浙教版2023年九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023年九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行时间（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（ ）米．
A．24 B．36 C．48 D．54
2．红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）

A． B． C． D．
3．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）

A． B．8 C． D．
4．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
5．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　）
A．20 B．60 C．70 D．80
6．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
8．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( )
A．
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面的距离为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
9．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，则与对应关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花圃面积为，则y关于x的函数表达式为 ．
12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
13．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是_______米．
14．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．

15．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）．
三、解答题
16．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
17．我国农业技术不断发展，老百姓的菜篮子也越来越丰富，在农村鼓励和扶持农民搭建温室大棚，实现互利互惠已成为促进农业发展的新形势．如图1是小明家菜地上搭建的蔬菜温室大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．

(1)直接写出点和点的坐标，并求和的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离．
18．如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？
19．年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个．
(1)求“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率；
(2)若“冰墩墩”每个进价元，原售价为每个元，该超市在今年月份进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”在月份的基础上每个降价元，销售量可增加个，当“冰墩墩”每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为多少元？
20．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
21．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度
参考答案
1．D
【分析】当y取得最大值时，飞机停下来，，即当t=20时，飞机滑行600米才停下来，当时，，即可求解．
【详解】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
，
即当时，飞机滑行600米才停下来，
当时，，
∴米，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，本题要首先确定飞机最大滑行时间，然后确定最后6秒滑行的距离．
2．B
【分析】本题为增长率问题，根据“2月份的180万节，4月份的产量将达到461万节”，即可得出方程．
【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
3．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
4．C
【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．
【详解】由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．
5．C
【分析】设每千克上涨x元，利润为w元，根据利润(销售单价进的单价)×数量，列函数关系式，再根据二次函数最值求法求解即可．
【详解】解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为1800元，
∴每千克的售价应定为（元）．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意，列出关系式是解题的关键．
6．D
【分析】根据“销售单价每上涨1元，每天销量减少个”结合“当销售单价定为元时，每天可售出个”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售纪念品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解．
【详解】解：由题可得：
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．
7．C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
8．C
【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．
【详解】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为．
选项A中，，故选项A错误；
选项B中，解析式为，故选项B错误；
选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．
9．A
【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为，先根据平行于墙的长度不小于，墙的长度为求出，再根据矩形面积公式求出，由此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解；设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为，
∵平行于墙的一边长不小于，墙的长度为
∴，
∴，
，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，，
当时，，
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确求出矩形面积与垂直于墙的一边的二次函数关系式是解题的关键．
10．A
【分析】分别求出点在，段运动时函数的表达式，即可求解．
【详解】解：①当点在上运动时，
，
即，
其图象为一次函数图象的一部分，排除C，D；
②当点在上运动时，如图，

则，，．
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
其图象为开口向下的二次函数图象的一部分，排除B．
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，一次函数，相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11．
【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意可知花圃的长为，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键．
12．
【分析】设每次降价的百分率为x，由题意得，求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得
，
解得（舍去），
∴每次降价的百分率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的关键．
13．
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
14．
【分析】设抛物线的关系式为，代入坐标求出的值，即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的关系式为，
由题意可知，抛物线过点，
，
解得：，
抛物线的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
15．13
【分析】设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，根据“总利润=每瓶利润销售量”表示出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，
根据题意，可得 ，
∵，
∴当时，可有元．
即当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决销售问题，理解题意，正确列出函数解析式是解题关键．
16．(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为：，
即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，
解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
17．(1)点坐标为，点坐标为，，
(2)米
【分析】（1）根据题意可推出点坐标为，点坐标为，将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得、的值；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点．
【详解】（1）解：根据题意可得点坐标为，点坐标为，将这两点坐标代入二次函数表达式，
可得，
解得．
点坐标为，点坐标为，，．
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：，
可知当时，有最大值，
大棚最高处到地面的距离为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目．
18．(1)
(2)一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，x的值，再根据车辆宽且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点A和点B的坐标分别为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴，
∴一辆宽，高的大型货运卡车可以通过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
19．(1)
(2)每个售价为元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意建立方程求解即可；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意，
得．
解得（舍去），，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元
当时，有最大值．最大值为元．
此时售价为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
20．(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米
(2)最多可以购买1400株牡丹
【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，可以得到y与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答．
【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，
∴，
∴当时，y有最大值是1200，
此时，宽为（米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，
由题意可得
解得：，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．(1)
(2)14米
(3)米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）在中，
令，得，
解得或（舍去），
∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得
，
解得．
∴，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为时，，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米．
∵，
∴喷水池水柱的最大高度是米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键．