浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》达标测试卷 含解析

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浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》达标测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当函数值随值的增大而减小时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当时，随的增大而减小 D．与轴只有一个交点
6．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ）
A． B． C． D．
8．下面的表格列出了函数（、、是常数，且）的与的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（ ）
… 6.17 6.18 6.19 6.20 …
… 0.02 0.04 …
A． B．
C． D．
9．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．已知函数是二次函数，则 ．
12．抛物线的开口方向 ．（“向上”或“向下”）
13．二次函数中，当时，y的值是 ．
14．已知二次函数的图象经过原点，则的值为 ．
15．若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
16．将二次函数向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为
17．一个小球在空中飞行时，飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系式为，则小球从飞出到落地要用的时间为 s．
18．如下图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若的面积为5，则点的坐标为 ．

三、解答题（共66分）
19．（6分）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
20．（6分）已知二次函数（为常数）．
(1)求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点；
(2)当时，的最小值为，求的值．
21．（6分）已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
22．（8分）如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交点为，求．
23．（8分）如图，抛物线与x轴交两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于两点，其中C点的横坐标为．
(1)求两点的坐标;
(2)求直线的函数表达式;
(3)若P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段长度的最大值．
24．（10分）年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个．
(1)求“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率；
(2)若“冰墩墩”每个进价元，原售价为每个元，该超市在今年月份进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”在月份的基础上每个降价元，销售量可增加个，当“冰墩墩”每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为多少元？
25．（10分）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度
26．（12分）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；
(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
参考答案
1．C
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可：一般的，形如（a，b，c为常数，且）的函数叫做二次函数．
【详解】A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．，函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确理解二次函数的一般形式是解题的关键．
2．A
【分析】抛物线的顶点坐标为，利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数解析式可得对称轴为直线，抛物线开口向上，进而即可求解．
【详解】解：，对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，函数值随值的增大而减小时，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴经过一、三象限；
当时，二次函数开口向上，与y轴的交点在负半轴上，
当时，二次函数开口向下，与y轴的交点在正半轴上，
∴只有选项C符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
5．D
【分析】根据二次函数的性质求解判断即可．
【详解】
是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
6．C
【分析】根据二次函数的图象，开口向下，对称轴为，根据二次函数图象的对称性可知，与点对称，进而根据当时，随的增大而减小进行判断即可．
【详解】二次函数的图象，开口向下，对称轴，
与点对称，
当时，随的增大而减小，
，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
7．A
【分析】抛物线线上的点沿x轴对称得到的新抛物线的顶点横坐标与原抛物线的顶点横坐标相同，新抛物线的顶点纵坐标与原抛物线的顶点纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∵关于x轴对称点的坐标为
∴对称后抛物线解析式为
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，熟练掌握轴对称变化的规律是解答本题的关键．
8．D
【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴一元二次方程的一个根的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据开口方向、对称轴、与y轴交点即可判断①，根据二次函数图象与x轴有两个交点即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据时，，，代入即可判断④．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，
∴；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，且，
∴，则，
∴a与b异号，即，
∴，选项①错误；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴对于一元二次方程来说，，即，
故选项②正确；
∵原点O关于对称轴的对称点为，当时，，
∴当时，，即，选项③错误；
∵时，，
∴，
把代入得：，选项④正确，
综上可知②④正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
10．A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．
11．
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
12．向上
【分析】根据二次函数解析式的二次系数的符号即可求解．
【详解】解：∵中，
∴抛物线的开口向上，
故答案为：向上．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．0
【分析】把代入计算即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算．
14．3
【分析】根据二次函数的定义可得，再将点代入二次函数的解析式即可得．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，
∵二次函数的图象经过原点，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．
15．且
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
16．
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律即可得．
【详解】解：将二次函数向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为，即为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移变换规律：“左加右减，上加下减”．
17．2
【分析】根据关系式，令求得t的值即可解答．
【详解】解：依题意，令得：
∴，解得：或（舍去），
∴即小球从飞出到落地所用的时间为．
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．理解小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形为落地时间是解答本题的关键．
18．或
【分析】求出点C坐标，得到的长，设，再根据三角形面积公式列出方程，求出a值，即可得到结果．
【详解】解：在中，
令，则，
∴，
∴，
设，
则，
∴，解得：或，
当时，，即；
当时，，即；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标表示出三角形的面积．
19．(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
20．(1)见解析
(2)的值为或
【分析】（1）由二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得证；
（2）抛物线的对称轴为直线，讨论：当时，根据二次函数的性质得时，，则；当时，不合题意舍去；当时，根据二次函数的性质得到，，所以，然后解关于的方程得到满足条件的的值．
【详解】（1）证明：∵
∴当时，
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根
∴不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
（2）解：抛物线的对称轴为直线
当时，随增大而增大，故当时，有最小值．
时，，
所以，
解得，（舍去）；
当时，不合题意舍去；
当时，随增大而减小，故当时，有最小值，
当时，，
所以，
解得舍去，；
综上所述，的值为或
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
22．(1)y=-x2+2x+8；
(2)S△BCD=6．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S△BCD= S梯形OBCE-S△ECD-S△OBD计算即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，
∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
（2）解：过点C作CE⊥y轴于点E，
∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S△BCD= S梯形OBCE-S△ECD-S△OBD
=(1+4)×9-×1×1-×4×8
=6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23．(1)，
(2)
(3)的长度最大值为
【分析】（1）令可得点的坐标，然后根据C点的横坐标为代入二次函数解析式可得C点的坐标；
（2）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：令，即，
解得：，
∴点，
∵C点的横坐标为，
将代入，
得，
∴；
（2）设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）如图：
设点，则点，
∵在线段上抛物线始终在一次函数的上方，
∴，
∴当时，的长度最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键．
24．(1)
(2)每个售价为元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意建立方程求解即可；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意，
得．
解得（舍去），，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元
当时，有最大值．最大值为元．
此时售价为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
25．(1)
(2)14米
(3)米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）在中，
令，得，
解得或（舍去），
∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得
，
解得．
∴，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为时，，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米．
∵，
∴喷水池水柱的最大高度是米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键．
26．(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；

（3）解：①当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；

②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）

如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；

综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．