(共24张PPT)
新浙教版数学九年级（上）
4.5 相似三角形的性质及其应用（3）
1．三角形中的“三线”与相似比
相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的
比、都________相似比．
等于
2．周长与相似比
(1)相似三角形周长的比________相似比．
(2)相似多边形周长的比________相似比．
等于
3．面积比与相似比
(1)相似三角形面积的比等于相似比的________．
(2)相似多边形面积的比等于相似比的________．
平方
等于
平方
世界上最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
世界上最宽的河
——亚马孙河
怎样测量河宽？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
1.8
60
3
2、 已知左、右并排的两棵大树的高分别是
AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离
BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正
对这两棵树的一条水平直路ι
从左向右前进，当他与左边
较低的树的距离小于多少时，
就不能看到右边较高的树的顶
端点C？
设观察者眼晴的位置（视点）
为F，∠CFK和∠AFH分别是
观察点C、A的仰角，区域Ⅰ
和区域Ⅱ都在观察者看不到
的区域（盲区）之内。
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的
位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。
∵AB⊥ι，CD⊥ι ，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴FH：FK=AH：CK，
即
，
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小
于8m时，就不能看到右边较高
的树的顶端点C。
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是
AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离
BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正
对这两棵树的一条水平直路ι
从左向右前进，当他与左边
较低的树的距离小于多少时，
就不能看到右边较高的树的顶
端点C？
设观察者眼晴的位置（视点）
为F，∠CFK和∠AFH分别是
观察点C、A的仰角，区域Ⅰ
和区域Ⅱ都在观察者看不到
的区域（盲区）之内。
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的
位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。
∵AB⊥ι，CD⊥ι ，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴FH：FK=AH：CK，
即
，
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小
于8m时，就不能看到右边较高
的树的顶端点C。
方法一：利用阳光下的影子。
A
B
C
D
E
F
小雨把长为2.4米的标杆CD直立在地面上，
量出树影长2.8米，标杆影长1.47米
（太阳光线可以近似的看作平行线）
2.4m
1.47m
2.8m
x m
小商在树前面的地面上平放一面镜子（E），观测者沿着直线BE后退到点D，调整位置使恰好在镜子里看到树梢顶点A.测量出：BE=8m DE=2.8m CD=1.6m
A
B
E
C
D
方法二：利用镜子的反射。（入射角等于反射角）
8 m
2.8m
1.6m
x m
A
B
C
D
E
F
G
H
方法三：利用标杆
小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E 、树梢的顶点A在同一直线上。
测量：人与标杆的距离DF，
人与树的距离DB
人的目高和标杆的高度
A
B
C
D
E
F
G
H
方法四：利用标尺
用手举一根标尺EF，让标尺与地面垂直，调整人与树的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住树的高度。
测量：人与标尺的距离，人与树的距离
确认标尺的长度
依据：相似三角形对应高的比等于相似比。
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
E
A
B
O
C
D
F
准星
A
B
解：由题意得，△OAB∽ △OCD，
AB
CD
OE
OF
0.2
50
80
OF
= ,即 = ，
解得：OF=20000（cm）
=200(m).
基础演练
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE
AD
=
PN
BC
因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。
80–x
80
=
x
120
在Rt△ ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，
（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长。
（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长
（1）如图1，四边形DEFG为△ ABC的内接正方形，求正方形的边长。
C
E
D
B
A
F
G
C
E
D
B
A
F
G
K
H
C
B
A
（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于△ ABC，请写出正方形的边长。
C
E
D
B
A
F
G
C
E
D
B
A
F
G
K
H
C
B
A
C
B
A
课堂小结
1 相似三角形可应用于生活中的很多方面，主要是：
测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测距（不能直接测量的两点的距离）
2 解决这类实际问题时：一般有以下步骤
①审题
②构建相似三角形
③应用相似三角形列出比例式（方程）
④求出未知量登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.5 相似三角形的性质及其应用（3）（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树 ( http: / / www.21cnjy.com )的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，求树（AB）的高度（精确到0.1米）.2-1-c-n-j-y
2、如图是小颖在做“针孔成像”实验时的情形 ( http: / / www.21cnjy.com )，请你根据图中尺寸（AB∥A′B′），猜想物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系？说出其中的道理.21·cn·jy·com
.
3、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 ( http: / / www.21cnjy.com )BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.2·1·c·n·j·y
(1) 设PN=x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
(2) 求x为何值时，矩形PQMN面积最大，最大值是多少？
4、如图所示，在台球赛中， ( http: / / www.21cnjy.com )一球在A 点处，要从 A 射出，经球台边挡板 CD 反射，击中球B，已知AC=10cm，BD=15cm，CD=xcm，EC=ycm，恰刚好能击中球B，求y关于x的函数关系式.21·世纪*教育网
第二部分
1. 如图，身高为1.6米的某学生想测 ( http: / / www.21cnjy.com )学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是………………………………（ ）
A. 6.4米 B. 7.0米 C. 8.0米 D. 9.0米
2. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于…………………（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是用杠杆撬石头的示意图， ( http: / / www.21cnjy.com )C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 100cm B. 60cm C. 50cm D. 10cm
4. 如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
5.现有一个测试距离为5m的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的= . 21*cnjy*com
6.如图，为测量学校旗杆的高度，小 ( http: / / www.21cnjy.com )东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为__________m．21世纪教育网版权所有
7. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点上升了 米．
8. 如图，火焰的光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为，，，则火焰的高度是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
9. 如图AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，求梯子的长．【出处：21教育名师】
10. 如图，一个人拿着一把厘米刻度尺，站在 ( http: / / www.21cnjy.com )距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，尺上从0~12cm恰好遮住电线杆，若手臂的长为60cm，求电线杆的高度．
参考答案
第一部分
( http: / / www.21cnjy.com )(2) S=，∴当x=60时，S的最大值为2400mm2.
4、如图所示，在台球赛中， ( http: / / www.21cnjy.com )一球在A 点处，要从 A 射出，经球台边挡板 CD 反射，击中球B，已知AC=10cm，BD=15cm，CD=xcm，EC=ycm，恰刚好能击中球B，求y关于x的函数关系式.21教育网
解：∵∠BED=∠AEC，∠BDE=∠ACE=90°，∴△ACE∽△BDE.
∴，. ∴EC=20 (cm)，∴y=.
第二部分
1. 如图，身高为1.6 ( http: / / www.21cnjy.com )米的某学生想测学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是………………………………（ ）
A. 6.4米 B. 7.0米 C. 8.0米 D. 9.0米
答案：C
2. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于…………………（ ）
A. B. C. D.
答案：C
3. 如图是用杠杆撬石头的示意图，C是 ( http: / / www.21cnjy.com )支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（ ）21cnjy.com
A. 100cm B. 60cm C. 50cm D. 10cm
答案：C
4. 如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：B
5.现有一个测试距离为5m的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的= .【来源：21·世纪·教育·网】
答案：
6.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用 ( http: / / www.21cnjy.com )长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为__________m．www.21-cn-jy.com
答案：12
7. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点上升了 米．
答案：0.8
8. 如图，火焰的光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为，，，则火焰的高度是 ．【版权所有：21教育】
答案：4.5
9. 如图AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，求梯子的长．21教育名师原创作品
解：∵DE∥BF, ∴△ADE∽△ABC,
∴. ∴, ∴梯子AB=440cm.
10. 如图，一个人拿着一把厘米刻 ( http: / / www.21cnjy.com )度尺，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，尺上从0~12cm恰好遮住电线杆，若手臂的长为60cm，求电线杆的高度．
解：如图标注字母. 作OF⊥CD于F, 交AB于E, 则AB=0.12m, OE=0.6m, OF=30m.
∵AB∥CD, ∴△OAB∽△OCD, ∴, ∴, ∴CD=6m.
参考答案
第7题
A
D
E
B
E
F
第7题
A
D
E
B
E
F
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