2.3.1 等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质同步练习题（含答案）

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2.3.1 等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质
学校:______姓名:______班级:______考号:______
等腰三角形的分类讨论
1.一个等腰三角形的两边分别是3和6，则这个等腰三角形的周长为 .
2.如图，在中，，，，点从点开始以的速度向点移动，当是以为腰的等腰三角形时，运动的时间为 ．

3.等腰三角形的一个角是，则它的一腰上的高与底边的夹角是 ．
4.已知等腰三角形的一个角的补角是，那么这个等腰三角形的三个内角分别为 .
5.若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为 ．
6.在中，，，，若以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为 .
7.在等腰三角形中，，中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 .
8.如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为当是等腰三角形时，求的值.

9.已知如图，在中，，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，如果在运动过程中存在是以为腰的等腰三角形，求出点运动的时间．

等边对等角
1.如图，在中，，，则 .

2.如图，点为的边上一点，若，，，则的周长为 ．

3.如图，在中，点是上一点，，，则 °.

4.在中，与相邻的外角是要使是等腰三角形，则的度数是
5.如图，在中，，是内一点，且． 求证：．

6.如图，中，，，，求的度数.

7.中，，的中垂线与所在的直线相交所得的锐角为，求的度数.
等边三角形的性质
1.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形的边长为时，这个六边形的周长为 ．

2.如图，等边中，是高，延长到点，使，则 ．

3.已知等边三角形的边长为，有从点出发每秒个单位且垂直于的直线交三角形的边于和两点且由向平移，点从点出发每秒个单位沿→→→→路线运动，如果直线和点同时出发，则点回到点的时间为 .

4.在同一平面内，已知点在等边三角形外部，且与等边三角形三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则的度数为
5.某中学师生在工厂学习劳动中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，采用“三弧法”，步骤如下，如图所示．
（1）画线段，分别以，为圆心，的长为半径画弧相交于点；
（2）以为圆心，仍以的长为半径画弧，交的延长线于；
（3）连接，则为直角．
你知道这是为什么吗？

6.如图，在等边三角形中是边的中点，以为边作等边三角形,求的度数.
参考答案
等腰三角形的分类讨论
1.【答案】15
【解析】由三角形的三边关系可知等腰三角形的三边长为3、6、6，进而得解.
2.【答案】或
3.【答案】或
【解析】如图，在中，，是边上的高．
①当时，
则，
，
；
②当时，
，
；
故答案为：或．

4.【答案】，，或，，
【解析】注意分类讨论，分顶角的补角是，底角的补角是两种情况.
5.【答案】或
【解析】试题分析：题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
当为腰长时，则腰长为，底边，因为，所以能构成三角形；
当为底边时，则腰长，因为，所以能构成三角形．
故答案为：或．
6.【答案】或
【解析】如图，

在中，

由勾股定理，得.
设等腰三角形的另一个顶点为.
当时，如图，作于点则. 在中，
，
.
由勾股定理，得，
，
等腰三角形的腰长为.
当时，等腰三角形的腰长为.故答案为或.
7.【答案】或
【解析】分以下两种情况讨论：
①当是腰长与腰长一半的和时，，
解得，
所以底边长为；
②当是腰长与腰长一半的和时，，
解得，
所以底边长为.
所以底边长为或.
8.【答案】解：分两种情况：
①当点在线段上时， 且是等腰三角形.


即
解得；
②当点在的延长线上时，且是等腰三角形.

是等边三角形，
即
解得．
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或．
9.【答案】解：是以为腰的等腰三角形，
有两种情况：
①若，则；
②若，
，
，
，
.
综上，点运动的时间为或．
等边对等角
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：，
，
的周长．
故答案为．
证明的周长，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】25
【解析】设，
那么，
因为，
代入解得.
4.【答案】或或
【解析】∵的相邻外角是，
∴.
分两种情况：当为底角时，另一底角；
当为顶角时，则底角
当是顶角时，.
综上所述的度数是或或.
故答案是：或或.
5.【答案】证明：∵，
．
∵，
，
，
即.

【解析】∵， ∴． ∵，∴， ∴，即
6.【答案】设，
∵，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴，
∴在中，，
解得，
即.
【解析】设，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得解.
7.【答案】根据题意可画出图和图两种情况的示意图．
如图，当交点在腰上时，是锐角三角形，
此时可求得，
所以.
如图，当交点在腰的延长线上时，为钝角三角形，
此时可求得，
所以.
故的度数为或.

【解析】等腰三角形的底角相等，垂直平分线构造出等腰三角形.题目没有给出图形，三角形可能是锐角三角形和钝角三角形两种情况.
等边三角形的性质
1.【答案】
【解析】设，则六边形的边长依次为，，，，，，
六边形的周长是.
，
即，
，
周长为.
2.【答案】
【解析】根据等边三角形的性质得，，结合，以及三角形外角的性质解答即可，
解：是等边三角形，是的中点，
，，
又，
，
，
故答案为：
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．
3.【答案】（）秒
【解析】【分析】
本题主要考查的是等边三角形的知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．设点回到点的时间为秒，根据直线运动的时间点运动的时间列出方程，求出的值即可．
【解答】
解：设点回到点的时间为秒，则，
∵为等边三角形，
∴，，，，
根据题意得：，
解得：．
即点回到点的时间为秒．
4.【答案】或或或或
【解析】根据点在等边三角形外部，且与等边三角形三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如图所示图形，由图可得：，，，，.

5.【答案】由步骤（1），可知所得的是等边三角形；
由步骤（2）（3），可知所得的是等腰三角形，
且.
所以.
即为直角．
【解析】含角的直角三角形的斜边上的中线将三角形分成一个等边三角形与一个底角为的等腰三角形．
6.【答案】因为是等边三角形，且是边的中点，
所以平分,
所以.
因为是等边三角形，
所以
所以.
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