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分课时教学设计
第2课时《 3.2实数 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯．
学习者分析 体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法． 了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法．
教学目标 1. 理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类； 2．会求实数的相反数、倒数与绝对值； 3．理解实数与数轴的一一对应关系．
教学重点 无理数、实数的意义，在数轴上表示实数．
教学难点 无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 做一做： 如图,依次连结2×2方格四条边的中点A,B,C,D,得到一个阴影正方形.设每一方格的边长为1个单位,请讨论下面的问题: (1)阴影正方形的面积是多少 (2)阴影正方形的边长是多少 应怎样表示 (3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间 答：阴影正方形的面积为2. 想一想 到底是一个什么样的数？ 探究多大. 1＜＜2，确定√2=1.…确定小数点后第一位数计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52 ，1.42 =1.96 ＜2 ， 1.52 =2.25＞2 ，就不必再算下去了，很明显1.4＜＜1.5。也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 ， 1.52 =2.25＞2得到1.4＜＜1.5。 根据以上得：=1.4…再求下一位，计算1.412 ，1.422 等， =1.41… 通过以上的探索，总结： =1.1414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6……… 它是一个无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根(例如 ， ， 等)都是无限不循环小数.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 无限不循环小数叫做无理数. 阅读： 《有理数和无理数之战》 在一个早晨，同学小毅一觉醒来，发现窗户外的山坡上在打仗.仔细一看，一边打着“有理数”的大旗子，一边打着“无理数”的大旗子. 有理数和无理数为什么要打仗？哦，原来是为了名字. 听听无理数司令π怎么说：“我们无理数和有理数同样是数，为什么他们‘有理’，我们‘无理’？我们究竟哪点儿无理？” 对呀！无理怎么会存在嘛！小毅心里也在琢磨. “因为人们最开始发现的是有理数，见到我们无理数时还不理解，所以取了‘无理数’这么难听的名字.可是现在，人们已经充分认识我们了，就该给我们摘掉‘无理’的帽子才对！”[来源:21世纪教育网（教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神） 问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论） 教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点. 学生活动1： 体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法. 活动意图说明： 以上学生合作探索特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法.环节二：新课讲解教师活动2： 把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数. 填空： （1）-的相反数是__________ （2） 的相反数是- （3）___________ （4）绝对值等于的数是 _________ 做一做： 下图数轴中, 正方形的对角线长,以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点, 该点与原点的距离是____,该点表示的数是____. 实数与数轴上的点的对应关系： 。 在实数范围内，每一个数都可以用数轴的点来表示；反之，数轴上的每一点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点 。 因此，与有理数一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数 。 （每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。） 学生活动2： 用类比思想求实数的相反数、倒数与绝对值． 活动意图说明： 利有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然适用． 环节三：例题讲解教师活动3： 例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接) ，-π，1.5，- 学生活动3： 思考、讨论、解答例题． 活动意图说明： 理解实数与数轴上的点的一一对应关系，会解助数轴比较大小．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法：①无限小数是无理数；②有理数都是有限小数；③带根号的数都是无理数. 其中正确的个数有（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3 A 2.正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ， 负实数的绝对值是 . 它本身，0，它的相反数 3. -√3的相反数是 ，绝对值是 ． √3，√3 π-3.14的相反数是_____ 绝对值是 ． 3.14-π，π-3.14 选做题： 5.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比较接近，请写出你的判断过程. 所以6的算术平方根在2和3之间，与3比较接近. 【综合拓展类作业】 6.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)． 解：实数在数轴上表示为： 由数轴得－<－<－1.5<0<<<π
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1．把下列各数填入相应的集合内： －7，0.32，，46，0，，，，－π (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)实数集合：{ } 选做题： 2.在数轴上作出 的对应点. 【综合拓展类作业】 3. 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2． (1)你能将这个问题转化为数学问题吗？ (2)如何求出长方形的长和宽？ (3)长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？ (4)小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
3.2实数
浙教版 七年级 上册
教材分析
1. 体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近
法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法．
2. 了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实
数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思
想方法．
教学目标
教学目标：1. 理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类；
2．会求实数的相反数、倒数与绝对值；
3．理解实数与数轴的一一对应关系．
教学重点:无理数、实数的意义，在数轴上表示实数．
教学难点:无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系．
新知导入
情境引入
任务一
(1)能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
(2)拼成的这个面积为2dm2的大正方形的边长应该是多少呢？
(3)小正方形的对角线的长是多少呢？
新知讲解
合作学习
是不是有理数？
是不是整数？
是不是分数？
结论：既不是整数，也不是分数。
所以，不是有理数。
议一议
任务二
探究
因为 ， ，而1< 2<4，所以 ．
(1) 在哪两个整数之间呢？
(2)你能不能得到的更精确的范围？
根据是什么？
因为 ， ，而 ，
所以 ．
因为 ， 而 ，所以 ．
因为 ， ，
而 ，所以 ．
……
有多大呢？
用这种方法可以得到一系列越来越接近的近似值.
像无限不循环小数叫做无理数.
你以前见过这种数吗？
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
它是一个无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根(例如 ， ， 等)都是无限不循环小数.
想一想
(1)圆周率π及一些含有π的数都是无理数.
例如：π，，2π+1
(2)像的数是无理数.
(3)有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.
凡是带有根号的数都是无理数吗？
例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正整数组成〕
无理数特征
提炼概念
有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
有理数
无理数
实数
说一说
无理数和有理数一样，也有正负之分.
如：
是
的，
是
的.
正
负
大于 0 的实数.
包括所有的正有理数和正无理数.
小于 0 的实数.
包括所有的负有理数和负无理数.
有理数
无理数
实数
初中阶段对数的认识范围扩充为
新加入
思考:实数如何分类？
实数的分类
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数.
例如：和-互为相反数
∵
∴绝对值等于的数是和-
探究
如图是由两个边长为1的正方形拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个正方形,新正方形的边长是_____
下图数轴中, 正方形的对角线长为____,以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点,
该点与原点的距离是____,该点表示的数是____.
0
1
-1
探究
如图是由两个边长为1的正方形拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个正方形,新正方形的边长是_____
下图数轴中, 正方形的对角线长为____,以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点,
该点与原点的距离是____,该点表示的数是____.
0
1
-1
说一说
实数的大小比较
在实数范围内，每一个数都可以用数轴的点来表示；反之，数轴上的每一点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点一一对应.
与有理数一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
实数与数轴上的点是一一对应关系.
典例精讲
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)
，-π，1.5，-
解：把 ，-π，1.5，-表示在数轴上，如图
-3 -2 -1 0 1 2 3
-π
-
1.5
∴-π
归纳概念
无理数的常见形式：
①π是无理数；
② …带根号且开方开不尽的数；
③0.1010010001…．．
体会到无理数的存在．
实数与数轴上的点是一一对应的．
初次体会到“数形结合”的数学思想．
课堂练习
必做题
1．下列说法：①无限小数是无理数；②有理数都是有限小数；③带根号的数都是无理数. 其中正确的个数有（ ）
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
A
3. -的相反数是 ，绝对值是 ．
2.正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 .
4. π-3.14的相反数是 __ ___ 绝对值是 ．
3. -的相反数是 ，绝对值是 ．
2.正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 .
它本身
0
它的相反数
4. π-3.14的相反数是 __ ___ 绝对值是 ．
3.14-π
π-3.14
选做题
解：
所以6的算术平方根在2和3之间，与3比较接近.
5.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比较接近，请写出你的判断过程.
综合拓展题
6.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)．
作业布置
必做题
选做题
2.在数轴上作出 的对应点.
0
1
2
3
-1
1
2
B
A
综合拓展题
(1)你能将这个问题转化为数学问题吗？
(2)如何求出长方形的长和宽？
(3)长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？
(4)小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
3. 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2．
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.根据边长与面积的关系得
3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
，
故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
因为50＞49，得 ＞7，所以 ＞3×7=21，比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
课堂总结
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 七年级上册第三章
课标要求 1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念与表示． 2、认识开平（立）方与平（立）方之间的联系，会用平（立）方运算求平（立）方根，会用计算器求平方根和立方根． 3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应． 4、能用有理数估计一个无理数的大致范围． 5、了解近似数的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．
内容分析 本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根、无理数和实数及其运算．从有理数到实数是数的第二次扩展。经过本章的学习，第三学段所应学的数系扩展已完成，从本章开始，今后所遇到的问题（除特别说明）都将在实数范围内讨论，这给教学带来许多方便．数系从有理数扩展到实数后，数的运算法则和运算律都没有发生变化，本章的内容避开涉及二次根式的内容，所有运算都转化为有理数的运算． 平方根、立方根的概念对实数概念的建立起了十分重要的作用，而且应用非常普遍．实数与数轴上的点的对应关系直观地反映了数的扩展状况，这种数与点的对应关系，使数轴成为解释和解决许多数学问题的有效工具，也是数形结合的研究方法的重要依据．平方根、立方根的概念，实数与数轴上点的一一对应关系是本章教学中的重点．平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的．无理数的概念比较抽象，它是一个确定的数，却不能把它完全直观地表示出来．平方根的概念、无理数的概念是本章教学中的主要难点．
学情分析 对于无理数、实数的认识，强调了让学生经历一个实际的情境，使学生在实际情境中体验、感受和理解有理数的意义，由于实数的有关概念本身具有抽象性，但所反映的内容又十分现实，与人们的生活、生产又十分密切的联系，学生在学习过程中有了现实背景感受，体验有关的知识能形成数感、符号感，认识数学与生活的密切关系．
单元目标 （一）教学目标 1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类． 2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 3．数轴与实数的﹣﹣对应关系． （二）教学重点、难点 教学重点：实数的教学． 教学难点：实数的概念本章教学中的难点．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： (1）教材由实际计算需要引出平方根的概念．随着根号2这些数的出现，就必须建立新的数的概念﹣--﹣无理数。无理数的概念的建立，为数从有理数扩展为实数奠定了基础． (2）立方根也是由于人们生活和生产实践的需要而产生的数的概念．虽然这一节在实数一节之后，但仍起着加深对实数的认识的作用．在实数范围内进行开立方的运算，无论从认知的角度，还是从表述的角度，都较为方便． (3）随着数集的扩展，数的运算也必须随着扩展．这不仅是实际计算的需要，也是数发展自身的需要．没有扩展数的运算，数系的扩展就没有意义．实数部分新增的运算是开方运算，在本章中，开方运算主要是利用计算器来进行，也就是通过近似计算，把实数的运算化归为有理数的运算． 2.本章教学中应注意的问题： (1）要重视从有理数到实数的发展过程的教学．要充分运用实际例子克服这一数的扩展过程中的抽象性，使学生体验到平方根、无理数、实数等概念是由于人们生活和生产实践的需要而产生的，在我们的周围普遍存在着．通过实际例子帮助学生了解这些抽象概念的实际意义，并学会在实际情境中使用它们． (2）要从全套教材的结构来认识本章的地位，并把握好要求．注意不能增加算术平方根的性质和二次根式方面的内容，这些内容将在八年级下册继续学习． 3.本章的数学思想方法： 数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有： 数形结合思想．本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点﹣一数轴。有了数轴这个基础，把数与形有机的联系起来了，这样就可以用数形结合思想解决问题了，如解释了"实数与数轴上的点的一一对应关系"及"实数的大小比较"． 分类讨论的思想．木章中关于实数的分类，就利用了这一思想． (3）对立统一思想．由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行"对立统一"思想方法的教育． (4）转化的思想．本章中，通过"开方"的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算．这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法． 4.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1平方根 13.2实数13.3立方根13.4实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根 1.理解平方根、算术平方根的概念与性质； 2．会求一个正数的平方根与算术平方根； 3．能运用平方根的概念进行开方运算．1.用类比有理数的计算方法进行实数的运算． 2.掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根． 活动一：思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义． 活动二：通过对算术平方根、平方根的学习，初步了解数学之间的对立统一的辩证唯物主义思想.3.2实数1. 理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类； 2．会求实数的相反数、倒数与绝对值； 3．理解实数与数轴的一一对应关系．1.利有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然适用． 2.理解实数与数轴的一一对应关系．活动一：用类比思想求实数的相反数、倒数与绝对值． 活动二：完成例题学习巩固知识点． 活动三：理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类． 3.3立方根1. 理解立方根的概念，会求一个数的立方根． 2．理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算； 3．会用计算器求一个数的立方根．1.理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算． 2．被开方数是带分数，要先化成假分数，再开立方；被开方数是差的形式，先计算出差值，再开立方．活动一：通过类比、讨论、总结得出立方根的概念与性质． 活动二：注意其结果的唯一性，不要与平方根相混淆． 活动三：会用计算器求一个数的立方根．．3.4实数的运算1.掌握实数的运算与实数的近似运算； 2．在实际生活中会用实数进行运算．1.掌握实数运算的法则和顺序． 2．让学生认识到有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用． 活动一：用类比有理数的计算方法进行实数的运算． 活动二：完成例题学习巩固知识点．
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