www.21-cn-jy.com
【解】∵CD∥AB，∴△ECG∽△EAH，∴.
∵EG=DF=2m，EH=FB=17m，CG=CD-EF=1.4m，
∴，∴AH=11.9m，∴AB=11.9+1.6=13.5m.
第二部分
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=…………（ ）
A．9 B．10 C． 11 D．12
答案：D
2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）
A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等
答案：C
3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）
A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对
答案：D
4. 如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为…（ ）
A. B. 7 C. D.
答案：C
5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
答案：∠D=∠B或∠E=∠C
6.如图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC= ．
答案：3
7. 要测量河两岸相对的两 ( http: / / www.21cnjy.com )点A，B间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.21cnjy.com
答案：85
8. (02呼和浩特市)如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6， AB=8，BD=7，求DC的长．2·1·c·n·j·y
解：∵∠CAD=∠B, ∠C=∠C, ∴△ACD∽△BCA.
∴, ∴,
∴, 解得.
9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.
解：设DB=AE=x. ∵DE∥BC, ∴.
∴, 解得x=, 即AE=.
10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．【来源：21·世纪·教育·网】
解：相似三角形有：△ACE∽△ADB∽△BDE. 证明如下：
∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2. 又∠CBD=∠2, ∴∠2=∠1=∠CBD.
又∠C=∠D=∠D, ∴△ACE∽△ADB∽△BDE.
G
第4题
第3题
第1题
第5题
第7题
第6题
G
第4题
第3题
第1题
第5题
第7题
第6题
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新浙教版数学九年级（上）
4.4 两个三角形相似的判定（1）
1、相似三角形的定义是什么？
A
C/
B/
A/
C
B
那么
△ABC∽△A'B'C'
如果
A
B
C
D
E
如图，已知DE ∥ BC，则……
若DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC,
∠AED=∠ACB,
故△ADE∽ △ABC,
A
B
D
E
C
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠ACB=∠DCE,
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的预备定理
A
B
C
D
E
A
B
D
E
C
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！
A
B
C
A/
C/
B/
1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
A
B
C
A/
C/
B/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
D
E
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
相似三角形的判定定理1：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
C
A
A'
B
B'
C'
在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，
试确定x ,y ,m ,n 的值.
x
20
33
48
22
30
(2)
A
B
C
D
E
45°
85°
m°
n°
50°
45°
3a
2a
y
10
(1)
A
B
C
D
E
F
20
22
x
A
B
C
D
E
1
30°
2
(4)
(3)
2cm
1.6cm
A'
B'
C'
2、 如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
解: 因为DE ∥ BC ，所以△ADE∽△ABC.
(1)由相似三角形对应角相等,得∠AED=∠C=40°.
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
（2）由相似三角形对应边成比例。得
A
D
B
E
C
预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
想一想,相似比等于1的两个三角形会是什么样的关系？
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
A
B
C
A’
C’
B’
下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
A’
B’
C’
A
B
C
D
E
2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
A
D
B
C
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。
同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
求证：
ΔABC
ΔACD
∽
ΔCBD 。
∽
D
C
D
C
D
C
D
C
C
D
C
D
C
D
C
D
请你来判断下面的话是否正确。
1、有一对角相等的三角形一定相似。 （ ）
2、有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（ ）
3、有一个角等于1000的两个等腰三角形相似。 （ ）
4、有一个角等于300的两个等腰三角形相似。 （ ）
5、有一对角相等的两个等腰三角形一定相似。 （ ）
×
∨
∨
×
×
2、 △ABC 中， D、E 分别是AB、 AC上的点，且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似。
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
变 ：△ABC 中， D、E 分别是AB、 AC延长线上的点，且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似。
思考：
（1）试说明: AD·AC=AE·AB
（2）若AD=4,AE=3,AB=6,求AC
3、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
A
B
C
D
E
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
F
A
F
E
D
C
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
