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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算
2.3有理数的乘法（1）
【知识重点】
一、有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘，积为零.
二、倒数：
1、定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数(如：3与、与…等).
2、注意：①零没有倒数 (因为0乘以任何数都等于0，不等于1，所以0没有倒数)；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置.若一个数是带分数要先把它化成假分数，然后再求倒数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.
三、有理数乘法运算步骤：
①先确定积的符号；有若干不为0的有理数相乘时，应该先确定积的符号(当负因数个数为偶数时，积为正，当负因数个数为奇数时，积为负)；②求出各因数的绝对值的积；③若其中一个因数为0，则积为0.
【经典例题】
【例1】写出下列各数的倒数．
（1）－11；
（2）0.125；
（3）－ .
【例2】计算：
（1） （2） （3）
【例3】从、、、、几个数中任取三个数相乘，所得到的最大乘积是 .
【基础训练】
1．的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
3．一个有理数和它的相反数的积（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．一定为非负数 D．一定为非正数
4．下列各组算式中，其值最小的是（ ）
A．﹣3﹣2 B．﹣|﹣3|×（﹣2）
C．﹣（﹣3）﹣2 D．﹣（﹣3）×（﹣2）
5．下列算式中，积为负数的是（ ）
A．0×（﹣5） B．（﹣2）×（﹣）×（﹣）
C．（﹣1.5）×（﹣2） D．4×（﹣0.5）×（﹣10）
6．计算：×4=
7．已知：，，且，则 ．
8．有理数，的倒数分别是 ．
9．的相反数是 ，倒数是 .
10．写出下列各数的倒数．
， ， ， ．
11．已知 ， ，求a与b的乘积．
12．计算：
（1）（﹣10）× ×（﹣0.1）；
（2）（﹣3）× × ×（﹣0.25）；
（3）（﹣6）×（﹣7.9）× ×0．
13． 计算．
（1）（-6）×（+8）；
（2）（-0.36）×（ ）；
（3）（ ）×（ ）；
（4）（ ）×0；
（5）（-5）×（-8）×（-10）×（-15）．
14．根据图示的对话解答下列问题．
已知a与2互为相反数． b与互为倒数．
（1）a= ，b= ．
（2）已知，求的绝对值．
【培优训练】
15．已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
16．若，且，则以下正确的选项为（ ）
A．a，b都是正数 B．a，b异号，正数的绝对值大
C．a，b都是负数 D．a，b异号，负数的绝对值大
17．已知两个有理数，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．、异号，且正数的绝对值较大 D．、异号，且负数的绝对值较大
18．在2，-4，-5，6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
19．已知的相反数是，的倒数是，则 ．
20．若﹣2减去一个有理数的差是﹣7，则﹣2与这个有理数的积是 ．
21．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝ .
22．有6张不同数字的卡片：-3，+2，0，-8，5，+1，
（1）若从中任抽两张，使得两数的积最小，求出最小的积；
（2）若从中任抽三张，使得三数的积最大，求出最大的积。
23．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考.
（1）【探索】
Ⅰ.若a+b=-5，则ab的值为：①负数②正数③0.你认为结果可能为 （只填序号）
Ⅱ.若a+b=-5，则a、b为整数，则ab的最大值为
（2）【拓展】数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若a+b＞0，试比较ab与0的大小.
24．有6张写着不同数字的卡片： ， ， ， ， ， ，如果从中任意抽取3张．
（1）使这3张卡片上的数字的积最小，应该如何抽？积又是多少？
（2）使这3张卡片上的数字的积最大，应该如何抽？积又是多少？
25．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
（1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为 ；
（2）你认为当输入数等于 时（写出一个即可），其输出结果为0；
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出 数；
（4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 （用含自然数n的代数式表示）．
26．小颖有5张写着以下数字的卡片，请按要求操作并完成下列各题：
（1）从中抽取两张卡片，使这两张卡片上的数字相差最大，则最大的差是 ；
（2）从中抽取两张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，则最大的积是 ；
（3）从中抽取4张卡片，将这4张卡片上的数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使最后的结果为24，请写出一种符合要求的运算式子．（注：每个数字只能用一次）．
【直击中考】
27．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
28．计算：（ ）
A． B．6 C． D．8
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算（解析版）
2.3有理数的乘法（1）
【知识重点】
一、有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘，积为零.
二、倒数：
1、定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数(如：3与、与…等).
2、注意：①零没有倒数 (因为0乘以任何数都等于0，不等于1，所以0没有倒数)；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置.若一个数是带分数要先把它化成假分数，然后再求倒数；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.
三、有理数乘法运算步骤：
①先确定积的符号；有若干不为0的有理数相乘时，应该先确定积的符号(当负因数个数为偶数时，积为正，当负因数个数为奇数时，积为负)；②求出各因数的绝对值的积；③若其中一个因数为0，则积为0.
【经典例题】
【例1】写出下列各数的倒数．
（1）－11；
（2）0.125；
（3）－ .
【答案】（1）解：－11的倒数是－
（2）解：0.125的倒数是8
（3）解：－ 的倒数是－
【例2】计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： =11.1
（2）解： =-（5.6×1.2）， =-6.72
（3）解： =3.48×0.7， =2.436
【例3】从、、、、几个数中任取三个数相乘，所得到的最大乘积是 .
【答案】30
【解析】由题意得，最大乘积为，
故答案为：30.
【基础训练】
1．的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴的倒数是.
故答案为：C.
2．如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
【答案】B
【解答】如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是1．
故选：B．
3．一个有理数和它的相反数的积（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．一定为非负数 D．一定为非正数
【答案】D
【解析】正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数还是0，
因此非0的有理数和它的相反数的积一定是负数，0和它的相反数的积还是0，
故一个有理数和它的相反数的积一定是非正数.
故答案为：D.
4．下列各组算式中，其值最小的是（ ）
A．﹣3﹣2 B．﹣|﹣3|×（﹣2）
C．﹣（﹣3）﹣2 D．﹣（﹣3）×（﹣2）
【答案】D
【解析】，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
5．下列算式中，积为负数的是（ ）
A．0×（﹣5） B．（﹣2）×（﹣）×（﹣）
C．（﹣1.5）×（﹣2） D．4×（﹣0.5）×（﹣10）
【答案】B
【解析】A、0×（﹣5）=0，故本选项不符合题意；
B、（﹣2）×（﹣）×（﹣）= ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
6．计算：×4=
【答案】-2
【解析】 ×4=-2.
故答案为：-2
7．已知：，，且，则 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴，
故答案为：-35．
8．有理数，的倒数分别是 ．
【答案】，-5
【解析】∵，，
又
∴的倒数是，-0.2的倒数是-5，
故答案为：，-5
9．的相反数是 ，倒数是 .
【答案】；
【解析】的相反数是，倒数是，
故答案为：，.
10．写出下列各数的倒数．
， ， ， ．
【答案】解：因为 ，
所以 的倒数是 ；
因为 ，
所以 的倒数是 ；
因为 ， ，
所以 的倒数是 ；
因为 ，
所以 的倒数是 ．
11．已知 ， ，求a与b的乘积．
【答案】解：∵
∴ 或
∴ 或
∵
∴ 或
∴ 或
∴a与b的乘积为：-7或-21或1或3．
12．计算：
（1）（﹣10）× ×（﹣0.1）；
（2）（﹣3）× × ×（﹣0.25）；
（3）（﹣6）×（﹣7.9）× ×0．
【答案】（1）解：原式=﹣（10×0.1× ）=﹣
（2）解：原式=3× =
（3）解：原式=0
13． 计算．
（1）（-6）×（+8）；
（2）（-0.36）×（ ）；
（3）（ ）×（ ）；
（4）（ ）×0；
（5）（-5）×（-8）×（-10）×（-15）．
【答案】（1）解：（-6）×（+8）=-（6×8）=-48；
（2）解：（-0.36）×（ ）=0.36× =0.04×2 =0.08；
（3）解：（ ）×（ ）= =6
（4）解：（ ）×0=0
（5）解：（-5）×（-8）×（-10）×（-15）=（5×8×10×15）=6000
14．根据图示的对话解答下列问题．
已知a与2互为相反数． b与互为倒数．
（1）a= ，b= ．
（2）已知，求的绝对值．
【答案】（1）-2；-3
（2）解：由题意，得，
所以，
所以．
因为，
所以的绝对值为6．
【解析】（1）∵a与2互为相反数，b与互为倒数，
∴，
故答案为；；
【培优训练】
15．已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
【答案】D
【解析】∵14的整数因数只有，，，，四个不相等的整数相乘等于14，
∴这四个数可能是1，，2，或1，，，7，
∴
或，
即它们的和等于5或，故D正确.
故答案为：D.
16．若，且，则以下正确的选项为（ ）
A．a，b都是正数 B．a，b异号，正数的绝对值大
C．a，b都是负数 D．a，b异号，负数的绝对值大
【答案】B
【解析】【解答】∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值大，
故答案为：B．
17．已知两个有理数，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．、异号，且正数的绝对值较大 D．、异号，且负数的绝对值较大
【答案】C
【解析】，
与异号，
，
正数的绝对值大于负数的绝对值，
故答案为：C.
18．在2，-4，-5，6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【答案】20
【解析】，，其他数相乘均为负数，
∵．
∴积最大是20．
故答案为：20．
19．已知的相反数是，的倒数是，则 ．
【答案】
【解析】∵的相反数是，的倒数是，
∴，，
∴，
故答案为：．
20．若﹣2减去一个有理数的差是﹣7，则﹣2与这个有理数的积是 ．
【答案】-10
【解析】由题意得：-2-（-7）＝5，
∴减去的有理数为5，
∴-2×5＝-10，
故答案为：-10．
21．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝ .
【答案】20
【解析】因为（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，每一个因数都是整数且都不相同，
那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，
由此得出m、n、p、q分别为6、4、8、2，
所以，m+n+p+q＝20.
故答案为：20.
22．有6张不同数字的卡片：-3，+2，0，-8，5，+1，
（1）若从中任抽两张，使得两数的积最小，求出最小的积；
（2）若从中任抽三张，使得三数的积最大，求出最大的积。
【答案】（1）解：当抽数字为 8、5时，两数的积最小；
即( 8)×5= 40；
（2）解：当抽数字为 8； 3；5时, 三数的积最大;
即 8×( 3)×5=120.
23．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考.
（1）【探索】
Ⅰ.若a+b=-5，则ab的值为：①负数②正数③0.你认为结果可能为 （只填序号）
Ⅱ.若a+b=-5，则a、b为整数，则ab的最大值为
（2）【拓展】数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若a+b＞0，试比较ab与0的大小.
【答案】（1）①②③；6
（2）解：a、b至少有一个正数，
①当a、b都为正数时，ab为正，ab＞0
②当一个为正数、另一个为0时，ab=0
③当一个为正数、另一个为负数；且正数的绝对值大于负数的绝对值时，ab＜0.
【解析】（1）【探索】Ⅰ.若a=-6，b=1，则ab=-6，则①成立；
若a=-2，b=-3，则ab=6，则②成立；
若a=-5，b=0，则ab=0，则③成立.
故答案为：①②③
Ⅱ.∵a+b=-5，则a、b为整数，要使得ab的最大值，则a，b必须同为负号，
∵（-2）×（-3）＞（-1）（-4），
∴ab的最大值为6.
故答案为：6
24．有6张写着不同数字的卡片： ， ， ， ， ， ，如果从中任意抽取3张．
（1）使这3张卡片上的数字的积最小，应该如何抽？积又是多少？
（2）使这3张卡片上的数字的积最大，应该如何抽？积又是多少？
【答案】（1）解：抽数据-8、5、2；（-8）×5×2=-80
（2）解：抽数据-8；-3；5， -8×（-3）×5=120．
25．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
（1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为 ；
（2）你认为当输入数等于 时（写出一个即可），其输出结果为0；
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出 数；
（4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 （用含自然数n的代数式表示）．
【答案】（1）1，2
（2）0
（3）负
（4）5n+2
【解析】【解答】（1）若输入的数字为4时，4＞2，得到4+（-5）=-1，
-1＜2，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；
若输入数字为7时，7＞2，得到7+（-5）=2，
得到相反数为-2，绝对值为2，输出结果为2；（2）根据题意得：输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可），结果为0；（3）这个“数值转换机”不可能输出负数；（4）归纳总结得：小明输入的正整数是5n+2．
26．小颖有5张写着以下数字的卡片，请按要求操作并完成下列各题：
（1）从中抽取两张卡片，使这两张卡片上的数字相差最大，则最大的差是 ；
（2）从中抽取两张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，则最大的积是 ；
（3）从中抽取4张卡片，将这4张卡片上的数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使最后的结果为24，请写出一种符合要求的运算式子．（注：每个数字只能用一次）．
【答案】（1）13
（2）60
（3）解：（-4）-[3×（-6）-10]
故答案为：（-4）-[3×（-6）-10]
【解析】【解答】（1），则
最大的数为，最小的数为，
故答案为：
（2），且和同号，则
故答案为：
【直击中考】
27．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得的倒数是，
故答案为：C
28．计算：（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【解析】由题意得，
故答案为：A
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