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1.2.3 二次函数的图象（3） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是初中数学浙教版九年级上册第1章二次函数的第2节第3课时的内容。概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
学习者分析 在本节课教学之前，学生已掌握一次函数，二次函数y=ax2图象的画法，以及它们图象的性质。另外学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。所以在教学中要调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；保持学习的连续性，降低教材难度，便于问题的探究和重难点的突破；让学生体验学习乐趣。
教学目标 1.能用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形.2.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
教学重点 重点：会用配方法将二次函数的一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k，并能由此确定二次函数的图象，顶点、开口方向、对称轴.
教学难点 难点：会运用公式法求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的顶点、对称轴.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习巩固教师活动1：教师出示问题：填一填：1.二次函数y＝3(x－4)2＋5的图象，可以由函数y＝3x2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．2.二次函数y＝2(x－4)2＋6的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．学生活动1：学生根据上节课所学知识，填空，教师订正答案。答案：1.右 4 上 52.上 x=4 （4,6）活动意图说明：通过做练习，学生复习上节课知识，为本节课所学内容做铺垫。环节二：用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形 教师活动2：教师出示问题：想一想：对于二次函数：y＝2x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形 解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得步骤：①提取二次项系数②括号内加上再减去一次项系数绝对值一半的平方③前三项化为平方形式，后两项合并同类项学生活动2：学生思考，结合上节课所学知识，回答问题，教师提示：我们只要把y＝2x2－6x＋21化成y=a(x-h)2+k的形式，就能解决上述问题了。学生在教师的引导下用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形，并总结变形步骤。活动意图说明：以上设计，是在问题引领下，经历小组合作，独立思考等几个环节，可以使学生始终处于一种积极的思维和主动探索的学习状态之中，让绝大多数学生参与到学习活动中去。环节三：探究二次函数y=ax2+bx+c的图象的性质教师活动3：教师出示问题：对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0），我们通过变形，可以将其转化为想一想：通过上面的变形，你能发现什么？结论：函数的y=ax2+bx+c图像与函数y=ax2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax2的图像得到。一般地，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.学生活动3：学生充分发表意见，提出各自看法.教师归纳总结。学生在教师的引导下总结函数的y=ax2+bx+c图像与函数y=ax2的图像的关系。学生在教师的引导下总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的。活动意图说明：本环节以学生的自主探索为主，通过问题的转化能够分步完成，化难为易，明确了这节课的目标，突出问题研究的重点。环节四：例题讲解教师活动4：教师出示课本例题：例3 求抛物线的对称轴和顶点坐标.因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）.例4 已知函数，回答下列问题： (1)函数的图象能否由函数 的图象通过平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图。解：原函数可以化为所以函数的图象可由函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到。示意图如图：(2)说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：函数图象的开口方向向下，对称轴是直线 x＝4，顶点坐标是（4，5）.学生活动4：学生根据所学知识求出抛物线的对称轴和顶点坐标。学生根据所学知识将一般式变形为顶点式，解决课本例题，教师讲解解题方法。活动意图说明：通过教学，学生学习的主动性已被调动，思维正趋活跃，此时，让学生完成课本例题，激活学生的思维，形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力，加深对数学学习的体验，进一步突破重难点。
板书设计 课题：1.2.3 二次函数的图像（3）一、用配方法变形.二、y=ax2+bx+c(a≠0)图象的性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.将二次函数y=-x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式，结果为( A )A. y=-(x+1)2+4B. x=-(x-1)2+4C. y=-(x+1)2+2D. y=-(x-1)2+22.关于二次函数y=x2-2x+3的图象，下面说法：①二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=3有两个交点；②二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=2有一个交点；③二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=-1没有交点；其中正确的有( D )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.下列关于抛物线y=-4x2-2x+1的描述不正确的是( D )A.开口向下B.当x≤时，y随x的增大而增大C.与y轴交点是(0，1)D.当x=-1时，y=04.若将抛物线y=x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为y=x2-2x-4.选做题：5.下列抛物线中，对称轴为直线x=3的是( A )A.y=x2-6xB.y=2x2-3C.y=(x+3)2D.y=2x2+36.用配方法把二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.∴函数图像开口向上，∴对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，-3）.【综合实践类作业】7.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c经过点A(1，0)，B(3，2).(1)求m的值和抛物线的解析式.(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.解:(1)把点A(1，0)，B(3，2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得:∴抛物线的解析式为：y=x2-3x+2.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？
作业布置 【知识技能类作业】必做题：1.二次函数y=x2+3x-4的对称轴是直线( C )A.x=3 B.x=-3C. D.选做题：2.已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A、B、C的坐标;(2)求此抛物线的顶点坐标.解：(1)当y=0时，-x2+2x+8=0x1=-2，x2=4∴A(-2，0)，B(4，0)将x=0代入y=-x2+2x+8得y=8，∴C(0，8)(2)∵y=-x2+2x+8 =-(x2-2x+1-1)+8 =-(x-1)2+9∴顶点坐标是(1，9)【综合实践类作业】3.用配方法求抛物线y=-3x2-6x+10的对称轴，顶点坐标.解：y=-3x2-6x+10 =-3(x2+2x)+10 =-3(x2+2x+1)+3+10 =-3(x+1)2+13∴抛物线y=-3x2-6x+10的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，13)
教学反思 数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织--启发引导，学生探究--交流发现，组织开展教学活动。
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1.2.3 二次函数的图象（3）
浙教版九年级上册
教材分析
本节课是初中数学浙教版九年级上册第1章二次函数的第2节第3课时的内容。概括地讲，二次函数的图象在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图象由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
教学目标
1.能用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形.
2.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
教学重难点
重点：会用配方法将二次函数的一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k，并能由此确定二次函数的图象，顶点、开口方向、对称轴.
难点：会运用公式法求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的顶点、对称轴.
新知导入
填一填：
1.二次函数y＝3(x－4)2＋5的图象，可以由函数y＝3x2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
2.二次函数y＝2(x－4)2＋6的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．
右
4
上
5
上
x=4
(4 , 6)
新知导入
想一想：
对于二次函数：y＝2x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
我们只要把y＝2x2－6x＋21化成y=a(x-h)2+k的形式，就能解决上述问题了。
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
新知讲解
用配方法将二次函数y=ax2+bx+c变形
提取二次项系数
括号内加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
前三项化为平方形式，后两项合并同类项
新知讲解
对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0），我们通过变形，可以将其转化为
想一想：通过上面的变形，你能发现什么？
新知讲解
结论：函数的y=ax2+bx+c图象与函数y=ax2的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax2的图象得到。
新知讲解
一般地，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有以下性质:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线
，顶点坐标是 .
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
新知讲解
例3 求抛物线 的对称轴和顶点坐标.
因此，抛物线 的对称轴是直线x=3，顶点坐标是
（3，2）.
新知讲解
例4 已知函数 ，回答下列问题：
(1)函数 的图象能否由函数 的图象通过平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图。
解：原函数可以化为
所以函数 的图象可由函数 的图象先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到。
新知讲解
例4 已知函数 ，回答下列问题：
(1)函数 的图象能否由函数 的图象通过平移得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图。
示意图如图：
新知讲解
例4 已知函数 ，回答下列问题：
(2)说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：函数图象的开口方向向下，对称轴是直线 x＝4，顶点坐标是
（4，5）.
新知讲解
【总结归纳】如何画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象？
1.描点法
2.平移法
①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)；
②作出抛物线 y=ax2；
③将抛物线 y=ax2 平移，使其顶点平移到 (h，k) 处.
课堂练习
1.将二次函数y=-x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式，结果为( )
A. y=-(x+1)2+4
B. x=-(x-1)2+4
C. y=-(x+1)2+2
D. y=-(x-1)2+2
【知识技能类作业】
必做题：
A
课堂练习
2.关于二次函数y=x2-2x+3的图象，下面说法：
①二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=3有两个交点；
②二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=2有一个交点；
③二次函数y=x2-2x+3的图象与直线y=-1没有交点；
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
课堂练习
3.下列关于抛物线y=-4x2-2x+1的描述不正确的是( )
A.开口向下
B.当x≤ 时，y随x的增大而增大
C.与y轴交点是(0，1)
D.当x=-1时，y=0
D
课堂练习
4.若将抛物线y=x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为______________.
y=x2-2x-4
课堂练习
5.下列抛物线中，对称轴为直线x=3的是( )
A.y=x2-6x
B.y=2x2-3
C.y=(x+3)2
D.y=2x2+3
【知识技能类作业】
选做题：
A
课堂练习
6.用配方法把二次函数 化为y=a(x-h)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
∴函数图象开口向上，
∴对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，-3）.
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c经过点A(1，0)，B(3，2).
(1)求m的值和抛物线的解析式.
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
课堂练习
【综合实践类作业】
解:(1)把点A(1，0)，B(3，2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得:
∴抛物线的解析式为：y=x2-3x+2.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
板书设计
课题：1.2.3 二次函数的图象（3）
教师板演区
学生展示区
一、用配方法变形.
二、y=ax2+bx+c(a≠0)图象的性质
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.二次函数y=x2+3x-4的对称轴是直线( )
A.x=3
B.x=-3
C.
D.
C
作业布置
2.已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求此抛物线的顶点坐标.
解：(1)当y=0时，-x2+2x+8=0
x1=-2，x2=4
∴A(-2，0)，B(4，0)
将x=0代入y=-x2+2x+8得y=8，∴C(0，8)
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求此抛物线的顶点坐标.
(2)∵y=-x2+2x+8
=-(x2-2x+1-1)+8
=-(x-1) +9
∴顶点坐标是(1，9)
作业布置
3.用配方法求抛物线y=-3x2-6x+10的对称轴，顶点坐标.
解：y=-3x2-6x+10
=-3(x2+2x)+10
=-3(x2+2x+1)+3+10
=-3(x+1)2+13
∴抛物线y=-3x2-6x+10的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，13)
【综合实践类作业】
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单的实际问题。4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章的主要内容有:二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的应用。本章是在学习了正比例函数、一次函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线--抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流等有形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但是对函数概念理解不全面，不深刻，不系统，对二次函数的图象性质理解肤浅，思考缺乏条理性，对函数综合性问题无从下手，有畏难情绪。在计算能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归中意识不强。本章的知识是在之前学习过一次函数和一元二次方程的基础之上学习的，又为以后学习反比例函数提供经验，在整个初中的数学学习中起到了承上启下的作用，抛物线作为学生第一条接触到的曲线，对它的性质的研究也对以后其它曲线的学习有很大的帮助。
单元目标 （一）教学目标①能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力。②能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。③会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。④能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标。⑤能根据已知条件确定二次函数的表达式。⑥能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。（二）教学重点、难点重点：理解二次函数的概念，会画二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析. 难点：二次函数与一次函数有关知识及二次函数的综合应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次函数11.2二次函数的图象31.3二次函数的性质11.4二次函数的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数11.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.1.归纳出二次函数的定义及一般形式．2.理解二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。3.会求二次函数的解析式。活动一：用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系。活动二：总结二次函数的定义，并能解决课本中的问题。二次函数的图象31.了解抛物线的有关概念,会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.1.会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.活动一：用描点法画出y =ax2的的图象.活动二：探究二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系。1.能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.2.经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质。1.会画二次函数y=a(x- h)2的图象.2.掌握二次函数y=a(x- h)2与y=ax2图象的平移关系。活动一：用描点法画出y＝a(x—h)2的图象.活动二：探究二次函数y＝a(x—h)2的性质。1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.活动一：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x—h)2+k之间的关系。2.画二次函数y=ax2+bx+c的图象.二次函数的性质11.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性.2.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质.1.能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题。3.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。活动一：探究二次函数与一元二次方程之间的关系。活动二：探究二次函数图象与x轴的交点个数问题。活动三：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形与a,b,c之间的关系。二次函数的应用31.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题。2.能利用二次函数的性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题。活动一：探究二次函数的最值。活动二：探究图形的最值。
《二次函数》单元教学设计
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