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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 七年级上册第三章
课标要求 1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念与表示． 2、认识开平（立）方与平（立）方之间的联系，会用平（立）方运算求平（立）方根，会用计算器求平方根和立方根． 3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应． 4、能用有理数估计一个无理数的大致范围． 5、了解近似数的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．
内容分析 本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根、无理数和实数及其运算．从有理数到实数是数的第二次扩展。经过本章的学习，第三学段所应学的数系扩展已完成，从本章开始，今后所遇到的问题（除特别说明）都将在实数范围内讨论，这给教学带来许多方便．数系从有理数扩展到实数后，数的运算法则和运算律都没有发生变化，本章的内容避开涉及二次根式的内容，所有运算都转化为有理数的运算． 平方根、立方根的概念对实数概念的建立起了十分重要的作用，而且应用非常普遍．实数与数轴上的点的对应关系直观地反映了数的扩展状况，这种数与点的对应关系，使数轴成为解释和解决许多数学问题的有效工具，也是数形结合的研究方法的重要依据．平方根、立方根的概念，实数与数轴上点的一一对应关系是本章教学中的重点．平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的．无理数的概念比较抽象，它是一个确定的数，却不能把它完全直观地表示出来．平方根的概念、无理数的概念是本章教学中的主要难点．
学情分析 对于无理数、实数的认识，强调了让学生经历一个实际的情境，使学生在实际情境中体验、感受和理解有理数的意义，由于实数的有关概念本身具有抽象性，但所反映的内容又十分现实，与人们的生活、生产又十分密切的联系，学生在学习过程中有了现实背景感受，体验有关的知识能形成数感、符号感，认识数学与生活的密切关系．
单元目标 （一）教学目标 1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类． 2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 3．数轴与实数的﹣﹣对应关系． （二）教学重点、难点 教学重点：实数的教学． 教学难点：实数的概念本章教学中的难点．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： (1）教材由实际计算需要引出平方根的概念．随着根号2这些数的出现，就必须建立新的数的概念﹣--﹣无理数。无理数的概念的建立，为数从有理数扩展为实数奠定了基础． (2）立方根也是由于人们生活和生产实践的需要而产生的数的概念．虽然这一节在实数一节之后，但仍起着加深对实数的认识的作用．在实数范围内进行开立方的运算，无论从认知的角度，还是从表述的角度，都较为方便． (3）随着数集的扩展，数的运算也必须随着扩展．这不仅是实际计算的需要，也是数发展自身的需要．没有扩展数的运算，数系的扩展就没有意义．实数部分新增的运算是开方运算，在本章中，开方运算主要是利用计算器来进行，也就是通过近似计算，把实数的运算化归为有理数的运算． 2.本章教学中应注意的问题： (1）要重视从有理数到实数的发展过程的教学．要充分运用实际例子克服这一数的扩展过程中的抽象性，使学生体验到平方根、无理数、实数等概念是由于人们生活和生产实践的需要而产生的，在我们的周围普遍存在着．通过实际例子帮助学生了解这些抽象概念的实际意义，并学会在实际情境中使用它们． (2）要从全套教材的结构来认识本章的地位，并把握好要求．注意不能增加算术平方根的性质和二次根式方面的内容，这些内容将在八年级下册继续学习． 3.本章的数学思想方法： 数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有： 数形结合思想．本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点﹣一数轴。有了数轴这个基础，把数与形有机的联系起来了，这样就可以用数形结合思想解决问题了，如解释了"实数与数轴上的点的一一对应关系"及"实数的大小比较"． 分类讨论的思想．木章中关于实数的分类，就利用了这一思想． (3）对立统一思想．由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行"对立统一"思想方法的教育． (4）转化的思想．本章中，通过"开方"的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算．这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法． 4.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1平方根 13.2实数13.3立方根13.4实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根 1.理解平方根、算术平方根的概念与性质； 2．会求一个正数的平方根与算术平方根； 3．能运用平方根的概念进行开方运算．1.用类比有理数的计算方法进行实数的运算． 2.掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根． 活动一：思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义． 活动二：通过对算术平方根、平方根的学习，初步了解数学之间的对立统一的辩证唯物主义思想.3.2实数1. 理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类； 2．会求实数的相反数、倒数与绝对值； 3．理解实数与数轴的一一对应关系．1.利有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然适用． 2.理解实数与数轴的一一对应关系．活动一：用类比思想求实数的相反数、倒数与绝对值． 活动二：完成例题学习巩固知识点． 活动三：理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类． 3.3立方根1. 理解立方根的概念，会求一个数的立方根． 2．理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算； 3．会用计算器求一个数的立方根．1.理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算． 2．被开方数是带分数，要先化成假分数，再开立方；被开方数是差的形式，先计算出差值，再开立方．活动一：通过类比、讨论、总结得出立方根的概念与性质． 活动二：注意其结果的唯一性，不要与平方根相混淆． 活动三：会用计算器求一个数的立方根．．3.4实数的运算1.掌握实数的运算与实数的近似运算； 2．在实际生活中会用实数进行运算．1.掌握实数运算的法则和顺序． 2．让学生认识到有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用． 活动一：用类比有理数的计算方法进行实数的运算． 活动二：完成例题学习巩固知识点．
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分课时教学设计
第1课时《 3.1 平方根 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题.[来源:21世纪育网
学习者分析 学习从特殊到一般的数学思想方法，理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系.
教学目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念与性质； 2．会求一个正数的平方根与算术平方根； 3．能运用平方根的概念进行开方运算．
教学重点 平方根的概念．
教学难点 平方根的概念和平方根的表示方法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： （媒体展示）做一做 ：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？ （设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？） 思考：一张正方形桌面的面积为1.44m2, 它的边长为多少米 这个问题实际上是 求（ ）2=1.44 ∵（±1.2）2=1.44 ∴平方得1.44的数有两个是+1.2， 又边长不为负，因此为1.2m 于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根 ∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根 ∵ x = a ∴ x叫做a的平方根 由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略） 总结：1.2是1.44的平方根，-1.2也是1.44的平方根， 1.44的平方根是±1.2 即X2 = a 那么X就叫做a的平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root），也叫做a的二次方根。 议一议： 1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。 2、乘方有没有逆运算？ 什么叫乘方？什么叫幂？ 已知底数、指数，求幂。乘方运算 已知幂、指数，求底数。乘方的逆运算 学生活动1： 理解开平方与平方之间互为逆运算关系． 思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义．活动意图说明： 从实际出发，体会算术平方根的概念，在思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义；从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 如果我们将+3﹑-3叫做9的平方根, +4 ﹑-4叫做16的平方根,请你根据这些例子,说一说,什么是平方根 练一练： 写出下列各数的平方根. (1) 49； (2)1/49 (3) 0 (4)-4 解：(1)49的平方根是±7 (2)1/49的平方根是±1/7 (3)0的平方根是0 (4)-4没有平方根 平方根的性质 1、一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根 平方根的表示方法、读法 求一个数的平方根的运算叫做开平方。 开平方是平方的逆运算。 学生活动2： 一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根． 活动意图说明： 通过对算术平方根、平方根的学习，初步了解数学之间的对立统一的辩证唯物主义思想. 环节三：例题讲解教师活动3： 例1、求下列各数的平方根： （1）9 （2） （3）0.36 （4） 解：(1) ∵32=9，(-3)2=9 (简记为(±3)2=9)， ∴9的平方根是±3,即±√9=±3 (2)∵(±1/2)2=1/4 ∴1/4的平方根是±1/2，即±√1/4=±1/2 (3)∵(±0.6)2=0.36 ∴0.36的平方根是±0.6，即±√0.36=±0.6 (4)∵(±4/3)2=16/9 ∴16/9的平方根的是±4/3，即±√16/9=4/3 强调：（l）9的平方根表示方法是±，而不是即不要写成=±3. （2）带分数开平方时，要先把带分数化成假分数. （3）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，而不是一个． 学方根以后，我们知道一个正数的平方根有两个，0的平方根是0.那么我们把其中正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根．如3的算术平方根是 ，0的算术平方根是0，在数学上规定非负数a的算术平方根用符号表示，读作根号a． 例2 先说出下列各式的意义，再计算： (1)± (2) (3)- 解：(1) ±√49/100表示49/100的平方根. ±√49/100=±7/10 (2) √225表示225的算术平方根. √225=15 (3)-√9/4表示9/4的负平方根 . -√9/4=-3/2 阅读“平方根的自述” 我叫平方根，我来自平方山庄。我的帽子的前沿别着一枚金色的帽徽，帽徽上刻着一个正号“+”，和负号“-”合二为一的符号，你看多美啊！ 我也有难言之隐，就是我的被开方数a不能为负数，我觉得我的被开方数富有正义感，与负数老死不相往来。 让我得意的事多着呢：任何正数a的平方根都有两个，它们是形影不离的相反数，就如孪生兄妹，出入成双成对！ 0是我的好朋友，你看：0的平方根是0。正数的正平方根和0的平方根统称为算术平方根。 金无足赤，人无完人，我善于化妆，经常让人认错。你看，求的平方根不知使多少同学落入陷阱，因而引来了他们不少怨言。我们这样做，也是为了同学们能吸取教训，少出差错，学习更上一层楼！ 学生活动3： 思考、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念.活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善。
板书设计 （一）创设情境，设疑引新 （二）师生互动，探究新知 （三）运用新知，体验成功 例1： 例2： （四）探究模型，领会思想 （五）反馈小结，布置作业
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是 ( ) A．－6是(－6)2的算术平方根 B．±6是36的算术平方根 C．5是25的算术平方根 D．－5不是25的平方根 答案：C 2．(1)36的算术平方根是 ； (2)3的平方根是 ； 的算术平方根是____； (3)算术平方根等于它本身的数是 ． （1）6 （2），（3）0,1 3．计算： 解：(1)原式=0.1 (2)原式 =5/6 (3)原式=-7 (4)原式=±25 (5)原式=√81/16=9/4 (6)原式=10 选做题： 4.求如图所示的方格中,阴影正方形的面积和边长. 解： ∵, ∴阴影正方形的边长是. 答：阴影正方形的面积是5,它的边长是. 【综合拓展类作业】 5.已知一个正数的两个平方根分别是a和2a﹣9，求a的值，并求这个正数． 解：∵一个正数有两个平方根，且互为相反数， ∴a+2a﹣9=0， 解得：a=3， 将a=3带入a和2a﹣9， 得到3和﹣3， 32=9， ∴这个正数是9．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1．的算术平方根是 ( ) A．±4 B．4 C．±2 D．2 答案：D 选做题： 【综合拓展类作业】 3.芳芳同学手中有一块长方形纸板和一块正方形纸板，其中长方形纸板的长为3dm，宽为2dm，且两块纸板的面积相等． （1）求正方形纸板的边长（结果保留根号）． （2）芳芳能否在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2dm2和3dm2的正方形纸板？判断并说明理由．（提示：√2≈1.414，√3≈1.732） 解：（1）因为正方形纸板的面积与长方形纸板的面积相等，所以可得：正方形的边长为√6dm． （2）不能；因为两个正方形的边长的和约为3.1dm，面积为3dm2的正方形的长约为1.732dm，可得：3.1＞3，1.732＜3，所以不能在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2dm2和3dm2的正方形纸板．
教学反思 本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？ ①知识方面：这节课我们学方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质 ②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验 ③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径. ④用定义解决问题也是常用方法和有力工具.
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3.1平方根
浙教版 七年级 上册
教材分析
1. 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题.
2. 学习从特殊到一般的数学思想方法，理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系.
教学目标
教学目标：1. 理解平方根、算术平方根的概念与性质；
2．会求一个正数的平方根与算术平方根；
3．能运用平方根的概念进行开方运算．
教学重点:平方根的概念．
教学难点:平方根的概念和平方根的表示方法．
新知导入
情境引入
任务一
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
回顾知识
新知讲解
合作学习
一张正方形桌面的面积为1.44m2,
它的边长为多少米
S正=边长×边长
这个问题实际上是
求（ ）2=1.44
任务二
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root），也叫做a的二次方根
（1.2）2=（1.44）
（-1.2）2=（1.44）
（ ±1.2 ）2=（1.44）
1.2是1.44的平方根，-1.2也是1.44的平方根，
1.44的平方根是±1.2
即X2 = a 那么X就叫做a的平方根
已知底数、指数，求幂。
已知幂、指数，求底数。
32 = ( )
(－3 )2= ( )
()2= ( )
()2 =( )
02 =( )
9
9
0
±3
±
0
不存在
乘方运算
乘方的逆运算
什么叫乘方？什么叫幂？
( )2 = 9
( )2 =
( )2 = 0
( )2 =－4
填一填
练一练
写出下列各数的平方根.
解：(1)49的平方根是±7
(2)的平方根是±
(3)0的平方根是0
(4)-4没有平方根
(1) 49； (2) (3) 0 (4)-4
概括一下平方根的性质。
归纳
一个正数有正，负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；负数没有平方根。
练习
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3）（－2）2的平方根是±2 ； （ ）
（4）1 的平方根是 1 ； （ ）
（5）－1 是 1的平方根; （ ）
（6）7的平方根是±49. ( )
（7）若X2 = 16,则X = 4 （ ）
×
×
√
×
√
×
×
提炼概念
平方根的表示方法、读法
（ 是非负数）
根号
被开方数
一个正数a的正平方根，用表示，读作“根号a”, a的负平方根，用“-”表示，读作“负根号a”。合起来，一个正数a的平方根就用“±”表示，读作“正、负根号a”.
典例精讲
例1 求下列各数的平方根：
(1) 9. (2) . (3)0.36. (4) .
(2) ∵ （± ）2=
(3)∵
∴0.36的平方根是±0.6，即±=±0.6
(4)∵
∴的平方根的是±，即±
总结
正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根.
算术平方根的表示方法、读法：
不是
没有
读作:根号a （a是非负数）
思考：（1）是否只有正数才有算术平方根？
（2）负数有算术平方根吗？
例2 先说出下列各式的意义，再计算.
(1)± (2) (3)-
归纳概念
答：表示a的正平方根．
答：表示a的平方根．
答：表示a的负平方根．
表示什么意思？
表示什么意思？
表示什么意思？
正数的正平方根称为算术平方根.零的算术平方根为0.
即
课堂练习
1.下列说法正确的是 ( )
A．－6是(－6)2的算术平方根
B．±6是36的算术平方根
C．5是25的算术平方根
D．－5不是25的平方根
C
必做题
2．(1)36的算术平方根是 ；
(2)3的平方根是 ；
(3)算术平方根等于它本身的数是 ．
6
0,1
3．计算：
(1) ； (2) ； (3)－ ； (4) ±； (5) ； (6) .
4.求如图所示的方格中,阴影正方形的面积和边长.
选做题
5.已知一个正数的两个平方根分别是a和2a﹣9，求a的值，并求这个正数．
解：∵一个正数有两个平方根，且互为相反数，
∴a+2a﹣9=0，
解得：a=3，
将a=3带入a和2a﹣9，
得到3和﹣3， 32=9，
∴这个正数是9．
综合拓展题
作业布置
A．±4 B．4 C．±2 D．2
D
必做题
选做题
3.芳芳同学手中有一块长方形纸板和一块正方形纸板，其中长方形纸板的长为3dm，宽为2dm，且两块纸板的面积相等．
（1）求正方形纸板的边长（结果保留根号）．
（2）芳芳能否在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2dm2和3dm2的正方形纸板？判断并说明理由．
（提示：
≈1.414，≈1.732）
综合拓展题
解：（1）因为正方形纸板的面积与长方形纸板的面积相等，所以可得：正方形的边长为
dm；
（2）不能；因为两个正方形的边长的和约为3.1dm，面积为3dm2的正方形的长约为1.732dm，可得：3.1＞3，1.732＜3，所以不能在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2dm2和3dm2的正方形纸板．
课堂总结
“平方根的自述”
我叫平方根，我来自平方山庄。我的帽子的前沿别着一枚金色的帽徽，帽徽上刻着一个正号“+”，和负号“-”合二为一的符号，你 看多美啊！
我也有难言之隐，就是我的被开方数a不能为负数，我觉得我的被开方数富有正义感，与负数老死不相往来。
让我得意的事多着呢：任何正数a的平方根都有两个，它们是形影不离的相反数，就如孪生兄妹，出入成双成对！ 0是我的好朋友，你看：0的平方根是0。正数的正平方根和0的平方根统称为算术平方根。
金无足赤，人无完人，我善于化妆，经常让人认错。你看，求 的平方根不知使多少同学落入陷阱，因而引来了他们不少怨言。我们这样做，也是为了同学们能吸取教训，少出差错，学习更上一层楼！
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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