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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算
2.6有理数的混合运算
【知识重点】
有理数混合运算法则：
1.有理数的运算中，运算顺序的确定很关键.如异号两数相加，取绝对值较大的符号；两数相乘(或相除)，同号得正，异号得负；一个负数的奇次幂的符号为负，偶次幂符号为正.
2.有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的.
【经典例题】
【例1】计算：
（1） （2）
【例2】计算：
（1） （﹣ ）﹣（﹣ ） （﹣ ）+
（2）{1+[ ﹣（﹣ ）2] （﹣2）3} （﹣ +0.5）
【例3】将一底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形木桶装满水，小明先将桶中的水倒满1个长、宽、高分别为40cm，30cm，5cm的长方体容器，再把剩下的水倒入底面半径为3cm，高为6cm的圆柱形杯子，可以倒满15杯吗？请计算说明．（π取3，容器厚度忽略不计）
【基础训练】
1．下列计算正确是（ ）
A． B．
C． D．
2．式子－22＋(－2)2－(－2)3－23的值为( )
A．－2 B．6 C．－18 D．0
3．计算(－1)÷52×(－ )的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．625 D．
4．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是（ ）
A．–999×（52+49）=–999×101=–100899
B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900
C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898
D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998
5．如果定义运算符号“”为，那么的值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
6．下列四个式子中，计算结果最大的是( )
A．-23+(-1)2 B．-23-(-1)2 C．-23×(-1)2 D．-23÷(-1)2
7．计算 的结果是 .
8．计算： .
9．计算： .
10．计算：.
11．计算：.
12．计算：.
13．计算：
（1） ；
（2）
（3）
14．有一个填写运算符号的游戏：在“1□3□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果。
（1）计算：1+3-6-9；
（2）若1÷3×6□9=-7，请推算□内的符号；
（3）在“1□3□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数。
15．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：
（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大.
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 .
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小.
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 .
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子.（写出一种即可）
【培优训练】
16．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是 ，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
17．王老师有一个实际容量为1.8GB(1GB=220KB)的U盘，内有三个文件夹．已知课件文件夹占用了0.8GB的内存，照片文件夹内有32张大小都是211KB的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是215KB的音乐．若该U盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐( )首．
A．28 B．30 C．32 D．34
18．利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为 ， ， ， ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 .如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
19．正整数按如图所示的规律排列，则第9行、第列的数字是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆 25 张桌子，可同时容纳（ ）人
A．106 B．98 C．100 D．102
21．定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
22．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了 千米
23．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．
24．计算：．
25．在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
26．《庄子 天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（1）（规律探索）
如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；
依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；
…S阴影n＝＝ ；
（2）（拓展延伸）
计算＝ ；
（3）计算= .
27．在数学的学习过程中，我们要善于观察、发现规律并总结、应用．下面给同学们展示了四种有理数的简便运算的方法：
方法①：（﹣ ）2×162=[（﹣ ）×16]2=（﹣8）2=64，23×53=（2×5）3=103=1000
规律：a2 b2=（a b）2，an bn=（a b）n （n为正整数）
方法②：3.14×23+3.14×17+3.14×60=3.14×（23+17+60）=3.14×100=314
规律：ma+mb+mc=m（a+b+c）
方法③：（﹣12 ）÷3=[（﹣12）+（﹣ ）]× =（﹣12）× +（﹣ ）× =（﹣4）+（﹣ ）=﹣4
方法④： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ，…
规律： = ﹣ （n为正整数）
利用以上方法，进行简便运算：
①（﹣0.125）2014×82014；
② ×（﹣ ）﹣（﹣ ）×（﹣ ）﹣ ×2 ；
③（﹣20 ）÷（﹣5）；
④ + + +…+ ．
【直击中考】
28．计算： ．
29．如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码是 .
30．在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 中的□，并计算.
31．计算： .
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第2章有理数的运算（解析版）
2.6有理数的混合运算
【知识重点】
有理数混合运算法则：
1.有理数的运算中，运算顺序的确定很关键.如异号两数相加，取绝对值较大的符号；两数相乘(或相除)，同号得正，异号得负；一个负数的奇次幂的符号为负，偶次幂符号为正.
2.有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的.
【经典例题】
【例1】计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
:
:
:
:
（2）解：
:
:
:
:
:
【例2】计算：
（1） （﹣ ）﹣（﹣ ） （﹣ ）+
（2）{1+[ ﹣（﹣ ）2] （﹣2）3} （﹣ +0.5）
【答案】（1）解： （﹣ ）﹣（﹣ ） （﹣ ）+
:
:
（2）解：{1+[ ﹣（﹣ ）2] （﹣2）3} （﹣ +0.5）
={1+[ ﹣ ] （﹣8）} （﹣ + ）
:
:
．
【例3】将一底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形木桶装满水，小明先将桶中的水倒满1个长、宽、高分别为40cm，30cm，5cm的长方体容器，再把剩下的水倒入底面半径为3cm，高为6cm的圆柱形杯子，可以倒满15杯吗？请计算说明．（π取3，容器厚度忽略不计）
【答案】解：根据题意，，所以可以倒满15杯．
【基础训练】
1．下列计算正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. 符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
2．式子－22＋(－2)2－(－2)3－23的值为( )
A．－2 B．6 C．－18 D．0
【答案】D
【解析】
.
故答案为：D
3．计算(－1)÷52×(－ )的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．625 D．
【答案】D
【解析】原式
故答案为：D.
4．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是（ ）
A．–999×（52+49）=–999×101=–100899
B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900
C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898
D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998
【答案】B
【解析】【解答】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－99900．
故答案为：B．
5．如果定义运算符号“”为，那么的值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】C
【解析】.
故答案为：C.
6．下列四个式子中，计算结果最大的是( )
A．-23+(-1)2 B．-23-(-1)2 C．-23×(-1)2 D．-23÷(-1)2
【答案】A
【解析】∵-23+（-1）2=-8+1=-7，-23-（-1）2=-8-1=-9，-23×（-1）2=-8×1=-8，
-23÷（-1）2=-8÷1=-8，而-7＞-8＞-9，
∴计算结果最大的是-23+（-1）2.
故答案为：A.
7．计算 的结果是 .
【答案】
【解析】
=-2×9-1÷4
=-18-
.
8．计算： .
【答案】1
【解析】 ，
故答案为：1.
9．计算： .
【答案】-8
【解析】原式= 10+8 6
= 8.
故答案为：-8；
10．计算：.
【答案】解：.
11．计算：.
【答案】解：原式.
12．计算：.
【答案】解：
:
:
:
:
.
13．计算：
（1） ；
（2）
（3）
【答案】（1）解：－32－（－8）×（－1）5÷（－1）4；
=-9-（-8）×（-1） 1
=-9-8
=-17
（2）解：
=
:
:
（3）解：
=
=-16+18-4
=-2
14．有一个填写运算符号的游戏：在“1□3□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果。
（1）计算：1+3-6-9；
（2）若1÷3×6□9=-7，请推算□内的符号；
（3）在“1□3□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数。
【答案】（1）解：1+3-6-9
=4-6-9
=-2-9
=-11；
（2）解：∵1÷3×6□9=-7，
∴1× ×6□9=-7，
∴2□9=-7，
∴□内的符号是“-”；
（3）解：这个最小数是-26，
理由：．在“1□3□6□9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□3□6的结果是负数即可，
∴1□3□6的最小值是1-3x6=-17，
∴1□2□6-8的最小值是-17-9=-26，
∴这个最小数是-26．
15．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：
（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大.
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 .
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小.
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 .
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子.（写出一种即可）
【答案】（1）－5和－3；15
（2）－5和＋3；
（3）解：把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24等形式.
当2×12=24时，2=（-3）-（-5），12=3×4
则[(-3)-(-5)]×3×4=12
故答案为：卡片数字为：-3，-5，+3，+4
当3×8=24时，可得-3×（-8）=24，则-8=（-5）-3
则-3×[(-5)-3]=24.
同理可继续推导.
【解析】(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘
则有（+3）×（+4）=12，（-5）×（-3）=15
积最大为15，所以选择卡片-5和卡片-3
( 2 ) 要想商最小，必须商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.
则有(-5)÷3= ，(-5)÷4= ，4÷（-3）=
商最小为 ，所选择卡片-5和卡片+3
故答案为：（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋3 ；(3) （答案不唯一）
【培优训练】
16．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是 ，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A不符合题意；
B：(8-3)×5+(-1)=24，故B不符合题意；
C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C不符合题意；
D：无法组成24点，故D符合题意；
故答案为：D.
17．王老师有一个实际容量为1.8GB(1GB=220KB)的U盘，内有三个文件夹．已知课件文件夹占用了0.8GB的内存，照片文件夹内有32张大小都是211KB的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是215KB的音乐．若该U盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐( )首．
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】B
【解析】 1.8GB-0.8GB=1.0GB=220KB，
32×211=25×211=216KB，
220-216=16×216-216=15×2016，
15×2016÷215=15×2×215÷215=30.
故答案为：B.
18．利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为 ， ， ， ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 .如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为 ，表示该生为10班学生，A不符合题意.
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为 ，表示该生为6班学生，B符合题意.
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为 ，表示该生为9班学生，C不符合题意.
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为 ，表示该生为7班学生，D不符合题意.
故答案为：B.
19．正整数按如图所示的规律排列，则第9行、第列的数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，第1行，第2列的数是，
第2行，第3列的数是，
第3行，第4列的数是，
第4行，第5列的数是，
归纳类推得：第n行，第n+1列的数是n（n+1），其中n为正整数，
则第9行，第10列的数是9×（9+1）90，
故答案为：A.
20．如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆 25 张桌子，可同时容纳（ ）人
A．106 B．98 C．100 D．102
【答案】D
【解析】根据题意可知，每张桌子上下两侧可坐4人，第一张桌子的左边和最后一张桌子的右边各坐一人，
∴排摆 25 张桌子，可同时容纳人数：（人）.
故答案为：D.
21．定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【解析】，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
22．已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了 千米
【答案】500
【解析】【解答】（250-200）÷（126-120）×（120-90）+250=500，
故答案为：500.
23．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．
【答案】1838
【解析】【解答】2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838，
故答案为：1838．
24．计算：．
【答案】解：原式．
25．在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
【答案】（1）解：
:
:
:
．
（2）解：根据题意，得：．
26．《庄子 天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（1）（规律探索）
如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；
依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；
…S阴影n＝＝ ；
（2）（拓展延伸）
计算＝ ；
（3）计算= .
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）如图3： S阴影3＝ ，
S阴影n＝
故答案为： ，；
（2） ，
故答案为：；
（3）
故答案为：.
27．在数学的学习过程中，我们要善于观察、发现规律并总结、应用．下面给同学们展示了四种有理数的简便运算的方法：
方法①：（﹣ ）2×162=[（﹣ ）×16]2=（﹣8）2=64，23×53=（2×5）3=103=1000
规律：a2 b2=（a b）2，an bn=（a b）n （n为正整数）
方法②：3.14×23+3.14×17+3.14×60=3.14×（23+17+60）=3.14×100=314
规律：ma+mb+mc=m（a+b+c）
方法③：（﹣12 ）÷3=[（﹣12）+（﹣ ）]× =（﹣12）× +（﹣ ）× =（﹣4）+（﹣ ）=﹣4
方法④： =1﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ， = ﹣ ，…
规律： = ﹣ （n为正整数）
利用以上方法，进行简便运算：
①（﹣0.125）2014×82014；
② ×（﹣ ）﹣（﹣ ）×（﹣ ）﹣ ×2 ；
③（﹣20 ）÷（﹣5）；
④ + + +…+ ．
【答案】解：①原式=[（﹣0.125）×8]2014=（﹣1）2014=1；
②原式=（﹣ ）×（ + +2 ）=（﹣ ）× =﹣ ；
③原式=[（﹣20）+（﹣ ）]×（﹣ ）=（﹣20）×（﹣ ）+（﹣ ）×（﹣ ）
=4+ = ；
④原式=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+ ﹣
=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ．
【直击中考】
28．计算： ．
【答案】0
【解析】原式=4-4=0.
故答案为：0.
29．如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码是 .
【答案】143549
【解析】5 3 2=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
9 2 4=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
8 6 3=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴7 2 5=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549
30．在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 中的□，并计算.
【答案】解：（1）选择“-” :
（ 2 ）选择“×”:
【解析】【分析】先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可.
31．计算： .
【答案】 .
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