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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算（解析版）
2.5有理数的乘方（1）
【知识重点】
一、有理数的乘方
1.一般地，在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做an，即
2.求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
3.在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.
4.注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如2=21；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数.
二、乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤1的偶次幂得1；1的奇次幂得1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
【经典例题】
【例1】阅读理解：
我们把求几个相同因数的积的运算叫做乘方，例如：3×3×3×3可以记作34，读作“3的4次方”；其中3叫做底数，4叫做指数，即3×3×3×3×3=34=81．再如7×7×7×7×7×7×7×7×7就可以记作79读作“7的9次方”；其中底数是7，指数是9．请回答下列问题：
（1）43读作 ；底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ；计算结果是：43= ；
（2）（﹣3）2底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ；
（3）an底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ．
【答案】（1）4的3次方；4；3；3个4相乘；64
（2）﹣3；2；2个﹣3相乘
（3）a；n；n个a相乘
【解析】答案为：（1）4的3次方；4；3；3个4相乘；64；（2）﹣3；2；2个﹣3相乘；（3）a；n；n个a相乘．
【例2】把（－5）×（－5）×（－5）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ；
【答案】（-5）3；-5；3
【解析】把（-5）×（-5）×（-5）写成幂的形式是（-5）3，底数是-5，指数是3.
【例3】在中，底数是 ，其计算结果为 ．
【答案】；
【解析】在()3中，底数是，其计算结果为-.
故答案为：，-.
【例4】计算： ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【例5】下列各式的结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、是正数，故此选项不符合题意；
B、是正数，故此选项不符合题意；
C、是负数，故此选项符合题意；
D、是正数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【例6】 表示的是（ ）
A．3个 相加 B．2个 相加
C．3个 相乘 D．5个7相乘
【答案】C
【解析】 表示3个 相乘.
故答案为：C.
【基础训练】
1．在，，，，中，正数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】，，，，，
∴正数的个数是：3，
故答案为：.
2．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】A.和，两数不相等，故此选项不符合题意；
B.和，两数不相等，故此选项不符合题意；
C.和，两数相等，故此选项符合题意；
D.和，两数不相等，故此选项不符合题意.
故答案为：C
3．下列各组数中，结果相等的是( )
A．-22与(-2)2 B．与()3
C．-|-2|与-(-2) D．(-3)3与-33
【答案】D
【解析】A、∵-22=-4，(-2)2=4，
∴-22≠(-2)2，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，故B不符合题意；
C、∵-|-2|=-2，-(-2) =2，
∴-|-2|≠-(-2)，故C不符合题意；
D、∵ (-3)3=-27，-33=-27，
∴ (-3)3=-33，故D符合题意；
故答案为：D
4．下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是-2 B． 的底数是
C． 的底数是-3，指数是4 D． 的幂是-12
【答案】C
【解析】A、-23的底数是2，故此选项不符合题意；
B、2×32中，32的底数是3，故此选项不符合题意；
C、（-3）4的底数是-3，指数是4，符合题意；
D、-34的幂是-81，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
5．计算 的结果等于（ ）
A．－4 B．4 C．12 D．－12
【答案】D
【解析】 ．
故答案为：D．
6．比较大小： .
【答案】<
【解析】=-9，=-7，
∵|-9|>|-7|，
∴<，
故答案为：<.
7．比较大小：﹣ ﹣；（﹣2）2 ﹣|﹣2﹣1|.（填“＞”或“＜”）
【答案】＜；＞
【解析】根据有理数比较大小的方法，可得
﹣ ＜﹣ ；（﹣2）2＞﹣|﹣2﹣1|.
故答案为：＜、＞.
8．在（– ）2中底数是 ；指数是 ．
【答案】- ；2
【解析】 在（– ）2中底数是，指数是2
9．直接写出结果.
（1）（-4）+（-2）=
（2）（-4）-（-2）=
（3）（-4）×（-2）=
（4）（-4）÷（-2）=
（5）（-3）2 =
（6）-3 2 =
【答案】（1）-6
（2）-2
（3）8
（4）2
（5）9
（6）-9
【解析】（1）（-4）+（-2）=-（4+2）=-6；
故答案为：-6；
（2）（-4）-（-2）=（-4）+2=-（4-2）=-2；
故答案为：-2；
（3）（-4）×（-2）=4×2=8；
故答案为：8；
（4）（-4）÷（-2）=4÷2=2；
故答案为：2；
（5）（-3）2=9；
故答案为：9；
（6）-32=-9.
故答案为：-9.
10． 计算．
（1）4×（-3）2；
（2） ；
（3）0÷（-2）-23；
（4） ．
【答案】（1）解：4×（-3）2=4×9=36
（2）解： =-4
（3）解：0÷（-2）-23=0-8=-8
（4）解： =-1-
【培优训练】
11．计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
故答案为：B．
12．计算20282022的结果的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】20281的结果的末位数字是8，
20282的结果的末位数字是4，
20283的结果的末位数字是2，
20284的结果的末位数字是6，
20285的结果的末位数字是8，
…
可知2028n的结果的末位数字是8，4，2，6，四个一循环，
2022÷4＝505……2，
故20282022的结果的末位数字是4.
故答案为：B.
13．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2020
【答案】B
【解析】∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B.
14．计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）
A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2100
【答案】D
【解析】（﹣2）100+（﹣2）101＝2100﹣2×2100
＝2100×（1﹣2）
＝﹣2100，
故答案为：D.
15．如果则的值是 .
【答案】-1
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：-1.
16．已知，则 ．
【答案】0
【解析】【解答】∵，
，，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：0．
17．一张厚度是0.1mm的纸，对折10次后，厚度为 mm．
【答案】102.4
【解析】设初始厚度为，第一次对折后的厚度为，
第二次对折后的厚度为，
第三次对折后的厚度为，
所以第10次对折的厚度为，
当，
，
故答案为：102.4．
18．1米长的小棒，第1次截去 ，第2次截去剩下的如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度为 ．
【答案】米
【解析】第1次截后剩下的小棒的长度为米；
第2次截后剩下的小棒的长度为米；
第3次截后剩下的小棒的长度为米；
第4次截后剩下的小棒的长度为米；
第5次截后剩下的小棒的长度为米；
故答案为：
19．已知3×2x＝24，则x＝ ．
【答案】3
【解析】∵3×2x＝24，
∴2x＝8＝23，
解得：x＝3
故答案为：3
20．若2n=8，则3n-1= 。
【答案】9
【解析】 ∵2n=8，
∴2n=23
∴n=3
则3n-1=33-1=9.
21．若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）．
【答案】a＞c＞b
【解析】 ，
，
，
∵ ．
∴ ．
故答案为：a＞c＞b．
22．已知正整数 ， ， 均小于5，存在整数 满足 ，则 的值为 .
【答案】-14
【解析】 正整数 ， ， 均小于5，
，
，
，
，
为整数，
，
.
， ， ，的取值只能为2，4，8，16，
观察得只有 ，
，
.
故答案为：-14.
23．先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
【答案】（1）314；512；（a+b）8
（2）解：.
【解析】1）36×38=36+8=314；
52×53×57=52+3+7=512；
（a+b）3 （a+b）5=（a+b）3+5=（a+b）8；
故答案为314；512；（a+b）8；
24．已知小东的身高为1.62m，一张纸的厚度约为0.09mm．
（1）请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍？
（2）若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？
（3）假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？（其中213＝8192，214＝16384，215＝32768，216＝65536．）
【答案】（1）解：∵1.62m=1.62×103mm，
∴小东身高是纸厚度的倍数=1.62×103÷0.09=18000倍.
答：小东的身高是纸的厚度的18000倍.
（2）解：∵连续对折纸张5次，
∴此时它的厚度=0.09×25=2.88mm.
答：这张纸连续对折5次，这时它的厚度是2.88mm.
（3）解：∵214=16384<18000，215=32768> 18000，
∴至少对折15次后，所得的厚度可以超过小东的身高.
答：将纸至少对折15次后，所得的厚度可以超过小东的身高.
25．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
（1）初步探究
直接写出结果： ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
； ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ；
（5）算一算： ．
【答案】（1）
（2）②③
（3）；73
（4）
（5）
【解析】（1）；
（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①符合题意；
对于任何正整数n，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，因此②不符合题意；
因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③不符合题意；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④符合题意；
故答案为：②③；
（3），
==；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；
（5）
=
=
=
26．直接写出下列各题的答案：
（1） ； ； ；
（2） ； ； .
（3）若n为正整数，则 ；
（4）求 .
【答案】（1）；-1；
（2）-2t；；-18
（3）0
（4）解：
=
=
=
=
= .
【解析】（1） ；
-1；
；
故答案为： ；-1；
（2） -2t；
；
.
故答案为：-2t； ；-18
（3）若n为正整数，则 ；
故答案为：0；
27．阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
=（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）= =1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：= （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：．
【答案】（1）解：
:
:
:
:
=1；
（2）
（3）解：
:
:
．
【解析】（2）原式=，
故答案为：；
28．观察下列运算过程：
，；，；…
（1）根据以上运算过程和结果，我们发现： ； ；
（2）仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
（3）求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，，
∴
（3）解：
【解析】（1），，
故答案为：，；
【直击中考】
29．计算（﹣1）3的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【答案】A
【解析】（﹣1）3表示3个（﹣1）的乘积，
所以（﹣1）3＝﹣1。
故答案为：A。
30．计算 的结果是（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】∵ ，
故答案为：A.
31．下列各数中是负数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. 是正数，故A错误；
B. 是负数，故B正确；
C. 是正数，故C错误；
D. 是正数，故D错误；
故答案为：B.
32．已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、如a=1，b=-2，满足a＞b，但，∴|a|＞|b|不正确，此选项不符合题意；
B、如a=2，b=1，满足a＞b，但，∴不正确，此选项不符合题意；
C、如a=1，b=-2，满足a＞b，但12＜（-2）2，∴a2＞b2不正确，此选项不符合题意；
D、当a＞b时，a3＞b3，∴此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
33．已知，都是实数，若，则 ．
【答案】1
【解析】∵，
∴，，
即，，
∴
故答案为：1.
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算
2.5有理数的乘方（1）
【知识重点】
一、有理数的乘方
1.一般地，在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做an，即
2.求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
3.在an中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.
4.注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如2=21；
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数.
二、乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤1的偶次幂得1；1的奇次幂得1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
【经典例题】
【例1】阅读理解：
我们把求几个相同因数的积的运算叫做乘方，例如：3×3×3×3可以记作34，读作“3的4次方”；其中3叫做底数，4叫做指数，即3×3×3×3×3=34=81．再如7×7×7×7×7×7×7×7×7就可以记作79读作“7的9次方”；其中底数是7，指数是9．请回答下列问题：
（1）43读作 ；底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ；计算结果是：43= ；
（2）（﹣3）2底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ；
（3）an底数是 ；指数是 ，表示的意义是 ．
【例2】把（－5）×（－5）×（－5）写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是 ；
【例3】在中，底数是 ，其计算结果为 ．
【例4】计算： ．
【例5】下列各式的结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】 表示的是（ ）
A．3个 相加 B．2个 相加
C．3个 相乘 D．5个7相乘
【基础训练】
1．在，，，，中，正数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．下列各组数中，结果相等的是( )
A．-22与(-2)2 B．与()3
C．-|-2|与-(-2) D．(-3)3与-33
4．下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是-2 B． 的底数是
C． 的底数是-3，指数是4 D． 的幂是-12
5．计算 的结果等于（ ）
A．－4 B．4 C．12 D．－12
6．比较大小： .
7．比较大小：﹣ ﹣；（﹣2）2 ﹣|﹣2﹣1|.（填“＞”或“＜”）
8．在（– ）2中底数是 ；指数是 ．
9．直接写出结果.
（1）（-4）+（-2）=
（2）（-4）-（-2）=
（3）（-4）×（-2）=
（4）（-4）÷（-2）=
（5）（-3）2 =
（6）-3 2 =
10． 计算．
（1）4×（-3）2； （2） ； （3）0÷（-2）-23； （4） ．
【培优训练】
11．计算（ ）
A． B． C． D．
12．计算20282022的结果的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2020
14．计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）
A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2100
15．如果则的值是 .
16．已知，则 ．
17．一张厚度是0.1mm的纸，对折10次后，厚度为 mm．
18．1米长的小棒，第1次截去 ，第2次截去剩下的如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度为 ．
19．已知3×2x＝24，则x＝ ．
20．若2n=8，则3n-1= 。
21．若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）．
22．已知正整数 ， ， 均小于5，存在整数 满足 ，则 的值为 .
23．先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示am an的结果（m、为正整数）.
分析：根据乘方的意义，am an==am+n.
（1）请根据以上结论填空：36×38= ，52×53×57= ，（a+b）3 （a+b）5= ；
（2）仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（am）n的结果（提示：将am看成一个整体）.
24．已知小东的身高为1.62m，一张纸的厚度约为0.09mm．
（1）请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍？
（2）若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？
（3）假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？（其中213＝8192，214＝16384，215＝32768，216＝65536．）
25．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
（1）初步探究
直接写出结果： ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
； ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ；
（5）算一算： ．
26．直接写出下列各题的答案：
（1） ； ； ；
（2） ； ； .
（3）若n为正整数，则 ；
（4）求 .
27．阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
=（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）= =1．
（1）仿照上面材料的计算方法计算：．
（2）由上面的计算可总结出一个规律：= （用字母表示）；
（3）用（2）的规律计算：．
28．观察下列运算过程：
，；，；…
（1）根据以上运算过程和结果，我们发现： ； ；
（2）仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
（3）求的值．
【直击中考】
29．计算（﹣1）3的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
30．计算 的结果是（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
31．下列各数中是负数的是( )
A． B． C． D．
32．已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．已知，都是实数，若，则 ．
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