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4.4 两个三角形相似的判定（3）（巩固练习）
姓名 班级
1、如图，在正方形网格上有6个斜三角形： ( http: / / www.21cnjy.com )①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG， ⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是 ·(把你认为正确的都填上)并选其中一对进行证明.2·1·c·n·j·y
2、如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．www.21-cn-jy.com
3、如图所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC与△CDB相似？【来源：21cnj*y.co*m】
4、 两个三角形的三边长分别为4，5，6和 ( http: / / www.21cnjy.com )6，7.5，9，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”），理由是 .【版权所有：21教育】
5、 如图，，
求证：(1)∠BAD=∠CAE；
(2) ∠ABD=∠ACE.
6、6、6(02广西)已知△ABC，如图，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件不能判断△ACP∽△ABC的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. ∠ACP＝∠B B. ∠APC＝∠ACB C. AC2＝AP·AB D. AC∶CP＝AB∶BC
( http: / / www.21cnjy.com )
7、(02哈尔滨市)已知：如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2 ＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB. 能满足△APC和△ACB相似的条件是…（ ）2-1-c-n-j-y
A. ①，②，④ B．①，③，④ C. ②，③，④ D．①，②，③
8、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是（ ） 21*cnjy*com
A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD
C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC
9、在中，，，在中，，，要使与相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
10、已知：如图，在边长为的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.【出处：21教育名师】
11、 如图所示，在正方形网格上画有梯形ABCD，求∠BDC的度数.
分析：先证明△ABD∽△DCB, 再角度间的关系进行转化求解.
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )3、如图所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC与△CDB相似？21教育网
【解析】对直角边的对应关系，应分两种情况进行讨论.
【解】①当BD与BC是对应边时，
要使△ABC∽△CDB，则，∴.
∴BD=，即当BD=时，△ABC∽△CDB.
②当BD与AB为对应边时，在Rt△ABC中，AB=，
要使△ABC∽△BDC，则，∴.
∴BD=，即当BD=时，△ABC∽△BDC.
4、 如图，两个三角形的三边长分别为4 ( http: / / www.21cnjy.com )，5，6和6，7.5，9，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”），理由是 .21世纪教育网版权所有
答案：相似 三边对应成比例的两个三角形全等.
5、 如图，，求证：(1)∠BAD=∠CAE；
(2) ∠ABD=∠ACE.
证明：(1) ∵, ∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE.
(2) ∵, ∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE, ∴∠ABD=∠ACE.
6、6、6(02广西)已知△ABC，如图，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件不能判断△ACP∽△ABC的是（ ）21cnjy.com
A. ∠ACP＝∠B B. ∠APC＝∠ACB C. AC2＝AP·AB D. AC∶CP＝AB∶BC
答案：D
( http: / / www.21cnjy.com )
7、(02哈尔滨市)已知：如图，△ABC中，P为A ( http: / / www.21cnjy.com )B上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2 ＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB. 能满足△APC和△ACB相似的条件是…（ ）21·cn·jy·com
A. ①，②，④ B．①，③，④ C. ②，③，④ D．①，②，③
答案：D
8、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是（ ）21·世纪*教育网
A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD
C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC
答案：C
9、在中，，，在中，，，要使与相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
答案：如∠A=∠D
10、已知：如图，在边长为的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.www-2-1-cnjy-com
解：∵M是AD的中点, AD=a, ∴DM=AM=a.
要使△CDM与△MAN相似, 必须满足,
即, ∴AN=或AN=a(舍).
11、 如图所示，在正方形网格上画有梯形ABCD，求∠BDC的度数.
分析：先证明△ABD∽△DCB, 再角度间的关系进行转化求解.
解：设小正方形的边长为1, 由勾股定理, 得
AD=1, AB=, BD=, DC=, BC=5.
∴, ∴△ABD∽△DCB, ∴∠ABD=∠DCB.
∵∠ABD+∠DBC=45°, ∴∠DCB+∠DBC=45°, ∴∠BDC=135°.
_
B
_
N
_
M
_
D
_
C
_
A
_
B
_
N
_
M
_
D
_
C
_
A
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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新浙教版数学九年级（上）
4.4 两个三角形相似的判定（3）
定义 判定方法
全等三角形
相似三角形
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边与直角边
H
L
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
边边边
S
S
S
已知：
△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
求证：
有效利用判定定理一去求证。
证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
又
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定三角形相似的定理3
△ABC∽△A1B1C1.
即：
如果
那么
A1
B1
C1
A
B
C
三边对应成比例，两三角形相似。
边边边
S
S
S
√
定义 三边对应成比例，三个角对应相等
方法１ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
方法２ 有两个角对应相等
方法３ 两边对应成比例,且夹角相等
方法４ 三边对应成比例
条 件
------判定两个三角形相似的方法
一起小结
判定方法 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件
1 两边对应成比例，夹角相等 两边对应相等，夹角相等
2 两个角对应相等 两个角和一边对应相等
3 三边对应成比例 三边对应相等
三角形相似与全等的三种常用判定方法的区别和联系
------类比 探究
1、 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明 ∵
∴
∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．
如图：在△ABC中，D，E分别为AB、AC上的点，若AD=4，BD=3.5，AE=5，EC=1，则下列结论错误的是（ ）
A.1.5DE=BC
B.△ABC∽△AED
C.∠ADE=∠B
D.∠AED=∠B
C
B
Ｄ
Ｅ
2、
A
C
如图,D为△ABC的边AB上一点.若使△ACD与△ABC相似,可添加一个什么条件 你有几种添加条件的不同方法
C
B
Ｅ
3、
Ｄ
A
方法一:添加一个角相等
方法二:添加两边对应成比例
如 ∠ADC=∠ACB 或 ∠ACD=∠B
或 AC2=AD·AB
求证：∠BAD=∠CAE。
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
已知：
解：∵
（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
√
×
√
×
√
×
√
×
3、如图,在 ABCD中，E是边BC上的一点，且BE:EC=3:2，连接AE、BD交于点F，则BE:AD=_____，BF:FD=_____。
4、如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过点D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，则EC:BC=______。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
D
3:5
3:5
3:5
5.如图：在△ABC中，点M是BC上任一点， MD∥AC，ME∥AB，
∴△BDM∽△BAC
A
B
C
M
D
E
解：∵MD∥AC，
∴ = = ，
BD
BA
2
5
BM
BC
∴ =
CE
CA
CM
CB
=
3
5
MC
BC
又∵ ME∥AB，
∴△CEM∽△CAB
2份
5份
3份
3
5
=
E
D
F
B
A
C
1、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由。
解：根据勾股定理，得：
∴△ABC∽△EFD
学以致用
想一想：找角的关系容易，还是找边的关系容易？
答案是2:1
2.如图在正方形网格上有△Ａ1Ｂ1Ｃ1和△Ａ2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
请你帮忙：
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中，一根长60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状相同(即图形相似)。请帮他确定：共有几种不同的做法(焊接用料略去不计)？哪一种放大的倍数最大？最大的倍数是多少？
3cm
4cm
5cm
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段的两端点A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗
探究活动
A
B
A
B
如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗 请试一试,并说明你的画法的依据.
E
F
G
D
C
