2023年浙教版数学九年级上册3.1 圆 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·洛阳期中）如图是两个大小不同的量角器.小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清.现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）.如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据半圆的性质可得O1P=O1O2，由等边对等角可得∠O1PO2=∠O1O2P，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
2．（2022九上·杭州月考）如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点
CD为AB的垂直平分线
AE=BE=AB=3，AB⊥CD
设该圆的半径为r
AO=OF=r
EF=1
OE=OF-EF=r-1
又 AB⊥CD
AO2=OE2+AE2
即r2=（r-1）2+32
r=5
该圆的半径为5
故答案为：C.
【分析】由题意可得CD为AB的垂直平分线，则AE=BE=AB=3，AB⊥CD，设该圆的半径为r，则AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.
3．（2022·柯桥模拟）一块某市政府特别奖奖牌如图所示，点A、B、D在圆O上，CD垂直平分AB于点C．现测得AB＝CD＝16cm，则圆形奖牌的半径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OA=r，
∵CD垂直平分AB，
∴CD过圆心O，AC=AB=8，∠ACO=90°，
∵OC=CD-OD=16-r，
∴，
∴，
∴r=10.
故答案为：B.
【分析】连接OA，设OA=r，根据垂直平分线的性质可得AC=AB=8，∠ACO=90°，则OC=16-r，然后利用勾股定理进行计算.
4．（2018·霍邱模拟）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】垂线段最短；圆的认识
【解析】【解答】如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=3√，OP=3，
∴PA=
故答案为：B.
【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.
5．（2023九下·姜堰月考）如图，四边形为矩形，，.点P是线段上一动点，点M为线段上一点.，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BAP+∠MAD=90°，由已知条件可知∠ADM=∠BAP，则∠AMD=90°，点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，易得当直线BM过圆心O时，BM最短，由勾股定理可得BO的值，然后根据BN=BO-AO进行计算.
6．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
7．（2019九上·沭阳月考）如图，点P（3,4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（ ）
A．14 B． C． D．26
【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM.
∵点P（3,4），
∴OP= .
∵A（2.8，0），B（5.6,0）
∴OA=AB，
∵点C是MB的中点，
∴CM=CB，
∴AC= OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值= OM′= （OP﹣PM′）= .
故答案为：B.
【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，根据两点间的距离公式算出OP的长，根据A,B两点的坐标特点得出OA=AB，根据三角形的中位线定理得出AC= OM，故当OM最小时，AC最小，而当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值= OM′= （OP﹣PM′），从而即可算出答案.
8．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
9．（2021九上·富县期末）如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE, 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
10．（2017·台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O表示△AED的外心，
故答案为：B．
【分析】根据三角形外接圆与外心的定义和正方形的性质可以得出OA=OB=OE，得出O是△ABE的外心，又OA=OE≠OD，得出O表示△AED的外心，选出正确选项.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·越城期中）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 .
【答案】4或5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为： ＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4.
故答案为：4或5.
【分析】利用因式分解法可得x1＝3，x2＝4，然后分①直角边分别为3，4；②直角边为3，斜边为4，借助勾股定理求出斜边长，然后根据斜边长即为外接圆的直径进行解答.
12．（2021九上·金华期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
【答案】（1，4）或（6，5）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：因为点P是钝角△ABC的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件的点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【分析】三角形的外心是三角形的外接圆圆心，依此得出PA=PB=PC，则以点P为圆心，PA为半径画圆， 只需点C为圆与格点的交点，且满足△ABC是钝角三角形即可.
13．（2020九上·浙江期末）我们知道平面内到两个定点距离之比为常数（常数大于零且不为1）的点轨迹是一个圆，那么在平面直角坐标系内到原点（0，0）和点（3，0）距离之比为2的圆的圆心坐标是 .
【答案】（6,0）
【知识点】两点间的距离；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意得： ,
∴x2+y2=2(x-3)2+2y2,
整理得：x2-12x+y2+18=0,
(x-6)2+y2=18.
∴圆心为（6,0）.
故答案为：（6,0）.
【分析】根据定义列方程，化简再转化为到定点距离等于定长的轨迹形式，即符合圆的定义，这个定点就是圆心，从而求解。
14．（2019九上·辽源期末）下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．
已知：弧AB．
求作：弧AB所在的圆．
作法：如图，
⑴在弧AB上任取三个点D，C，E；
⑵连接DC，EC；
⑶分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．
⑷以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆的认识
【解析】【解答】∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，
∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．
15．（2021九上·长沙月考）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 .
【答案】18
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18.
故答案为：18.
【分析】连接OP，易得AB＝2PO，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，利用勾股定理求出OM，结合MP′可得OP′，进而可得AB.
16．（2021·顺城模拟）如图，点A，B的坐标分别为 ， ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
在 轴负半轴上，取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝2，OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝ ，
∴CD＝ ，
∴OM＝ CD＝ ，即OM的最大值为 ；
故答案为： ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
三、解答题（共5题，共46分）
17．（2019九上·西城期中）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝ AB，
同理：OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
【知识点】菱形的性质；圆的认识
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
18．（2020·石家庄模拟）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD=BC，AC=BE．
（1）求证：CD=CE；
（2）当 时，求BF的长；
（3）若∠A=α，∠ACD=25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的外心在该三角形的外部，
∴ 为钝角三角形，
由（2）知 为等腰三角形，
∴ 为钝角，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定，证明 ，即可得到结论；（2）由（1）的结论，结合三角形的外角性质，得到 ，然后得到 ，即可得到答案；（3）根据题意，先用 表示出∠DCE，然后判断△DCE为钝角三角形，结合等腰三角形和钝角三角形的性质，即可求出 的取值范围.
19．（2022七上·永城期末）有三条长度均为a的线段，分别按以下要求画圆.
（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，记该圆的周长为C1；如图②，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和为C2，请指出C1和C2的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，当a＝11时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有小圆的周长的和为 .（直接填写答案，结果保留π）
【答案】（1）解：C1＝C2.
理由如下：设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a，
∵C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝π（a1+a2）＝πa，
∴C1＝C2；
（2）11π
【知识点】圆的认识；圆的周长
【解析】【解答】解：（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，
∵C1+C2+C3+…+Cn＝πd1+πd2+πd3+…+πdn＝π（d1+d2+d3+…+dn）＝11π.
故答案为：11π.
【分析】（1） 设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a， 根据圆的周长公式可得 C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝πa， 从而得出C1＝C2；
（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，根据圆的周长公式即可求解.
20．（2018·江苏模拟）（1）问题提出
如图1，点A为线段BC外一动点，且 ，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 用含 的式子表示 ．
（2）问题探究
点A为线段BC外一动点，且 ，如图2所示，分别以 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接 ，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）问题解决：
①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P为线段AB外一动点，且 ，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
如图4，在四边形ABCD中， ，若对角线 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
【答案】（1）CB的延长线上；
（2）解： ，
理由：∵ 与 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ；
②∵线段BE长的最大值 线段CD的最大值，
∴由 知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为
（3）解：①如图5，连接BM，将 绕着点P顺时针旋转 得到 ，连接AN，则 是等腰直角三角形，∴ ，∵ 的坐标为 ，点B的坐标为 ，∴ ，∴ ，∴线段AM长的最大值 线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值 ，∵ ，∴最大值为 ；如图6，过P作 轴于E，∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，∴②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，∵ ，∴∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵ 定值， ，∴点D在以BC为直径的 上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高，
∵BC= ，∴DM最大= ，∴AC最大=
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且 ，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ，
故答案为：CB的延长线上， ；
【分析】（1）由三角形三边关系定理可知，三角形任意两边之和大于第三边，当点A在CB的延长线上时，两边之和等于第三边，所以当点A在CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b；
（2）根据等边三角形的性质用边角边易证得△CAD≌△EAB，则BE=CD；由（1）中的结论可得BE的最大值=AB+AE；
（3）①根据已知条件PM=PB可将△APM绕着点P顺时针旋转90度 得到△PBN，连接AN，BM，由旋转的性质可求解；
②由题意可作辅助线，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，并作出三角形BCD的外接圆，用边角边易证得△ABC≌△DBM，则AC=DM，要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圆的性质可知，当DM过圆心时，DM最大，即由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，且最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高。
21．（2016九上·朝阳期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区 （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可
（3）解：结论： 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
研究思路：
a．手机信号基站应建在四边形 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；
b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；
c．若沿 分割，因为 ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；
d．若沿 分割，因为 ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为 ，所以 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 ，因此 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）按新定义规则作图；（2）新定义图形要结合学习过的知识，钝角三角形的最小覆盖圆就比其外接圆小;（3）要借鉴（2）的规律，先判断这个四边形不是圆内接四边形，Δ H E F 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 Δ H G F，Δ H E F 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.1 圆 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·洛阳期中）如图是两个大小不同的量角器.小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清.现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）.如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·杭州月考）如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
3．（2022·柯桥模拟）一块某市政府特别奖奖牌如图所示，点A、B、D在圆O上，CD垂直平分AB于点C．现测得AB＝CD＝16cm，则圆形奖牌的半径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
4．（2018·霍邱模拟）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
5．（2023九下·姜堰月考）如图，四边形为矩形，，.点P是线段上一动点，点M为线段上一点.，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
7．（2019九上·沭阳月考）如图，点P（3,4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M是P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为（ ）
A．14 B． C． D．26
8．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
9．（2021九上·富县期末）如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
10．（2017·台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·越城期中）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 .
12．（2021九上·金华期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ．
13．（2020九上·浙江期末）我们知道平面内到两个定点距离之比为常数（常数大于零且不为1）的点轨迹是一个圆，那么在平面直角坐标系内到原点（0，0）和点（3，0）距离之比为2的圆的圆心坐标是 .
14．（2019九上·辽源期末）下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．
已知：弧AB．
求作：弧AB所在的圆．
作法：如图，
⑴在弧AB上任取三个点D，C，E；
⑵连接DC，EC；
⑶分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．
⑷以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
15．（2021九上·长沙月考）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 .
16．（2021·顺城模拟）如图，点A，B的坐标分别为 ， ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
三、解答题（共5题，共46分）
17．（2019九上·西城期中）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
18．（2020·石家庄模拟）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD=BC，AC=BE．
（1）求证：CD=CE；
（2）当 时，求BF的长；
（3）若∠A=α，∠ACD=25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
19．（2022七上·永城期末）有三条长度均为a的线段，分别按以下要求画圆.
（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，记该圆的周长为C1；如图②，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和为C2，请指出C1和C2的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，当a＝11时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有小圆的周长的和为 .（直接填写答案，结果保留π）
20．（2018·江苏模拟）（1）问题提出
如图1，点A为线段BC外一动点，且 ，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 用含 的式子表示 ．
（2）问题探究
点A为线段BC外一动点，且 ，如图2所示，分别以 为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接 ，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．
（3）问题解决：
①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P为线段AB外一动点，且 ，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
如图4，在四边形ABCD中， ，若对角线 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．
21．（2016九上·朝阳期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 的最小覆盖圆就是以线段 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区 （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据半圆的性质可得O1P=O1O2，由等边对等角可得∠O1PO2=∠O1O2P，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求解.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点
CD为AB的垂直平分线
AE=BE=AB=3，AB⊥CD
设该圆的半径为r
AO=OF=r
EF=1
OE=OF-EF=r-1
又 AB⊥CD
AO2=OE2+AE2
即r2=（r-1）2+32
r=5
该圆的半径为5
故答案为：C.
【分析】由题意可得CD为AB的垂直平分线，则AE=BE=AB=3，AB⊥CD，设该圆的半径为r，则AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OA=r，
∵CD垂直平分AB，
∴CD过圆心O，AC=AB=8，∠ACO=90°，
∵OC=CD-OD=16-r，
∴，
∴，
∴r=10.
故答案为：B.
【分析】连接OA，设OA=r，根据垂直平分线的性质可得AC=AB=8，∠ACO=90°，则OC=16-r，然后利用勾股定理进行计算.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短；圆的认识
【解析】【解答】如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=3√，OP=3，
∴PA=
故答案为：B.
【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BAP+∠MAD=90°，由已知条件可知∠ADM=∠BAP，则∠AMD=90°，点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，易得当直线BM过圆心O时，BM最短，由勾股定理可得BO的值，然后根据BN=BO-AO进行计算.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM.
∵点P（3,4），
∴OP= .
∵A（2.8，0），B（5.6,0）
∴OA=AB，
∵点C是MB的中点，
∴CM=CB，
∴AC= OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值= OM′= （OP﹣PM′）= .
故答案为：B.
【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，根据两点间的距离公式算出OP的长，根据A,B两点的坐标特点得出OA=AB，根据三角形的中位线定理得出AC= OM，故当OM最小时，AC最小，而当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值= OM′= （OP﹣PM′），从而即可算出答案.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE, 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O表示△AED的外心，
故答案为：B．
【分析】根据三角形外接圆与外心的定义和正方形的性质可以得出OA=OB=OE，得出O是△ABE的外心，又OA=OE≠OD，得出O表示△AED的外心，选出正确选项.
11．【答案】4或5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为： ＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4.
故答案为：4或5.
【分析】利用因式分解法可得x1＝3，x2＝4，然后分①直角边分别为3，4；②直角边为3，斜边为4，借助勾股定理求出斜边长，然后根据斜边长即为外接圆的直径进行解答.
12．【答案】（1，4）或（6，5）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：因为点P是钝角△ABC的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图，
∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，
∴点C为圆P与格点的交点，
∵△ABC为钝角三角形，
∴由图知，满足条件的点C坐标为：（1，4）或（6，5），
故答案为：（1，4）或（6，5）；
【分析】三角形的外心是三角形的外接圆圆心，依此得出PA=PB=PC，则以点P为圆心，PA为半径画圆， 只需点C为圆与格点的交点，且满足△ABC是钝角三角形即可.
13．【答案】（6,0）
【知识点】两点间的距离；圆的认识
【解析】【解答】解：由题意得： ,
∴x2+y2=2(x-3)2+2y2,
整理得：x2-12x+y2+18=0,
(x-6)2+y2=18.
∴圆心为（6,0）.
故答案为：（6,0）.
【分析】根据定义列方程，化简再转化为到定点距离等于定长的轨迹形式，即符合圆的定义，这个定点就是圆心，从而求解。
14．【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆的认识
【解析】【解答】∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，
∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．
15．【答案】18
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18.
故答案为：18.
【分析】连接OP，易得AB＝2PO，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，利用勾股定理求出OM，结合MP′可得OP′，进而可得AB.
16．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
在 轴负半轴上，取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝2，OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝ ，
∴CD＝ ，
∴OM＝ CD＝ ，即OM的最大值为 ；
故答案为： ．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
17．【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝ AB，
同理：OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
【知识点】菱形的性质；圆的认识
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
18．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 的外心在该三角形的外部，
∴ 为钝角三角形，
由（2）知 为等腰三角形，
∴ 为钝角，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定，证明 ，即可得到结论；（2）由（1）的结论，结合三角形的外角性质，得到 ，然后得到 ，即可得到答案；（3）根据题意，先用 表示出∠DCE，然后判断△DCE为钝角三角形，结合等腰三角形和钝角三角形的性质，即可求出 的取值范围.
19．【答案】（1）解：C1＝C2.
理由如下：设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a，
∵C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝π（a1+a2）＝πa，
∴C1＝C2；
（2）11π
【知识点】圆的认识；圆的周长
【解析】【解答】解：（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，
∵C1+C2+C3+…+Cn＝πd1+πd2+πd3+…+πdn＝π（d1+d2+d3+…+dn）＝11π.
故答案为：11π.
【分析】（1） 设线段a分长的两段为a1、a2，则a1+a2＝a， 根据圆的周长公式可得 C1＝πa，C2＝πa1+πa2＝πa， 从而得出C1＝C2；
（2）设小圆的直径分别为d1、d2、d3，…，dn，则d1+d2+d3+…+dn＝a＝11，根据圆的周长公式即可求解.
20．【答案】（1）CB的延长线上；
（2）解： ，
理由：∵ 与 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ；
②∵线段BE长的最大值 线段CD的最大值，
∴由 知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为
（3）解：①如图5，连接BM，将 绕着点P顺时针旋转 得到 ，连接AN，则 是等腰直角三角形，∴ ，∵ 的坐标为 ，点B的坐标为 ，∴ ，∴ ，∴线段AM长的最大值 线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值 ，∵ ，∴最大值为 ；如图6，过P作 轴于E，∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，∴②如下图7，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，∵ ，∴∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵ 定值， ，∴点D在以BC为直径的 上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高，
∵BC= ，∴DM最大= ，∴AC最大=
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且 ，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 ，
故答案为：CB的延长线上， ；
【分析】（1）由三角形三边关系定理可知，三角形任意两边之和大于第三边，当点A在CB的延长线上时，两边之和等于第三边，所以当点A在CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b；
（2）根据等边三角形的性质用边角边易证得△CAD≌△EAB，则BE=CD；由（1）中的结论可得BE的最大值=AB+AE；
（3）①根据已知条件PM=PB可将△APM绕着点P顺时针旋转90度 得到△PBN，连接AN，BM，由旋转的性质可求解；
②由题意可作辅助线，以BC为边作等边三角形△BCM，连接DM，并作出三角形BCD的外接圆，用边角边易证得△ABC≌△DBM，则AC=DM，要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圆的性质可知，当DM过圆心时，DM最大，即由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，且最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+等边△BCM的高。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可
（3）解：结论： 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
研究思路：
a．手机信号基站应建在四边形 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；
b．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；
c．若沿 分割，因为 ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；
d．若沿 分割，因为 ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为 ，所以 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 ，因此 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）按新定义规则作图；（2）新定义图形要结合学习过的知识，钝角三角形的最小覆盖圆就比其外接圆小;（3）要借鉴（2）的规律，先判断这个四边形不是圆内接四边形，Δ H E F 的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖 Δ H G F，Δ H E F 的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置.
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