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1.2.1 二次函数的图象（1） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是初中数学浙教版九年级上册第1章二次函数的第2节的内容。本节内容主要是作函数y=ax2的图象，通过图象研究y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等其他性质。本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质 进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2的图象与性质，是进一步学习二次函数的基础。二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
学习者分析 学生已掌握了二次函数的概念，以及初二年所学的函数图象的作法描点法。对于作出二次函数的图象难度不会很大，在由特殊的函数到一般的二次函数y=ax2的性质探索过程会有较大的难度，本课通过几何画板课件，利用动态的演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低学生理解的难度。
教学目标 1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的特征. 2.经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验. 3.由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝ax2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.
教学重点 能作出函数y＝x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质.
教学难点 由y=x2的图象及性质对比地学习y＝ax2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习巩固教师活动1： 教师提问： 1.怎样画一次函数的图象？ ①列表②描点③连线 2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的图象是_________. 3.正比例函数y=kx（k ≠ 0）的图象是_________.学生活动1： 学生思考回答画一次函数的图象的步骤。 学生回答问题，教师出示答案： 2.一条直线 3.一条经过原点的直线活动意图说明： 从旧知识入手，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：画二次函数y=x2的图象，总结二次函数的特点教师活动2： 教师出示问题： 同学们练习过推铅球吗？铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？ 你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？ 按下列步骤用描点法画二次函数y=x2的图象. 1.完成自变量与函数的对应值表. 2. 建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点. 3. 用光滑曲线顺次连结各点. 教师提问： 观察所画的图象，你能说说二次函数图象有什么特点吗？ 总结：二次函数 y=x2的图象是一条关于 y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫做抛物线。 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。学生活动2： 学生计算，得出表格中的自变量与函数的对应值。 学生根据描点法的步骤在练习本上画出y=x2的图象。 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结。 活动意图说明： 通过画函数图象，让学生直观的观察二次函数的图象的性质，让学生充分发表意见，达到活跃课堂氛围，激发学生的积极性，在不同水平的学生都得到发展，真正落实“面向全体学生”的教学要求。环节三：画二次函数y=ax2的图象，总结其性质特点教师活动3： 对于二次函数 y＝ax2（a≠0），是否都有类似的图象呢？下面我们在同一直角坐标系中画二次函数 y＝2x2与 y＝-2x2的图象． 1.列自变量x与函数y的对应值表. 2.描点，并用光滑曲线顺次连结各点，即可得到函数 y＝2x2与 y＝-2x2 的图象。 教师提问：说说二次函数y＝-2x2的图象有哪些性质？ 教师总结：1.y＝-2x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向下； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（ 0 ，0 ）； 5.图象有最高点； 6.当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大． 教师提问： 同学们，你能说一说二次函数y=ax2(a≠0)的图象有哪些特征吗？ 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.学生活动3： 学生根据教师引导，在直角坐标系中画二次函数 y＝2x2与 y＝-2x2的图象。 学生根据所画的图象思考教师提出的问题，教师根据学生回答进行补充总结。 学生根据本节课所学的知识回答二次函数y=ax2(a≠0)的图象的特征。活动意图说明： 本环节以学生的自主探索为主，在教学中可以放手让学生自己去画图象，讨论研究出函数的性质。 老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。环节四：例题讲解教师活动4： 教师出示课本例题： 【例1】已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2，-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 解：（1）把点(-2，-3)的坐标代入y=ax2， 得-3=a (-2)2， 解得. 这个二次函数的表达式是 （2）解：顶点为(0，0)，对称轴为 y 轴. 因为<0，所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外).学生活动4： 学生根据所学知识完成课本例题，有疑问的地方随时向老师提问，教师讲解解题方法。活动意图说明： 通过课本例题使学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
板书设计 课题：1.2.1 二次函数的图象（1） 一、画二次函数的图象 二、二次函数图象的性质 三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在同一坐标系中作 y＝2x2，y＝－2x2，y＝0.5x2的图象，它们的共同特点是( D ) . A．都关于x轴对称，抛物线开口向上 B．都关于原点对称，顶点都是原点 C．都关于y轴对称，抛物线开口向下 D．都关于y轴对称，顶点都是原点 2.若二次函数y＝ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有( C ) A．(－3，－2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 3.关于二次函数y＝x2的图象，下面描述错误的是( D ) A．该抛物线开口向下 B．关于y轴对称 C．原点是该抛物线的最高点 D．图象上的点(除顶点外)都在x轴的上方 4.如果抛物线y＝(m＋1)x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是( D ) A．m＝－1 B．m≠－1 C．m<－1 D．m>－1 选做题： 5.求抛物线y＝x2与直线y＝4x－3的交点坐标． 解：根据题意，得 解得 或 ∴交点坐标为（1，1）或(3，9)． 6.如图，已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线y＝ax2上． 求a的值及点B的坐标． 解：a=；B点的坐标为（2，2） 【综合实践类作业】 7.抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)． (1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式． (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和位置． 解：（1）∵点A(m，1)在直线y＝4x－3上， ∴1＝4m－3. ∴m＝1. ∴点A(1，1)． 又∵点A(1，1)在抛物线y＝ax2上， ∴1＝a·12. ∴a＝1. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2. （2）开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，图象上的点(除顶点外)都在x轴的上方．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 二次函数y=ax2(a≠0)图象的特征: ①二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 ②当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； ③当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知函数y=-x，不画图象，回答下列各题: (1)其图象的开口方向__________________; (2)其图象的对称轴__________________; (3)其图象的顶点坐标__________________; (4)当x>0时，y随x的增大而__________________; (5)当x_____时，函数y的最____值是______. 答案：向下；y轴；（0，0）；减小；=0；大；0 选做题： 2.若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于原点对称点的坐标是( B ). A.(2，4) B.(-2，-4) C.(4，2) D.(-4，-2) 3.二次函数y=x2的图象经过的象限是( A ). A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【综合实践类作业】 4.已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大. (1)求k的值； (2)直接写出顶点坐标和对称轴. 解:（1）由是二次函数， 且当x<0时，y随x的增大而增大，得 k2+k-4=2 k+2<0 解得k=-3. （2）解：由(1)得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.
教学反思 本节课的教学大部分学生完成是没有问题的。在教学过程中可以先回顾描点法，在教师的提示下去列表，完成函数的图象，认识二次函数的图象是抛物线。根据作函数的图象的过程学生可以容易的找出图象的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质，在通过作出其他几个函数的图象并加以对比，归纳得出函数y=ax2的性质，体验从特殊的一般的数学探索规律。
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1.2.1 二次函数的图象（1）
浙教版九年级上册
教材分析
本节内容主要是作函数y=ax2的图象，通过图象研究y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等其他性质。本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质
进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2的图象与性质，是进一步学习二次函数的基础。二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
教学目标
1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的特征.
2.经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
3.由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝ax2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.
教学重难点
重点：
能作出函数y＝x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质.
难点：
由y=x2的图象及性质对比地学习y＝ax2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
新知导入
【思考】
1.怎样画一次函数的图象？
①列表
②描点
③连线
2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的图象是___________.
一条直线
3.正比例函数y=kx（k ≠ 0）的图象是________________________.
是一条经过原点的直线
新知导入
你能用二次函数的表达式来描述这条曲线吗？
同学们练习过推铅球吗？铅球推出以后沿着怎样的一条曲线运动？
新知讲解
按下列步骤用描点法画二次函数y=x2的图象.
1.完成自变量与函数的对应值表.
12.25
9
4
1
4
9
12.25
新知讲解
2. 建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点.
3. 用光滑曲线顺次连结各点.
新知讲解
观察所画的图象，你能说说二次函数图象有什么特点吗？
二次函数 y=x2的图象是一条关于 y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
例如，抛物线 y=x2的顶点是坐标原点。
新知讲解
观察函数y=x2的图象，总结函数性质：
在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随x的增大而增大.
新知讲解
对于二次函数 y＝ax2（a≠0），是否都有类似的图象呢？下面我们在同一直角坐标系中画二次函数 y＝2x2与 y＝-2x2的图象．
1.列自变量x与函数y的对应值表.
新知讲解
2.描点，并用光滑曲线顺次连结各点，即可得到函数 y＝2x2与 y＝-2x2 的图象。
新知讲解
说说二次函数y＝-2x2的图象有哪些性质？
1.y＝-2x2的图象是一条抛物线；
2.图象开口向下；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）；
5.图象有最高点；
6.当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大．
新知讲解
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称。
新知讲解
【总结归纳】
一般地，二次函数y=ax2(a≠0)的图象具有以下特征:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶
点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
新知讲解
【例1】已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2，-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(-2，-3)的坐标代入y=ax2，得-3=a (-2)2，
解得 .
这个二次函数的表达式是
新知讲解
【例1】已知二次函数y=ax(a≠0)的图象经过点(-2，-3).
(2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的
位置.
解：顶点为(0，0)，对称轴为 y 轴.
因为 <0，所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上
的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外).
课堂练习
1.在同一坐标系中作 y＝2x2，y＝－2x2，y＝0.5x2的图象，它们的共同特点是( ) .
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
【知识技能类作业】
必做题：
D
课堂练习
2.若二次函数y＝ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有( )
A．(－3，－2)
B．(2，3)
C．(2，－3)
D．(－2，3)
C
课堂练习
3.关于二次函数y＝ x2的图象，下面描述错误的是( )
A．该抛物线开口向下
B．关于y轴对称
C．原点是该抛物线的最高点
D．图象上的点(除顶点外)都在x轴的上方
D
课堂练习
4.如果抛物线y＝(m＋1)x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是( )
A．m＝－1
B．m≠－1
C．m<－1
D．m>－1
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.求抛物线y＝x2与直线y＝4x－3的交点坐标．
课堂练习
【知识技能类作业】
6.如图，已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线y＝ax2上．
求a的值及点B的坐标．
解：a=B点的坐标为（2，2）
课堂练习
【综合实践类作业】
7.抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)．
(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式．
解：∵点A(m，1)在直线y＝4x－3上，
∴1＝4m－3. ∴m＝1. ∴点A(1，1)．
又∵点A(1，1)在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a·12. ∴a＝1.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2.
课堂练习
(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和位置．
解：开口向上，顶点坐标为(0，0)，
对称轴为y轴，
图象上的点(除顶点外)都在x轴的上方．
课堂总结
①二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶
点是坐标原点。
②当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
③当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
本节课你学到了哪些知识？
二次函数y=ax2(a≠0)图象的特征:
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知函数y=- x，不画图象，回答下列各题:
(1)其图象的开口方向__________________;
(2)其图象的对称轴__________________;
(3)其图象的顶点坐标__________________;
(4)当x>0时，y随x的增大而__________________;
(5)当x_____时，函数y的最____值是______.
向下
y轴
（0，0）
减小
=0
大
0
作业布置
2.若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于原点对称点的坐标是( ).
A.(2，4)
B.(-2，-4)
C.(4，2)
D.(-4，-2)
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.二次函数y=x2的图象经过的象限是( ).
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、四象限
D. 第三、四象限
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大.
(1)求k的值；
解:由 是二次函数，
且当x<0时，y随x的增大而增大，得
k2+k-4=2
k+2<0
解得k=-3.
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大.
(2)直接写出顶点坐标和对称轴.
解：由(1)得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.
板书设计
课题：1.2.1 二次函数的图象（1）
教师板演区
学生展示区
一、画二次函数的图象
二、二次函数图象的性质
三、例题讲解
作业布置
课本 P10 练习题
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单的实际问题。4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章的主要内容有:二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的应用。本章是在学习了正比例函数、一次函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线--抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流等有形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但是对函数概念理解不全面，不深刻，不系统，对二次函数的图象性质理解肤浅，思考缺乏条理性，对函数综合性问题无从下手，有畏难情绪。在计算能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归中意识不强。本章的知识是在之前学习过一次函数和一元二次方程的基础之上学习的，又为以后学习反比例函数提供经验，在整个初中的数学学习中起到了承上启下的作用，抛物线作为学生第一条接触到的曲线，对它的性质的研究也对以后其它曲线的学习有很大的帮助。
单元目标 （一）教学目标①能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力。②能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。③会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。④能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标。⑤能根据已知条件确定二次函数的表达式。⑥能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。（二）教学重点、难点重点：理解二次函数的概念，会画二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析. 难点：二次函数与一次函数有关知识及二次函数的综合应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次函数11.2二次函数的图象31.3二次函数的性质11.4二次函数的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数11.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.1.归纳出二次函数的定义及一般形式．2.理解二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。3.会求二次函数的解析式。活动一：用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系。活动二：总结二次函数的定义，并能解决课本中的问题。二次函数的图象31.了解抛物线的有关概念,会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.1.会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.活动一：用描点法画出y =ax2的的图象.活动二：探究二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系。1.能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.2.经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质。1.会画二次函数y=a(x- h)2的图象.2.掌握二次函数y=a(x- h)2与y=ax2图象的平移关系。活动一：用描点法画出y＝a(x—h)2的图象.活动二：探究二次函数y＝a(x—h)2的性质。1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.活动一：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x—h)2+k之间的关系。2.画二次函数y=ax2+bx+c的图象.二次函数的性质11.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性.2.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质.1.能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题。3.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。活动一：探究二次函数与一元二次方程之间的关系。活动二：探究二次函数图象与x轴的交点个数问题。活动三：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形与a,b,c之间的关系。二次函数的应用31.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题。2.能利用二次函数的性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题。活动一：探究二次函数的最值。活动二：探究图形的最值。
《二次函数》单元教学设计
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